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淘宝：学思创想
专题18 全等与相似模型之十字模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐
角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD 中，若E、F 分别是BC、CD 上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD 中，若E、F、G 分别是BC、CD、AB 上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD 中，若E、F、G、H 分别是BC、CD、AB、AD 上的点，EH⊥GF；则
HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
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例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片
的顶点A 折叠至
边上的点
E，使
，若折痕为
，则
的长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形
中，
，点E，F 分别在边
，
上，
与
相交于点G，若
，则
的长为 ．
例3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形
中，点E、F、H 分别是
的中
点，
交于G，连接
．下列结论：①
；②
；③
；④
．正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例4．（广西2022-2023 学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 为边AB 上一点（点
E 不与点AB 重合），连接DE，过点A 作
，交BC 于点F，证明：
．
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（2）探究：如图②，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 上的点（点E，F 不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF 的垂线分别交边AD，BC 于点G，H，垂足为O．若E 为AB 中点，
，
，求GH 的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD 上，
，BF，
AE 相交于点G．若
，图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，则
的面积为
______，
的周长为______．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关
系。
如图1，在矩形ABCD 中，若E 是AB 上的点，且DE⊥AC，则
.
如图2，在矩形ABCD 中，若E、F 分别是AB、CD 上的点，且EF⊥AC，则
.
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如图3，在矩形ABCD 中，若E、F、M、N 分别是AB、CD、AD、BC 上的点，且EF⊥MN，则
.
例1．（22·23 下·广西·九年级期中）如图，把边长为
，
且
的平行四边形
对
折，使点
和
重合，求折痕
的长．
例2．（22·23 下·河北·九年级期中）如图，在矩形
中，
、
、
、
分别为
、
、
、
边上的点，当
时，证明：
．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形
中，
，
，
是
边上的一个动点，将
矩形
折叠，使点
与点
重合，点
落在点
处，折痕为
．（1）如图1，当点
与点
重合
时，则线段
_______________，
_____________；（2）如图2，当点
与点
，
均不重合时，
取
的中点
，连接并延长
与
的延长线交于点
，连接
，
，
．①求证：四边形
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是平行四边形：②当
时，求四边形
的面积．
例4．（2022 年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交AB，
CD 于点E，F，GH 分别交AD，BC 于点G，H．求证：
；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点
M，N 分别在边BC，CD 上，若
，求
的值；(3)如图3 四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝
AD＝10，AM⊥DN，点M，N 分别在边BC，AB 上，，求
的值．
模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD 和BE 夹角为60°，△ABC。
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2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC 中，AB=BC，AB⊥BC，①D 为BC 中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦
，以上七个结论中，可“知二得
五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC 中，BC=kAB，AB⊥BC，D 为BC 中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 上的点，且BD＝CE，
AD 与BE 相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23 下·淄博·一模）如图，等边
，点E，F 分别在AC，BC 边上，
，连接AF，
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BE，相交于点P．(1)求
的度数；(2)求证：
．
例3．（22·23 下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6 的等边
中，
、
分别为边
、
上的点，
与
相交于点
，若
，则
＝ °；则
的周长为 ．
例4．（22·23 下·六安·一模）如图1，等边
中，点D、E 分别在
上，且
，连接
交于点
(1)求证：
；(2)如图2，连接
，若
，判断
与
的位置关系
并说明理由；(3)如图3，在
的条件下，点G 在
上，
的延长线交
于H，当
时，请
直接写出线段FH 的长．
例5．（22·23 上·深圳·期中）如图，在
中，
，
，点D 为
边上的中点，
连接
，过点B 作
于点E，延长
交
于点F．则
的长为 ．
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例6．（22·23 下·沧州·二模）如图，在
中，
，
，点D 是线段
上的一点，
连接
，过点B 作
，分别交
、
于点E、F，与过点A 且垂直于
的直线相交于点G，连
接
，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若点D 是AB 的中点，则
C．当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，
D．若
，则
例7．（22·23·广东·期中）如图，在
中，
，
，
，点
为
上一点，连
接
，
为
上一点，
于点
，当
时，求
的长．
例8．（22-23 下·深圳·一模）如图①，在Rt
中，
，
，点D 为
边上的一点，
连接
，过点C 作
于点F，交
于点E，连接
．
(1)若
，求证：
；(2)如图②，若
，
，求
的值．
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例9．（22·23 上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形
中，点
、
分别是
、
上的两点，连接
，
，
，则
的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形
中，
，
，点
是边
上一点，连接
，
，且
，求
的值．【拓展延伸】(3)如图③，在
中，
，点
在
边上，连结
，过点
作
于点
，
的延长线交
边于点
．若
，
，
，则
___________．
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课后专项训练
1．（22·23 下·杭州·一模）如图，在等边
的AC，BC 边上各取一点M，N 使
，AN，BM 相
交于点O．若
，
，则BO 的长是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E
处，折痕为MN．若CE 的长为7cm，则MN 的长为（ ）
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A．10
B．13
C．15
D．无法求出
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP，过点B 作BE AP
⊥
于点E，延长CE 交AD 于点F，过点C 作CH BE
⊥
于点G，交AB 于点H，连接HF，下列结论正确的是
（ ）
A．CE=
B．EF=
C．cos CEP=
∠
D．HF2=EF•CF
4．（黑龙江省牡丹江市2021 年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，
BE＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF 的面积为（
）
A．2
B．2
C．6
D．5
5．（22·23 下·东营·中考模拟）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ABC=90°，AB=BC，点D 是线段AB 上的一点，连结
CD，过点B 作BG CD
⊥
，分别交CD、CA 于点E、F，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G，连结DF，给
