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专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关
系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则 .
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则 .
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则 .
例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为 ， 的矩形 对折，使点 和 重合，求折痕 的长．
【答案】
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
在 中， ， ，∴ ，
由折叠得， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键
是判断出△MNE∽△DBA．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
边上的点，当 时，证明： ．
【答案】见解析
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据余角的性质证明
，再证明 即可证明结论成立．
【详解】证明：如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∵ ，且四边形 为矩形，
∴ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解答本题的关键．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片 中 ， ，点 、 在矩形的边上，连接
，将纸片沿 折叠，点 的对应点为点 ．（1）如图①，若点 在边 上，当点 与点 重合时，
则 ______°，当点 与点 重合时，则 ______°．（2）如图②，若点 在边 上，且点
、 分别在 、 边上，则线段 的取值范围是______；（3）如图③，若点 与点 重合，点
在 上，线段 、 交于点 ，且 ，求线段 的长度．
【答案】（1）90，45；（2） ；（3）
【分析】（1）当点 与点 重合时， 是 的中垂线，得出 ；当点 与点 重合时，此时
；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，
可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；
（3）连接 ，设 ．由折叠知： ， ， ，证明
，得出 ，则 ， ，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4， 是AD的中垂线， ．
当点E与点A重合时，如图5， 此时 ，故答案为： ； ．
（2）如图6所示，连接 ，则 是 的中垂线，∴ ，
在 中， ，即 ，当点 与点 重合时， ；
当 与 重合时， 的值最小，连接 ，由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得 ，∴ ，
∴线段 的取值范围是 ．故答案为： ．
（3）如图7所示，连接 ，设 ．
由折叠知： ， ， ，
∵ ，∴ ，在 和 中，
，∴ ，∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，解得 ．∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练
掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联
系的问题，请你帮助他们解决：
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作
AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，
DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求 的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝
90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】(1)由矩形对折知，EF⊥BD，证明∠FEG=∠BDA，则△EFG∽△DBA，即可求解；
(2)证明∠EFN=∠GHC，则△EFN∽△GHM，即可求解；
(3)证明△ACD≌△ACB（SSS）和△ADE∽△DCF，再利用DC2=CF2+DF2，即可求解．
【详解】解：(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD , AD=BC=6,
∴∠ADB+∠ABD=90°, BD＝ ,
∵FG⊥AB于G，∴∠FGE=90°，FG=BC=6， ∴∠FGA＝∠A
∵翻折，∴EF⊥BD，∴∠ADB+∠AEF=180°，
又∵∠FEG+∠AEF=180°，∴∠FEG＝∠BDA，又∵∠FGE =∠A,
∴△EFG∽△DBA，∴ ，代入数据：
,解得 ,故答案为： ；
(2)如图，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵GM⊥BC，EN⊥CD，∴GM＝CD＝AB=a，EN＝AD＝BC=b，
∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠EFN＝∠GHC，又∵∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，
∴ ，故答案为： ；
(3)如图，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴ ，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+(8﹣2CF)2
∴CF＝4(不合题意舍去)，CF＝ ， ∴BF＝BC+CF＝ ＝AE，
由(1)可知： ，故答案为： = ．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性
强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③ 。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得
五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，
AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中， ，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边 的边长是6，点E，F分别在 边上， ，
连接 ， 相交于点P．(1)求 的度数；(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) (2)12
【分析】（1）证明 ，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解；
（2）证明 ，利用对应边对应成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条
件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边 中，D、E分别为边 上的点， 与
相交于点P，若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点E作 于F，先解直角三角形求出 ，从而求出 ，利用勾股定理
求出 的长，证明 得到 ，再证明 ，得到，即可求出 ，从而求出 ,最后根据三角形的周长公式即可解答．
【详解】解：如图：过点E作 于F，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴△ABP的周长 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等
三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边 上的点，且 ．求证： ．下面是小涵同
学的证明过程：
证明：∵ 是等边三角形，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是 ；迁移应用：(2)如图2，将图1中的 延长至点G，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完成
下面的问题．①求证： ；②若 ，求证： ；拓展提升：(3)在等边 中，
若点D，E分别在射线 上，连接 交于点F，且 ，将 绕点C逆时针旋转到
，且使得 ．直线 与直线 交于点P，若 ，则 的值为
【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3
【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论；
（2）①求证 ，得 ，相应可证 ，
于是 ；②可证 ，得 ，相应的 ，可证得 ；
（3）如图3，当点D，点E分别在 上时，由 ，得 ，可求证 是等边
三角形，进一步求证 ，得 ，从而 ；如图4，当点D，点E分别在 的延长
线， 的延长线上时，求证 是等边三角形，得 ，进一步求证
，得 ，求证CB=2BD，所以CP=3BP， ．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ；
（2）证明：①由（1）知 ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ．
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
②∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（3）解：如图3，当点D，点E分别在 上时，
∵ ，∴ ，∵ ，
，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，由②知 AD=2BD，∴ ；
如图4，当点D，点E分别在 的延长线， 的延长线上时，
∵ ,∴ .
