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专题19 对角互补模型（相似三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、对角互补相似1.............................................................................................................1
2、对角互补相似2.............................................................................................................2
3、对角互补相似3.............................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................4
压轴真题强化.............................................................................................................................5
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两
边做垂线，从而证明两个三角形相似。
1、对角互补相似1
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点O 是AB 的中点，
专题目录
模型解读
常见类型讲解
辅助线：过点O 作OD⊥AC，垂足为D，过点O 作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；②
（思路提示：
）.
2、对角互补相似2
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝
.
辅助线：作法1：如图，过点C 作CF⊥OA，垂足为F，过点C 作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·
.（思路提示：
，CF=OG，在Rt△COG 中，
）
辅助线：作法2：如图，过点C 作CF⊥OC，交OB 于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·
.（思路提示：
，在Rt△OCF 中，
）
3、对角互补相似3
如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°。
辅助线：过点D 作DE⊥BA，垂足为E，过点D 作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD 四点共圆。
（2021·黔东南州·中考真题）（对角互补型四点共圆）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD.
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD=120
o,∠ABC=∠ADC=90
o.
求证：AD+AB=AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD=120
o，∠ABC+∠ADC=180
o.
①猜想AB、AD、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD 的面积。
真题演练
（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt
ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O 在线段AB 上（点
O 不与点A，B 重合），且OB＝kOA，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM，将射线OM 绕点O
逆时针旋转90°，交射线CB 于点N．（1）如图1，当k＝1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并
说明理由；
（2）如图2，当k＞1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点
P 在射线BC 上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且
＜
，请直接写出
的值（用含
k 的式子表示）．
（1）特例感知：如图1，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为AB 边上一点，连接DE，作DF⊥DE 交AC 于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为BA 延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE 交AC 延长线于点F，求AF 的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在
ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为射线BA 上一点（不与点A、点B 重合），连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°
交射线CA 于点F，当AE＝4AF 时，求AF 的长．
巩固练习
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形
内接于
，
，
，
，则
的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
2．（2019·湖北咸宁·中考真题）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
如图1，点
在
上，
的平分线交
于点
，连接
求证：四边形
是等补四边形；
探究：
如图2，在等补四边形
中
连接
是否平分
请说明理由．
运用：
如图3，在等补四边形
中，
，其外角
的平分线交
的延长线于点
求
的长．
压轴真题强化
3．（2022·湖北武汉·中考真题）已知
是
的角平分线，点E，F 分别在边
，
上，
，
，
与
的面积之和为S．
(1)填空：当
，
，
时，
①如图1，若
，
，则
_____________，
_____________；
②如图2，若
，
，则
_____________，
_____________；
(2)如图3，当
时，探究S 与m、n 的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当
，
，
，
时，请直接写出S 的大小．
4．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
在
中，
，D 是
边上一点，且
（n 为正整数），E 是
边上
的动点，过点D 作
的垂线交直线
于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当
时，兴趣小组探究得出结论：
，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当
，且点F 在线段
上时，试探究线段
之间的数量关系，请写出
结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段
之间数量关系的一般结论（直接写出结论，
不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接
，设
的中点为M．若
，求点E 从点A 运动到点C 的过程中，点M
运动的路径长（用含n 的代数式表示）．
