文档内容
专题 11 相似三角形的综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 (双)A字型相似】.............................................................................................................................1
【考向二 (双)8字型相似】.............................................................................................................................8
【考向三 母子型相似】..................................................................................................................................16
【考向四 旋转相似】......................................................................................................................................24
【考向五 K字型相似】..................................................................................................................................37
【直击中考】
【考向一 (双)A字型相似】
例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE
BC， ．
（1）求证：DF BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6 ．求证△ADE∽△AEB．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，D是 上一点，点E
在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝__________．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在 中， 、 分别是 、 边上的高．求证：．
3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）
中， ， ， ，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动
点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同
时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若 的面积为 ，求 关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与 相似?
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
【考向二 (双)8字型相似】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、
F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）连接ME，若 ＝ ，AF＝2，求 的长．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点， ，连接BE
交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，
CF交BE于点G，若 ，则 ___．3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点， ， ， ，
，求CD的长．
4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上
一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1， 、 分别是 的内角 、 的平分线，过点
作 ，交 的延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)如图2，如果 ，且 ，求 的值；
(3)如果 是锐角，且 与 相似，求 的度数，并直接写出 的值．
【考向三 母子型相似】
例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称
点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 中，点 在 上， ，若 ，
，则线段 的长为___________．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，且AC= ，CD＝
4，BD＝2，求证： ACD∽△BCA． △
△
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在 中， ， 为 边上的高，
的平分线 分别交 ， 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积，
(3)若 ，请直接写出 的值为______．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中， ， ，动点Р以 的速度
从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以 的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒 ．
（1） ______m， ______m， _____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与 相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与 CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，
请说明理由．
【考向四 旋转相似】
例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在 中， ，点
分别是边 的中点，连接 ．将 绕点 逆时针方向旋转，记旋转角为 ．
(1)问题发现
①当 时， ＝______；
②当 时， ＝______；
(2)拓展探究
试判断当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决当 绕点 逆时针旋转至 三点在同一条直线上时，求线段 的长．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在 中， ，点D，E分别是
的中点．把 绕点B旋转一定角度，连结 ．
(1)如图2，当线段 在 内部时，求证： ．
(2)当点D落在直线 上时，请画出图形，并求 的长．
(3)当 面积最大时，请画出图形，并求出此时 的面积．
2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形 中， ， ．点 是
的中点，以 为边作正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为
（ ）．(1)如图2，在旋转过程中，
①判断 与 是否全等，并说明理由；
②当 时， 与 交于点 ，求 的长．
(2)如图3，延长 交直线 于点 ．求证： ；
3．（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】
如图1，矩形 是矩形 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 所得的图形， 分别是
它们的对角线．则 与 数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】
如图2，在 和 中， ．将 绕
点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 为α（ ），连接 ．请判断线段 和
的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在 中， ，过点A作 ，在射线 上取一点D，连接 ，使得 ，请求线段 的最大值．
4．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，将 绕点 逆时针旋转 后， 与 构成位
似图形，我们称 与 互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是” “旋转位似图
形”；
如图1， 与 互为“旋转位似图形”，
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
(2)知识运用：
如图2，在四边形 中， ， 于 ， ，求证： 和 互为
“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图3， 为等腰直角三角形，点 为 中点，点 是 上一点， 是 延长线上一点，点 在
线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”，若 ， ，求出 和 的值．【考向五 K字型相似】
例题：（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在 中，点D、E分别是边
、 上的点，且 ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)若 ．
①如图2，当 时，求 的长；
②如图3，当 时，直接写出 的长是______．
【变式训练】
1．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）（1）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧，
，求证： ；
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ， ，
， ，求 的值；（3）如图， 中，点 在 边上，且 ， ， ，点 在 边上，连接 ，
， ，求 的值．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在 中， ，点P为斜边 上
一点，过点P作射线 ，分别交 、 于点D，E．
(1)问题产生∶若P为 中点，当 时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置， 的值是否会发生改变？如
果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接 ，若 与 相似，求 的值．3．（2022·山东济南·校考三模）已知 ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接
DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且 ．
(1)点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2， ＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