∵ ,∴ ,
∵ ,∴ ∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴ ，故答案为：2或3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属
于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键．
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在 中， ， ，点 为 边上的中
点，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求 的值．【答案】2
【分析】过点 作 的平行线，过点 作 的平行线相交于点 ，延长 交 于点 ．先证明
，得到 ，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线相交于点 ，延长 交 于点
．
∵ ， ，∴四边形 为正方形，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定
理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一
点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD△、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点
G，连结 DF，给出以下四个结论：① ；②若 AB，则点 D 是 AB 的中点；③若
，则 S ＝9S ；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
ABC BDF
△ △A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由 可得： ,所以 ,利用相似三角形的性质可以得到①正
确；由 以及已知条件可以得到 ，进而由①所得结论确定 为 的三等分
点，可确定结论②正确；根据 可以得到 ， ，则 ，由线段的比例关系即可
求得面积的比例关系；当 四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到
，则 是 所在圆的直径，由垂径定理可得 ；
【详解】由题意可得：
故结论①正确；
,
, 是等腰直角三角形
在 和 中：
是等腰直角三角形，
由结论①可得：
点 是 的中点故结论②正确；， ， ,
, ,即 故结论③错误；
当 四点在同一个圆上时，
,
是 所在圆的直径
故结论④正确；故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三
角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键.
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在 中， ， ，点D在边 上，过点C作
，垂足为M，交 于点E．
(1)小亮通过探究发现 ，请你帮他说明理由；(2)如图②， 平分 交 于点N，小明
通过度量猜想有 ，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接 ，若D是 的中
点，小刚通过探究得到结论 ，请你帮他说明理由．
【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析
【分析】（1）利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；（2）根据等腰直角三角形的性质
和角平分线的性质，证明 ，即可证明猜想；（3）根据 ，得到
， ，再证明 ，得到 ，即可证明猜想．
【详解】（1）解： ， ，， ， ， ；
（2）解：猜想正确，理由如下： ， ， ，
平分 ， ， ，
在 和 中， ， ， ；
（3）解：如图，过点C作 平分 交 于点N，
由（2）可知， ， ， ，
平分 ， ， D是 的中点， ，
在 和 中， ， ，
， ，即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的
定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方
形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，
求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC
于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．【答案】（1）BF=AE，理由见详解 （2）AF：FC=2：1 （3）CF= ．
【分析】(1)先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF △DAE，即
可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG= AB，再判断出
△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出
△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）BF=AE，理由：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°；
∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE；
在△ABF和△DAE中, ，∴△ABF △DAE，∴BF=AE．
(2)如图2：过点A作AM‖BC, 过点C作CM‖AB,两线相较于M，延长BF交CM于G，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCM是矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB=BC=CM；
同（1）的方法得，△ABD △CBG，∴CG=BD；
又∵D为BC边的中点，∴BD= BC= CM，∴CG= CM AB；
∵AB‖CM，∴△AFB △CFG，∴ = =2．
(3)如图3：在Rt△ACB中，AB＝3，BC＝4，∴AC=5，∵点D是BC的中点，∴BD= BC=2；
