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淘宝：学思创想
专题17 全等与相似模型-对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝
OC，③
.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝
OC，③
.
3）“等边三角形对120°模型”（1）
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条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③
.
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③
.
5）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=
PA；
6）“2α 对180°-2α 模型”
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条件：四边形ABCD 中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP 平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP 平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
7）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP 平分∠AOB 的外角。
例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC 中，AB=AC，点D 为BC 中点．∠MDN=90°，∠MDN 绕
点D 旋转，DM、DN 分别与边AB、AC 交于E、F 两点．下列结论：①(BE+CF)=
BC，②
，
③
AD·EF，④AD≥EF 其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例2．（2022 辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个三角板
的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
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当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝
OC；
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成
立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
例3．（2022 秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知
，
，
是过点
的直线，
过点
作
于点
，连接
．(1)问题发现：如图(1)，过点
作
，与
交于点
，
、
、
之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当
绕点
旋转到如图(2)位置时，
、
、
之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
例4．（2022 四川宜宾八年级期末）如图1，
，
平分
，以
为顶点作
，
交
于点
，
于点E. （1）求证：
；（2）图1 中，若
，求
的长；
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（3）如图2，
，
平分
，以
为顶点作
，交
于点
，
于点
.若
，求四边形
的面积．
例5．（2022 湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将
一个60°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA、OB 相交于点D、E．
（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理
由；（2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给
于证明；若不成立，线段OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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例6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，
∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB、AC 交于点E、F．（1）当DF AC
⊥
时，
求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
例7．（2022 山东省枣庄市一模）如图，已知
，在
的角平分线
上有一点
，将一
个
角的顶点与点
重合，它的两条边分别与射线
相交于点
.
（1）如图1，当
绕点
旋转到
与
垂直时，请猜想
与
的数量关系，并说明理由；
（2）当
绕点
旋转到
与
不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
由；
（3）如图3，当
绕点
旋转到点
位于
的反向延长线上时，求线段
与
之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
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例8.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互
补，若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于M、N 两点，则以下结论：（1）PM
＝PN 恒成立；（2）OM﹣ON 的值不变；（3）△OMN 的周长不变；（4）四边形PMON 的面积不变，其中
正确的序号为_____．
模型2.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点O 是AB 的中点，
辅助线：过点O 作OD⊥AC，垂足为D，过点O 作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；②
（思路提示：
）.
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2）对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝
.
图1 图2
辅助线：作法1：如图1，过点C 作CF⊥OA，垂足为F，过点C 作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF ；②CE ＝CD·
. （思路提示：
，CF=OG ，在Rt△COG 中，
）
辅助线：作法2：如图2，过点C 作CF⊥OC，交OB 于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·
.（思路提示：
，在Rt△OCF 中，
）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°。
辅助线：过点D 作DE⊥BA，垂足为E，过点D 作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD 四点共圆。
例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在
中，
，
，在
中，
，点P 在
上，
交
于点E，
交
于点F．当
时，
的值为
（ ）．
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A．1
B．2
C．3
D．4
例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角
中，
，
，过
点
作射线
，
为射线
上一点，
在边
上（不与
重合）且
，
与
交于点
．（1）求证：
；（2）求证：
；（3）如果
，求证：
．
例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践【问题情境】在
中，
，
，
，在直角三角板
中，
，将三角板的直角顶点
放在
斜边
的中点处，
并将三角板绕点
旋转，三角板的两边
，
分别与边
，
交于点
，
．
【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当
为边
的中点时，试判断四边形
的形状，并说
明理由．【问题解决】如图
，在三角板旋转过程中，当
时，求线段
的长．
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例4．（2023 年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形
和
，其中四边形
的顶
点O 位于四边形
的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形
和
都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①
；②重叠部分的面积始终等于四边形
的
；③
．
(2)应用提升:如图2，若四边形
和
都是矩形，
，写出
与
之间的数量关
系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形
和
都是菱形，
，判断（1）中的结论是否依然成立；
如不成立，请写出你认为正确的结论（可用
表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在Rt
ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O 在线段AB 上（点O 不
与点A，B 重合），且OB＝kOA，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM，将射线OM 绕点O 逆时针旋
转90°，交射线CB 于点N．（1）如图1，当k＝1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点P 在
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射线BC 上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且
＜
，请直接写出
的值（用含k 的式子表
示）．
例6．（2023 浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E 为AB 边上一点，连接DE，作DF⊥DE 交AC 于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC 边上中点D，连接AD，
点E 为BA 延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE 交AC 延长线于点F，求AF 的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在
ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC 边上中点D，连接AD，点
E 为射线BA 上一点（不与点A、点B 重合），连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线CA 于点
F，当AE＝4AF 时，求AF 的长．
课后专项训练
1．（2022·江苏·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴
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上，且OA=OB，点C 在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC 的值为_________．
2．（2023.广东九年级期中）如图，
为等边三角形，以
为边向外作
，使
，再
以点C 为旋转中心把
旋转到
，则给出下列结论：①D，A，E 三点共线；②
平分
；
③
；④
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3.（2023·山西临汾·统考二模）在菱形
中，
，对角线
交于点
，
分别是
边上的点，且
与
交于点
，则
的值为 ．
4．（2023 青岛版九年级月考）如图，在
中，
，
，直角
的顶点
在
上，
、
分别交
、
于点
、
，
绕点
任意旋转．当
时，
的值为
；当
时，
为 ．（用含
的式子表示）
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5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD
平分∠ABC，试说明AD＝DC．
6．（2023•阜新中考模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC 于点D．
（1）如图1，点E，F 在AB，AC 上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；
（2）点M，N 分别在直线AD，AC 上，且∠BMN＝90°．
①如图2，当点M 在AD 的延长线上时，求证：AB+AN＝
AM；
②当点M 在点A，D 之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM 的长．
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7、（2023.重庆九年级期中）已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE＝120°，∠DOE
绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D，与AC 相交于点E．
(1)若OD，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1 中，BD，CE 与BC 的数量关系是
．
(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD，CE 与BC 的数量关系是 ．
8．（2022 山西省吕梁市八年级期末）如图，已知
与
，
平分
．
(1)如图1，
与
的两边分别相交于点
、
，
，试判断线段
与
的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：
．
理由如下：如图1，过点
作
，交
于点
，则
，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若
，
．
①如图3，
与
的两边分别相交于点
、
时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段
、
、
有什么数量关系？说明理由．②如图4，
的一边与
的延长线相交时，请回答(1)中的结论是
否成立，并请直接写出线段
、
、
有什么数量关系；如图5，
的一边与
的延长线相交
时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段
、
、
有什么数量关系．
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9．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形
中，
，
.