出以下四个结论：①
；②若点D 是AB 的中点，则AF=
AB；③当B、C、F、D 四点在同一个圆
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上时，DF=DB；④若
，则
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
6．（22·23 下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D 是线段BC 上的一点，连
接AD，过点C 作CG⊥AD，分别交AD、AB 于点G、E，与过点B 且垂直于BC 的直线相交于点F，点D 是
BC 的中点，连接DE．则
= ；
7．（22·23 下·山西·一模）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE 是BC 边上的中线，过点
B 作AE 的垂线BD，垂足为H，交AC 于点D，则AD 的长为 ．
8．（山东2022-2023 学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD 中，点E、F、H 分别是AB、
BC、CD 的中点，CE、DF 交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；
④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
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9．（江西2023-2024 学年九年级月考数学试题）在矩形纸片
中，
，
，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿
对折，使点C 恰好落在
上得到点E，求
的长．
(2)如图2，若沿对角线
折叠，使点C 落在点F 处，
与
交于点E，求
的长．
(3)如图3，若沿
折叠，使点C 与点A 重合，求折痕
的长．
10．（2023 年成都市中考三模数学试题）已知正方形
的边长为6，动点
分别在边
上运
动，连接
．(1)如图1，过
作
交边
于点
，交
于点
．i）若
为
的中点，
为
的中点，求
的长；ⅱ）探索线段
之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，
将四边形
沿
翻折得到四边形
与
相交于点
，调整点
和点
的位置使得线段
始终经过顶点
．i）若点
到
的距离
，求
的长；ⅱ）点
到
的距离是否存在最
大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
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11．（四川省成都市2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形
中，E 为边
上一点（不与点B、C 重合），过点D 作垂直于
的一条直线
，垂足为G，交
于点F．小明发现可以通过证明：
得
（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形
中，P 为边
上一点（不与点B、C 重合），M 为线段
上
一点（不与C、D 重合），过点M 作
，垂足为G，交
于点N，请直接写出
与
及线段
、
、
之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G 恰好为
的中点，连接
，交
于点H，连接
并延长
交边
于点I，再连接
，请探究线段
、
的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形
的边长为8，点M、N 分别为边
、
上的点，过A 作
，已知
，将正方形
沿着
翻折，
的对应边
恰好经过点A，连接
交
于点Q.过点Q 作
，垂足为R，求线段
的长．（直接写出结论即可）
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12．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形
，点
，
分别在边
，
上，
于点
，点
，
分别在边
、
上，
．
①判断
与
的数量关系：
； ②推断：
的值为：
；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形
中，
．将矩形
沿
折叠，使点
落在
边上
的点
处，得到四边形
，
交
于点
，连接
交
于点
．试探究
与
之间的数量关
系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形
中，
，
，
，
，点
，
分别在边
、
上，求
的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接
，若
，
，求
的长．
13．（22·23 下·江苏·九年级期中）平行四边形
中，
，
分别是边
、
上的点，
，G 为垂足．（1）如图1，当
，
时，求证：
（2）如图2，当
，
，
，求
的最小值
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（3）如图3，当
，
，E 为
的中点，直接写出
的值．
14．（2022 年湖北中考模拟）知矩形ABCD 中，
，点E 是BC 边上一点，
于点O，分别交
AB、CD 于点F、G．(1)特例发现：如图1，若
，则
______；
(2)类比探究：如图2，若
，请探究
的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD 沿CF 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点E 处，
得到四边形PEFG，PE 与CD 交于点H，连接PC．已知
，
，求PC 的长
15．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD 中，
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点E，F 分别是AB，AD 上的两点，连接DE，CF，若
，则
的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，
，
，点E 是AD 上的一点，连接CE，BD，若
，则
的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
，点E 为AB 上一点，连接DE，过点C 作DE 的垂线交
ED 的延长线于点G，交AD 的延长线于点F，求证：
；
（4）如图4，在
中，
，
，将
沿BD 翻折，点A 落在点C 处，得到
，点F 为线段AD 上一动点，连接CF，作
交AB 于点E， 垂足为点G，连接AG．设
，求AG 的最小值．
16．（2023 年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．当
时，
求证：
；
【类比迁移】如图2，在菱形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．若
，求证：
．
【拓展延伸】如图3，在四边形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．
，
，
，
，若
，请求出
的值．
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17．（22·23 下·安徽·模拟预测）如图1，在等边
中，点D，E 分别在边
上，且
，连
接
相交于点F．
(1)求
的度数；(2)如图2，连接
，当
时，求
的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将
沿
翻折，使点C 落在点G 处，连接
并延长交
于点H，交
于点I．当
时，求
的长．
18．（22·23 下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边
中，E 为边
上一点，D 为
上一点，且
，连接
与
相交于点F．
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（1）
与
的数量关系是 ，
与
构成的锐角夹角
的度数是 ；
深入探究（2）将图1 中的
延长至点G，使
，连接
，
，如图2 所示．求证：
平分
．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰
中，
，D，
E 分别是边
，
上的点，
与
相交于点F．若
，且
，求
值．
19．（22-23 下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是射线CB 上的一个动点，连接AD，过点C 作AD 的垂
线，垂足为点E，过点B 作AC 的平行线交CE 的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D 与点B 重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D 为BC 中点时，直接写出线段BF 与AC 的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D 在线段CB 上（不与C、B 重合），请探究线段BF、BD 与AC 之间的数量
关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D 在线段CB 延长线上，请探究线段BF、
BD 与AC 之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
20．（22·23 下·渝北·阶段练习）
是等边三角形，点
、
分别在
、
上，且
，连接
、
交于点
．
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(1)如图1，求
的度数；(2)如图2，以
为边作等边
，连接
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长
、
交于点
，点
在线段
上，且
，连接
交
于点
，若
，
，直接写出
的值．（提示：可过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
．）
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