过点A作AN‖BC, 过点C作CN∥AB,两线相较于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD △BCP，∴ = ，∴ = ，∴CP= ；
同（2）的方法得：△CFP △AFB, ∴ = ，∴ = ，∴CF= ．
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性
质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。此题第一问图1是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形 中， ﹐E，F分别为 ， 的中点，连接
、 ， 交 于点G，将 沿 翻折得到 ，延长 交 延长线于点Q，连接 ，
则 的面积是（ ）
A． B．25 C．20 D．15
【答案】D
【详解】解： 将 沿 翻折得到 ， PF=FC，∠PFB=∠CFB，
四边形 是正方形 ∠FPB=90°，CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，
∵PF=FC= ，PB =AB=2 ，
在Rt△BPQ中， ，∴ ，
∴QB= ，∴S BQF= ，
△∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF， ，
∵CF= ，BC=2 ，∴BF=5 ，∴GE= ，BG=2 ，
过点G作GN⊥AB交AB于N，
∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴
∵GA=AE-GE = ∴GN= ∴S BQG= ×QB×GN= =10，
△
∴S QGF=S BQF-S BQG=25-10=15，故选：D．
△ △ △
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中， ，AC=BC，D为BC
的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，根据题意利用ASA定理证明△ACD≌△CBG,从而得到CD=BG，
CG=AD,然后利用中点的性质和SAS定理证明△BFG≌△BFD,从而求得CF+FD=CF+FG=CG=AD,利用勾股定理求AD
的长,从而使问题得解.
【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG，
在 ACD和 CBG中， ，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD=BG，CG=AD
△ △
∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF= ∠CBG，
在 BFG和 BFD中， ，∴△BFG≌△BFD（SAS），
△ △
∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD
又∵ ，AC=BC，AC=4，∴ ∴CF+FD=AD= 故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅
助线两次证明三角形全等才能得出结论．
3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形 中，点 在边 上，把 沿直线 翻折，得到
， 的延长线交 于点 为 的中点，连接 ，若点 在同一条直线上， ，
则 的值为 ．
【答案】
【详解】解：四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，∴ ， ，∵点 是 的中点，∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，∴ ， ，
∵点 在同一条直线上，∴ ，即 ，
设 ，则 ，且 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ 或 （不符合题意，舍去），∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 故答案为： ．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在 中， ， ，D为BC上一点且
，连接AD，过点B作 ，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 交 于 ，由勾股定理解出 ， ，利用等积法解得
，继而得到 ，从而解出 再利用勾股定理解出 ，，最
后证明 ，根据相似三角形对应边成比例解题即可．
【详解】解：过点 作 交 于 ，在 中
在 中，
在 中，
在 中，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的等积法等知识，是重要考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，
过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点△G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以
下四个结论：① ；②若 平分 ，则 ；③若点D是BC的中点，则；④若 ，则 ．其中正确的结论序号是 ．
【答案】①②③
【分析】由△BEF∽△AEC，可确定结论①正确；由△BEF≌△BED可得BF= BC= AC，进而△BEF∽△AEC确定
点E为AB的三等分点，可确定结论②正确；当A、C、D、E四点在同一个圆上时，由于∠ACB=90°，得到
AD是直径，根据垂径定理得到DE=CD，故③正确；因为E为AB的三等分点，所以S = S ，又S =
BCE ABC CDE
△ △ △
S ，所以S =12S ，由此确定结论④错误．
BCE ABC CDE
△ △ △
【详解】解：依题意可得BF∥AC，∴△BEF∽△AEC，∴
又AC=BC，∴ ．故结论①正确；．
∵ 平分 ，∴∠CAG=∠EAG．∵CG⊥AD，∴∠AGC=∠AGE=90°．
在△AGE和△AGC中 ∴△AGE≌△AGC（ASA）∴∠AEG=∠ACG．
∵∠BFC+∠BCF=90°，∠ACG+∠BCF=90°，∴∠BFC=∠ACG．∴∠BFC=∠AEG．