(1)如图1．连接
，若
，求证：
.
(2)如图2，点
分别在线段
上，满足
，求证：
;
(3)若点
在
的延长线上，点
在
的延长线上，如图3 所示，仍然满足
，请写出
与
的数量关系，并给出证明过程．
10．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点
是
的角平分线
上一点，连接
，
，若
与
互补，则线段
与
有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若
，则
，即
，
，又因为
平分
，所以
，理由是：_______．
探究二：若
，请借助图①，探究
与
的数量关系并说明理由．
[结论]点
是
的角平分线
上一点，连接
，
，若
与
互补，则线段
与
的数量
关系是______．
[拓展]已知：如图③，在
中，
，
，
平分
．求证：
．
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11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD 中，
，
与
互补，
，点A 到BC 边的距离为17，
求四边形ABCD 的面积．
问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2 所示，
，
，
，在
BC 上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE 区域为体育健身活动区域，△ECD 为文艺活动表
演区域，根据规划要求，
，
，设EC 的长为x(m)，△ECD 的面积为
，求
与
之
间的函数关系式，并求出△ECD 面积的最大值．
12．（2023 山东中考模拟）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对
角线AC，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC 所在
的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC 时，如图1，则
的值为 ；
（2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
的值；（3）在（2）的基础上继续
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旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2 时，如图3，
的值是否变化？证明你的结论．
13．（2022 秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在
中，
，
，
，
为
边上的一点．过点
作射线
，分别交边
、
于点
、
．
（1）当
为
的中点，且
、
时，如图1，
_______：
（2）若
为
的中点，将
绕点
旋转到图2 位置时，
_______；
（3）若改变点
到图3 的位置，且
时，求
的值．
14．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在
中，
，
，点
为
中点，连结
，点
为
的延长线上一点，过点
且垂直于
的直线交
的
延长线于点
.易知BE 与CF 的数量关系
．
【探索发现】如图②，在
中，
，
，点
为
中点，连结
，点
为
的延长线上一点，过点
且垂直于
的直线交
的延长线于点
.【问题情境】中的结论还成立吗？请
说明理由．【类比迁移】如图③，在等边
中，
，点
是
中点，点
是射线
上一点
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（不与点
、
重合），将射线
绕点
逆时针旋转
交
于点
．当
时，
______．
15．（2023 广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB= ABC
∠
，AD，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一
点P，连结AC，BD，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；如图2，在Rt
ABC
△
与Rt
ABD
△
中，∠C= D=90°
∠
，BC=BD=3，AB=5，将Rt
ABD
△
绕着点A
顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt
AB′D′
△
（如图3），当凸四边形AD′BC 为等邻角四边形时，求
出它的面积．
16．（2023 年成都市中考模拟）（1）如图，Rt
ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为BC 中点，E、F 分别
为AB、AC 上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝
4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF 的最小值．
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17．（2023 浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D 为边BC 的中
点，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）当DP AB
⊥
时，求CQ 的长； （2）当BP=2，求CQ 的长．
18．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形
是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A、C
重合），连接
，过点P 作
，交
于点E，已知
，
．设
的长为x．
(1)
___________；当
时，求
的值；(2)试探究：
是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，
请说明理由；(3)当
是等腰三角形时，请求出
的值．
19．（2023 秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
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猜想推理：（1）如图1，在等边
中，D 为
边上一点，E 为
边上一点，
，
，
，则
______．问题解决：（2）如图2，
是等边三角形，D 是
的中点，射线
，
分别交
，
于点E，F，且
，求证：
．（3）如图3，
，
，
，D 是
的中点，射线
，
分别交
，
于点E，F，且
，求
的值．
20．（2023 广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形
的对角线相交于点
，在正方
形
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．证明：
；
（2）【类比迁移】如图2，矩形
的对角线相交于点
，且
，
．在矩形
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．若
，求
的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形
和四边形
都是平行四边形，且
，
，
，
是直角三角形．在
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．当
与
重叠部分的面积是
的面积的
时，请直接写出
的
长．
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