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淘宝：学思创想
专题19 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X）字模型．
A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行
线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大
题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形
中，点E，F，G，H 分别是
，
，
，
上的点，且
，若菱形的面积等于24，
，则
．
例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形
中，点D、E 分别在边
、
上，
，
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，
，
．(1)求证：
；(2)若
的平分线交
于点F，交
于点G，
求
．
例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在
中，点F、G 在
上，点E、H 分别在
、
上，
四边形
是矩形，
是
的高．
，那么
的长为____________．
例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在
中，D，E，F 分别为
上的点，
交
于点G，求证：
．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接
．若
，求
的值．
(3)如图3，在
中，
与
交于点O，E 为
上一点，
交
于点G，
交
于点F．若
平分
，求
的长．
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例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边BC、AB、CA 上，且DE∥CA，
DF∥AB．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC 于D，且BD＝
CD，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求
+
的值．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
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图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形
中，E 为
的中点，连接
交
于点F．若
，则
的面积为___________．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，
，
，
分别交
于点G，
H，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形
中，
是对角线
的
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中点，联结
并延长交边
或边
于E．（1）当点E 在边
上时，①求证：
；②若
，求
的值；（2）若
，求
的长．
例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形
中，对角线
与
相交于点O，记
的
面积为
，
的面积为
．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若
与
不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使
，过点E 作
交
于点F，
点H 为
的中点，
交
于点G，且
，若
，求
值．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
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【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：
.
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC,
；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为
边
上任一点，
交
于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，
与
交于点O，
，E 为
延长线上一点，过点E 作
，交
的延
长线于点F．（1）求证
；（2）若
，求
的长．
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例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E，点F 在BD 上，且AB∥EF∥CD，
求证：＋＝.
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE⊥BC，求证：OE＝
CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O 作EF∥AB 分别交BC、AD 于点E、F．求证：
＝2．
（3）如图③，若OC 平分∠AOB，D、E 分别为OA、OB 上的点，DE 交OC 于点M，作MN∥OB 交OA 于
一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN 长度．
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课后专项训练
1. （2021·山东淄博·中考真题）如图，
相交于点
，且
，点
在同一条直线上．
已知
，则
之间满足的数量关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形
中，
，对角线
与
相交于
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点E，
，
，
，
，则对角线
与
的长分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在
骨架设计中，两条侧翼的长度设计
，风筝顶角
的度数为
，在
上取D，
E 两处，使得
，并作一条骨架
．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，
C 两点间的距离大约是（ ）（参考数据：
）
A．41
B．57
C．82
D．143
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x 为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D、E 分别是AB、AC 的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC
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＝_____．
6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在
中，点
在
上，点
分别在
、
上，四边形
是矩形，
，
是
的高，
，
，那么
的长为 ．
7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在
中，
，D 是
上一点，点E 在
上，连接
交于点F，若
，则
＝ ．
8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，
中，点E、F 分别在边AB、AC 上，
．若
，
，
，则
______．
9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形
中，
是
边上一点，且
，
与
相
交于点
，若
的面积是，则
的面积是______．
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10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为BC，CA，AB 的中点，具
有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．
11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度
远大于南北走向的最大宽度，
如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于
）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点
处，对其视线可及的
，
两点，可测得
的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度
，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点
，如图4，测得
，
；
（ⅱ）分别在
，
，上测得
，
；测得
．求解过程：
由测量知，
，
，
，
，
∴
，又∵①___________，
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∴
，∴
．
又∵
，∴
②___________
．
故小水池的最大宽度为___________
．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得
用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5 次测量，求得
．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度
，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母
，
，
表示，角度用
，
，
表示；测量次数不超过4 次（测量的几何量能求出
，
且测量的次数最少，才能得满分）．
12．（2023 秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在
中，
，
，
，点
是
上一点，将
沿直线
折叠，点
落在
上的点
，连接
．
独立思考(1)如图，求
的值；
问题拓展 如图
，点
是图1 中AB 上一动点，连接
，交
于点
．
(2)当点
是
的中点时，求证：
；(3)当点
是
的中点时，请你直接写出
的值．
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13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知
是等边三角形，点
是射线
上的一个动点，延长
至点
，使
，连接
交射线
于点
．
(1)如图1，当点
在线段
上时，猜测线段
与
的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点
在线段
的延长线上时，①线段
与
的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接
．设
，若
，求四边形
的面积．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取
BE＝AB，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M，BC 和DF 交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
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15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形
中，点F，E，G 分别在
上，
，
，求证：
尝试应用：如图 2，
是
的中线，点E 在
上，直线
交
于点G，直线
交
于点F，
若
，求
的值．
迁移拓展：如图3，在等边
中，点D 在
上，点E 在
上，若
，
，直接
写出
的值．（用含m 的式子表示）
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形
中，点
在边
上（不与点
，
重
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合），射线
与射线
交于点
．(1)若
，求
的长．(2)求证：
．
(3)以点
为圆心，
长为半径画弧，交线段
于点
．若
，求
的长．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，点M、N 分别在AB、AD 上，
且MN⊥MC，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F．
(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM＝CE；(2)若
＝2，求
的值；(3)若MN∥BE，求
的值．
18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，连接DE，已知线段
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AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d 之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：
而根据相似三角形面
积之比等于相似比的平方．可得
．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
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探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论：
？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH⊥BC 于H，可得：
．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝
b，AE＝c，AC＝d，则
．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接
DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，
．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E，连接DE 交BA 的延长线于
F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．
19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事
情：如图，在
中，
，点
和点
分别是斜边
上的动点，并且满足
，分别过点
和点
作
边的垂线，垂足分别为点
和点
，那么
的值是一个定值．
问题：若
时，
值为___________ ；
【操作探究】如图
，在
中，
；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于
任意一个直角三角形，当
时，
的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图
进行证明，并用含
和
的式子表示
的值．
【解决问题】如图，在菱形
中，
若
、
分别是边
、
上的动点，且
，作
，垂足分别为
、
，则
的值为__________ ．
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20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），
中，
，
是
的中点，延长
至点
，使
，延长
交
于点
，探究
的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当
时，直接写出
的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在
中，
，
是
的中点，
是边
上一点，
，
延长
至点
，使
，延长
交
于点
．直接写出
的值（用含
的式子表示）．
21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形
，点E 在
延长线上，点F 在
延长线上，
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过点F 作
交
的延长线于点H，连结
交
于点G，
．
(1)求证：
．(2)当
，
时，求
的长．
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