∵∠BEF=∠AEG，∴∠BFC=∠BEF．∴ ．故结论②正确；
∵CG⊥AD，∴∠ADC+ =90°，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴ ．
在△BCF与△CAD中， ，∴△BCF≌△CAD（ASA），∴BF=CD．
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．又∵BD=AD，∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB= BC；∴BF=BD= BC；∵△BEF∽△AEC，∴ ，∴AE=2BE，∴BE= AB= ．故结论③正确；
当A、C、D、E四点在同一个圆上时，
∵∠ACB=90°，∴AD是A、C、D、E四点所在圆的直径，
∵CG⊥AD，∴ = ，∴DE=CD，
∵ ，BF=CD，∴ ，∴ ，∴ ，∴BE= AB，
∴S = S ；∴S = S ，∴S = S ，即S =12S ．
BCE ABC CDE BCE CDE ABC ABC CDE
△ △ △ △ △ △ △ △
故结论④错误．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，
需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在 中， ，D为 中点，连接 ，过点B作
于点F，交 于点B，若 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】在 中,运用勾股定理求出 ，再根据面积得到 ， 过点
作 交 于点 ,设 ,根据 ，则有 ， ，根据相似三角
形的对应边成比例解题即可．
【详解】∵ 为 边的中点, ,∴ .
∵在 中, ， .∵ 于点 , ， ，
∵ , ，
过点 作 交 于点 ,如图所示,设 ,
∵ ，∴ ，∴ ，∴
， ， ，即 ，
解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴
趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形 中，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且，若 ，则 的长为________；
如图2，在矩形 中， ，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且
，若 ，则 的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且
，试证明 ；
(3)拓展应用：如图4，在矩形 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 上
一点， 交 于点 ，交矩形 的边于点 ．当 为 的三等分点时，请直接写出 的
长．
【答案】(1) ， (2)见详解(3) 或
【分析】（1） 过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ．先证明
四边形 、四边形 都是平行四边形，推出 ， ．再证明 ，推出
，即可解决问题． 类似 方法，证明 即可；
（2）把 沿 翻折得到 ，延长 交 于点 ，由（1）中结论，得 ，得
再证明 ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）延长 交 的延长线于点 ，由（1）中结论得， ，得 ，再分当
时，当 时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解： 如图1中，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，交
于 ．
四边形 是正方形， ， ，四边形 、四边形 都是平行四边形， ， ．
又 ， ， ， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
如图2中，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，
四边形 是矩形， ，
四边形 、四边形 都是平行四边形， ， ．
又 ， ， ， ， ，
在 和 中， ， ，
， ， ，故答案为 ， ．
（2）解：把 沿 翻折得到 ，延长 交 于点 ，
，在 中， ，
， 四边形 是菱形，
， 四边形 是正方形，由（1）中结论，得 ，
， ， ；
（3）解：延长 交 的延长线于点 ，在矩形 中， ， ， 平分 ，
，
是等腰直角三角形， ， ，
是等腰直角三角形， 由（1）中结论得， ，
， ，
当 时 ，
在 中， ，
， ， ，
；
当 时, ,即点 在 上，如图
，， ， ，
在 中， ，
， ， ，
；故 的长为 或 ．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性
质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于
中考压轴题．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边 的边 、 上，且 ，连接
、 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证： 的度数；(2)求证： ；(3)求证： 的值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）通过证明 ，出 ，则
；
（2）根据 ， ，得出 ，则 ，易得 ，
，推出 ，则 ，即可求证 ；
（3）根据 ，得出 ，通过证明 ，得出 ，根据 ，推出 ，则 ，进而得出 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ，
在 和 中， ∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，则 ，
又∵ ，∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题
的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边 中， 为 中点， 、 分别是 、
上的两点， ．
