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专题07 利用勾股定理解决最值问题（原卷版）
类型 一 垂线段最短
（一）通过轴对称转化为“垂线段最短”
1．（2021•武进区自主招生）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点
D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．6❑√2 B．6 C．3❑√2 D．3
2．（2020•皇姑区一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与
B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 ．
3．（2021秋•崇川区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上
的两个动点，当BM+MN取最小值时△BMN的周长为 ．
4．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，
BC，CA上，则△DEF周长的最小值为 ．（二）通过证明点的运动路径为线段或直线，转化为“垂线段最短”
5．（2021•罗湖区模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，
线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ．
6．（2023•武山县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不
与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则
线段CG长的最小值是 ．
类型二 两点之间，线段最短
（一）通过轴对称转化为“两点之间，线段最短”及延伸
7．如图，已知∠AOB＝30°，点P，Q分别是边OA，OB上的定点，OP＝3，OQ＝4，点M，N分别是边
OA，OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是（ ）A．5 B．7 C．1 D．108．（2021秋•上高县月考）如图1，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点，使PA+PB的值
最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，则PA+PB＝A’B的值最小．（不
必证明）应用：
（1）如图2，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形的对称性可
知，B与D关于直线AC对称，连接ED交于AC于P，则PB+PE的最小值是 ．
（2）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR
周长的最小值．
（二）通过平移转化为“两点之间，线段最短”
9．（2023春•鞍山期末）如图，河的两岸有 A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥
MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽
3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是 米．
（三）通过构造全等转化为“两点之间，线段最短”10．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为
线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 ．
（四）费马点问题
11．（2023秋•慈溪市月考）如图，在△MNG中，MN＝4❑√2，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，
则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
类型三 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
12．如图△ABC中，AB＝AC，P为外部一点，且PA＝2，PC＝1，若∠BAC＝120°，则BP的最大值为多少？
