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专题11 半角模型（全等三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、正方形半角模型............................................................................................................1
2、等腰直角三角形半角模型............................................................................................2
3、等边三角形半角模型（60°-30°型）...........................................................................2
4、等边三角形半角模型（120°-60°型）.........................................................................2
5、半角模型（
-
型）.................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................9
我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半
这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，等边三角形，等腰直角三角形等，一般是将半角
两边的三角形通过旋转（或截长补短）到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明
与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
1、正方形半角模型
如图，四边形ABCD 是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④
AEF 的周长=2AB；
⑤CE、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、等腰直角三角形半角模型
如图，
ABC 是等腰直角三角形，∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAF；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=90°；④DE2＝BD2＋EC2；
3、等边三角形半角模型（60°-30°型）
如图，
ABC 是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(
BD＋EC)2+
；
4、等边三角形半角模型（120°-60°型）
如图，
ABC 是等边三角形，
BDC 是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④
AEF 的周长=2AB；
⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC。
5、半角模型（
-
型）
如图，∠BAC=
，AB=AC，∠DAE=
；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-
。
（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形
中，
，
，
点
，
分别在
，
上，若
，则
．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形
．已知
，
，
，
，道路
，
上分别有景点
，
，
且
，
，若在
，
之间修一条直路，则路线
的长比路线
真题演练
的长少
（结果取整数，参考数据：
．
【答案】370
【详解】解：如图，延长
交于点
，连接
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
,
,
在
中，
，
，
，
，
，
中，
，
，
，
，
，
中，
是等腰直角三角形
由阅读材料可得
，
路线
的长比路线
的长少
．
故答案为：370．
（2020·湖南湘西州·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，∠BCD＝
90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD、DC 于
E、F．探究图中线段AE，CF，EF 之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再
证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝
2∠MBN，∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD、DC 于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接
写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，
∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD、DC 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处．舰艇乙在指
挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方
向以75 海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100 海里/小时的速度前进，1.2 小
时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为
70°．试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．
实际应用：210 海里．
【详解】解：EF=AE+CF
理由：延长
到G，使
，连接
，
在△BCG 和△BAE 中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF 和△BEF 中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．
理由：延长
到G，使
，连接
，
在△BCG 和△BAE 中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=
∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=
∠ABC，
即∠GBF=
∠ABC，
在△BGF 和△BEF 中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．
理由：延长
到G，使
，连接
，
∵
，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG 和△BAE 中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=
∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=
∠ABC，
即∠GBF=
∠ABC，
在△BGF 和△BEF 中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF 相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=
∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF 仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210 海里．
已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点
旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．
(1)如图1，当M，N 分别在边BC，CD 上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N 分别在边BC，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN 之间的数量关
系
(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）3
【详解】（1）证明：如图，延长
到
使
，连接AG，
巩固练习
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
又∵
，
，
；
（2）
，理由如下：
如图，在BM 上取一点G，使得
，连接AG，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
又
，
，
在
与
中，
，
，
，
又∵
，
，
∴
，
故答案为：
；
（3）如图，在DN 上取一点G，使得
，连接AG，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
又
，
，
在
与
中，
，
，
，
设
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
，
，
∴CP 的长为3．