(1)求证： ；(2) 为 上一点，若 ，求 的值；迁移拓展：(3)如图2，等腰 中， 为斜边 的中点， 为 中点， ． 是 上的
点， ， 为 上一点，若 ，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明 可证的结论；
（2）连接 ， ，如图，设 、 交点为M，根据全等三角形的性质和三角形的外角和求得
，进而求得 ，再根据等边三角形性质求得 ， ，则
，证明 ，和 得到 ，利用余弦定义求
解即可；
（3）连接 ， ，根据等腰直角三角形性质得到 ， ，
， ，即 ，进而得到 ，证明 ，得到 ，进而求得
，则 ，证明 和 得到 ， ，
利用勾股定理求得 即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，又 ，
∴ ，∴ ；
（2）解：连接 ， ，如图，设 、 交点为M，∵ ，∴ ，
∵ ∴ ，
∵等边 中， 为 中点，∴ ， ，
∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，即 ，又 ，∴ ，
∴ ，则 ，∴ ， 则 ；
（3）解：连接 ， ，
∵ 是等腰直角三角形， 为斜边 的中点，
∴ ， ， ， ，即 ，
∵ ， ，∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，则 ，
∴ ，又 为 中点，∴ ，则 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 为 中点， ,∴ ， ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外
角性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的判定与性质探究边角关系是解答的关键．
10．（21·22上·红河·期末）在等边 ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相
△
交于点F．(1)如图1，当 时， =__________；(2)如图2，求证： AFD∽△BAD；
△
(3)如图3，当 时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)1(2)详见解析(3) ，理由见解析
【分析】（1）由题意可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，可证 ABD≌△CAE，可得∠EAC
△
＝∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE＝∠DBA＝30°，可求 的值；
（2）根据 ABD≌△CAE得出∠EAC＝∠DBA，进而利用相似三角形的判定解答即可；
（3）设AF△＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，通过证 ADF∽△BDA，
△
BFE∽△BCD可得 ， ，可得 ，求出n＝4即可得出答案．
△
【详解】（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BA△C＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，
∵ ，∴点D是AC中点，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴ ，故答案为：1；
（2）由（1）可得 ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，
∵∠ADF＝∠BDA，△∴△AFD∽△BAD；（3） ；理由：由（1）可得 ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，
△
∴∠BFE＝∠DBA＋∠BAF＝∠EAC＋∠BAF＝∠BAD＝60°，
设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，
∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴ ，∴ ①，
∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴ ，∴ ②，
①÷②得： ，∴ ，∵ ，∴n＝4，∴ ．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，等边三角形的性质，
相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是 ，我们定义：长宽之比是 的矩形纸片
称为“标准纸”．
操作判断： 如图1所示，矩形纸片 是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点 与
重合，再展开，折痕 交 边于点 交 边于点 ，若 求 的长， 如图2，在 的基
础上，连接 折痕 交 于点 ，连接 判断四边形 的形状，并说明理由．
探究发现： 如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点 与点 重合，
再展开，痕 交 边于点 ， 交边于点 交 也是点 .然后将四边形 剪下，探究纸片
是否为“标准纸”，说明理由．
【答案】(1) 长为 ；(2) 四边形 是菱形，理由见解析；(3) 纸片 是“标准纸"，理由见解析
【分析】（1） ，则 ，根据四边形 是矩形，得到 ，由折叠
得 ，设 ，则 ，在 中， ，可得
即可求解．（2）当顶点 与点 重合时，折痕 垂直平分 ，可得 ，
，在矩形 中， ，得到 ，在 和 中，
，可得 ， ，再根据 ，可得四边
形 是平行四边形，最后根据 ，即可求证平行四边形 是菱形．
（3）由 可知， ，同理可知， ，可得四边形 是平行四边形，根据
，得到 ，再根据 ，可得 ，进而得到
， ，同理可得， ，根据四边形 是矩形，可得 ，
，四边形 是矩形， ， ， ，即可求证
纸片 是“标准纸"．
【详解】解： 则
四边形 是矩形
由折叠得 设 ，则
在 中， 答： 长为
四边形 是菱形.
理由：当顶点 与点 重合时，折痕 垂直平分，
在矩形 中，
在 和 中，
四边形 是平行四边形
平行四边形 是菱形.
纸片 是“标准纸” 理由如下：由 可知，
同理可知， 四边形 是平行四边形
同理可得，
四边形 是矩形， ，
四边形 是矩形. .
. 纸片 是“标准纸".
【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函
数，灵活运用判定和性质是解题关键．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形 中，点
， 分别在边 、 上， 于点 ，点 ， 分别在边 、 上， ．①判断 与 的数量关系： _________ ；②推断： 的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， （ 为常数）.将矩形 沿 折叠，使点 落
在 边上的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 .试探究 与 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形 中， ， ， ， ，点
、 分别在边 、 上，求 的值．
【答案】（1）①AE＝DQ．② ；（2） ，见解析；（3）
【分析】(1)①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知
∠ADO+∠OAD=90°，得出∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH（ASA），可得AE=DQ．
②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
(2)如图2，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
(3)如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，证明△ACD≌△ACB
（SSS），得出∠ADC=∠ABC=90°，证明△ADE∽△DCF，可得出 ，由勾股定理求出
CF=3，则可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠QAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE=DQ．
②∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG=DQ，∵AE=DQ，∴GF=AE， ．故答案为：AE＝DQ， ．
（2）解： ．理由如下：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，∴ ．
（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴ ，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴25＝CF2+（10﹣2CF）2，
∴CF＝5（不合题意舍去），CF＝3，∴BF＝BC+CF＝8
由（1）可知： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，
CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： ＝ ．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则 的
值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N
分别在边BC，AB上，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，
GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 ，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四
边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 ．设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12-y，在
Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（12-y）
2=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．【详解】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，
∴ ，∴ ＝ ．
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得 ＝ ， ＝ ；
∴ ，故答案为 ；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝12，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝12﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①，
在Rt△ARD中，（4+x）2+（12﹣y）2＝144②，
由②﹣①得x＝3y﹣4③，
解方程组 ，得 （舍去），或 ，∴AR＝4+x＝ ∴ .
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解
二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证： ；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB
上，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后
根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形
的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边
形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到
∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到
∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得
DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．
∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴ =
（2）结论： = 理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．
∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．
∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，
∴ = ，∴ =
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形
ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得： =
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．
∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴ = ，设SC=x，
∴ = ∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵ ，∴52=（10-2x）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴ = = =
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、
平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直
线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图
形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：（1）如图1，将矩形纸片 沿直线 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位
置，连接 ，线段 交 于点 ，则：
① 与 的关系为 ，线段 与线段 的关系为 ，小强量得 ，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形 是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片 中， ，小明将矩形纸片 沿直
线 折叠，点 落在点 的位置， 交 于点 ，请你直接写出线段 的长： ．
综合探究：（3）如图3， 是一张矩形纸片， ，在矩形 的边 上取一点
（不与 和 点重合），在边 上取一点 （不与 和 点重合），将纸片沿 折叠，使线段 与线
段 交于点 ，得到 ，请你确定 面积的取值范围 ．
【答案】（1） ，线段 与线段 互相垂直平分， ； 证明见解析；（2） ；
（3）
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；
（2）由矩形和折叠的性质证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程求解即可；（3）分别求出 的面积的最大值与最小值即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵矩形纸片 沿直线 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置，
， ，
垂直平分线段 ， ， ， ，
， ，
， 线段 与线段 互相垂直平分，
， ，
四边形 是菱形， ， ，
， ，
故答案为： ，线段 与线段 互相垂直平分， ；
②证明过程如下：∵矩形纸片 沿直线 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置，
， ，
垂直平分线段 ， ， ， ，
， ，
， 线段 与线段 互相垂直平分，
， ， 四边形 是菱形；
（2） 四边形 是矩形， ， ，
由折叠的性质可得： ，
， ， ， ，
设 ，在 中， ，
，解得： ， ，
，故答案为： ；
（3）如图，当点 与点 重合时， 的面积最大， 于 ，则 ，，
由题意得： ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ，解得： ，由（1）知， ，
， 的最大值为1.3，
假设点 与 重合时，此时 最小，为 ， 的面积的最小值为 ，
在边 上取一点 不与 和 点重合， 故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判
定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定
与性质，是解题的关键．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别
是 ， 上的两点，连接 ， ，若 ，则 的值为_________；
（2）如图2，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，若 ，则
的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作
的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点
落在点 处，得到 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，若 ，则 的值为
_________．【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4）
【分析】（1）通过证明△AED △DFC得到ED=FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC △DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED △HCF，即可得
出结论； （4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求
得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED
△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论
【详解】（1）解：∵ 四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．∴ ∴ 故答案为：1．
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ∴
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．故答案为： ．
（3）证明：过点 作 于点 ，如图，∵ ， ，∴ 四边形 为矩形．
∴ ， ∴
∵ ，∴ ．
∵ ， ，∴
∵ ，∴ ，∴
∵ ，∴
∴ ∴ ∴
（4）过点 作 于点 ，连接 ，交 于点 ，如图，
由题意： 与 关于 轴对称，∴ 垂直平分 ，即 ， ．
∵ ， ，∴ ，∴ ∴
∵ ，∴ ，∴ ∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ∴ ．
∵ ，∴
∵ ，∴ ∴ ．∵ ，∴ ．∴
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， ，且 于点 ，若
， ，求 的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，求 的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分
别在边 ， 上，且 ，垂足为 ，则 __________________．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）证明 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；
（2）构造矩形 ，延长 交 于点G，
由（1）中结论可得： ， ，设 ， ，则， ， ， ，再证明 ，则 ，即可求出
，即可求解；
（3）连接 ，构造如图所示矩形 ，过点N作 ，交 于点P，证明 ，
，根据 ，得出 ，设 ，则
， ，得出 ，即可求出 ，由（1）中结论可得：
，最后证明四边形 为平行四边形，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵四边形 为矩形，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）解：构造如图所示矩形 ，延长 交 于点G，由（1）中结论可得： ，
∵ ，∴设 ， ，∵点 为 的中点，∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ，∴ ，则 ， ，解得： ， ，
∵四边形 为矩形，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，∴ ；（3）解：连接 ，构造如图所示矩形 ，过点N作 ，交 于点P，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 为矩形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴设 ， ，
∴ ，设 ，则 ， ，
∴ ，整理得： ，∴ ，
由（1）中结论可得： ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直
角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．
18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形 的边 上的一点．(1)如图 ，若四边形 是正方形， 交 于点 ，求证； ；
(2)已知 ， ， 分别交 ， 于 ， 两点，且 平分矩形 的面积．
如图2，若 ，求 的长； 如图3， 与 交于点 ，连接 ，求出线段 长的最小值．
【答案】(1)详见解析(2) ；
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）①由“ ”可证 ，可得 ，可求 ，由勾股定理可求 的长，通
过证明 ，可得 ，即可求解；
②由相似三角形的性质可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由点 在以 为直径的圆上运
动，则当点 在线段 上时， 有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：证明： ， ，
四边形 是正方形， ， ，
， ，
在 和 中， ， ， ；
（2）如图2，连接 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于 ，
， ， ，
平分矩形 的面积， 点 为 的中点， ，， ， ，
， ，
， ， 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ， ，
， ，
又 ， ， ， ， ；
②解：如图3，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，
， ， ， ，
点 是 的中点， ， ， ，
又 ， ， ，
， ， ， ，
， 点 在以 为直径的圆上运动，
则当点 在线段 上时， 有最小值， 的最小值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ，则线段 与 的之间的数
量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边 上，且 ，
请写出线段 与 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在 中， ， ， ，D为 上一点，且 ，连
接 ，过点B作 于点F，交 于点E，求 的长．
【答案】(1) (2) ．证明见解析(3) ．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）通过证明 ，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点 作 的垂线，过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，延长 交 于点 ，勾股定理求得
，根据（2）知 ，求得 ，证明 ，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 与 相交于点 ，如图，
∵正方形 ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；故答案为： ；
（2）解： ．证明：∵ ，∴ ．
在矩形ABCD中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（3）解：如图，过点 作 的垂线，过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，延长 交 于点 ．
∴四边形 是矩形．∵ ， ，∴ ．
∴ ．由（2）知 ，∴ ．
在 中， ，∵ ∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
