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专题 06 相似三角形中的基本模型之半角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型（相似模型）
【常见模型及结论】
1）半角模型（正方形中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结 论 ： 如 图 1 ， △ AMN∽ △ AFE 且 ． （ 思 路 提 示 ： ∠ ANM=∠ AEF ，
∠AMN=∠AFE）；
A D
45°
N
α
β F
β
M
α
B E C
图1 图2
结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且 ；A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图3 图4
结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.
2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）
（1）含45°半角模型
图1 图2
条件：如图1，已知∠BAC＝90°， ；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；② ；③ （
）
（2）含60°半角模型
条件：如图1，已知∠BAC＝120°， ；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② ；③ （
）
例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形 中，点 分别是 边上的两点，
且 分别交 于 .下列结论：① ；② 平分 ；③
；④ ．其中正确的结论是（ ）A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】把 ABE绕点A逆时针旋转90°，得到 ADH，证明 AEF≌△AHF，利用全等三角形的性质可得①②
正确；求出△∠BAN＝∠AMD，根据∠ABN＝∠AD△M＝45°，证△明 ABN∽△MDA，利用相似三角形的性质可得
④正确；求出∠AFE＝∠AMN，证明 AMN∽△AFE，利用相似三△角形的性质可得③正确．
【详解】解：如图，把 ABE绕点A△逆时针旋转90°，得到 ADH，易得H、D、F三点共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝△45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， △
∴∠DAH＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF，
∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF＝FH，∠AFH＝∠AFE，
∴EF＝FH＝DH＋DF＝BE＋DF，AF平分∠DFE，故①②正确；
∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD，
∵∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴ ，
∵AD＝AB，∴AB2＝BN•DM，故④正确；∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN，
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN，
又∵∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE，∴ ，即AM•AE＝AN•AF，故③正确，故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，综合
性较强，灵活运用相关性质定理进行推理是解题的关键．
例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点E在 上，点F在 上，若 ，且 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NF＝ x，再利用矩形的
性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，利用勾股
定理即可求出AF的长．
【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∴NF＝ x，AN＝4−x，
∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝ ，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝ ，
∵∠EAF＝45°，∴∠MAE＋∠NAF＝45°，
∵∠MAE＋∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，
∴ ，∴ ，解得：x＝ ，
∴AF＝ ．故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt 中，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】求出∠B=∠C，∠ADC=∠EAB，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB，根据相似三角形的性质
得出比例式，即可得出答案．
【详解】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）=45°，
∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，∴∠ADC=∠EAB，
∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB，∴ ，
∵AB=AC，∴AB2=BE•CD．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB是解此题的关键．
例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图， 中， ， ，点 为 边上的点，
点 为线段 上一点，且 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长．
【详解】解：如图，作 于 ，作 于 ．
中， ， ．∴ ．在 中， ． ， ． ．
． ． ．
． ． ． ．
，即 ． ．由勾股定理得： ．
． ． 故答案为：
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本
题的关键．
例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形 中， ．点 ， 分别在边 ， 上，且
．连接 ， ．
（1）如图1，连接 ，求证： 是等边三角形；（2） 平分 交 于点 ．
①如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，求 的长．
②如图3， 是 的中点，点 是线段 上一动点（点 与点 ，点 不重合）．当 ，
时，是否存在直线 将 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．
若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）① ；② 或
【分析】（1）证 ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）①连接 ，证 ，列出比例式，根据相似比即可求解；②分点H为AG中点和点N
为EC中点两种情况，根据相似比，求出比值即可．
【详解】解：（1） 四边形 是菱形， ，
∵ ，∴△ABC是等边三角形，∴ ， ，
， ； ，
， ， 是等边三角形；
（2）①连接 ， 点 是 的中点， ，
， ， ，
由（1）知， 是等边三角形， ， 平分 ， ，
， ，即 ，
， ，
②如图，当点H为AG中点时，即 ；
∵ 是 的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,
∵ ，∴ ，即 ；
同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE， ；
连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P，∵ ， ，∴ ,
∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2， ，
∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，
设EG=x,CG=8-x，PG=10-x， ，解得， ，
∵EN=CN=4， ；
综上， 的值为： 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，
解题关键是熟练运用相关几何知识，构建几何模型证明相似或全等．
例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓
展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，
如图1．
（1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的 绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的 的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则
________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：
．【答案】（1）45， ， ；（2） ；（3） ；（4）见解析
【分析】（1）由翻折的性质可知： ， ，根据正方
形的性质： , ， 则
， 为等腰三角形；（2）如图：将 顺时针旋转 ，证明
全等，即可得出结论；（3）证明 即可得出结论；（4）根据半角模型，将
顺时针旋转 ，连接 ，可得 ，通过 得出 ， 为直
角三角形，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形 ， 为等腰三角形
（2）如图：将 顺时针旋转 ，由旋转的性质可得： ，
由（1）中结论可得
为正方形，
在 和 中
（3） 为正方形 对角线
，
，
（4）如图：将 顺时针旋转 ，连接 ，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得： ，
在 中有
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判
定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．
例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三
角形 和 摆放在一起，点 为公共顶点， ，若 固定不动，将 绕点
旋转，边 ， 与边 分别交于点 ， （点 不与点 重合，点 不与点 重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形 中， 为 内的一个动角，两边分别与 ， 交
于点 ， ，且满足 ，求证： ；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形 的边长为 ， ， 的两边分别与 ， 相
交于点 ， ，且满足 ，若 ，则线段 的长为______ ．
【答案】（1）成立；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出 ，再证 即可；（2）根据正方形性
质得出 即可；（3）如图3，在 上取一点 ，使 ，过 作 于 ，
根据四边形 为菱形，且 ，证出 ，再证 ，求出
，利用菱形 的边长为 ，求出 即可．
【详解】解：（1）结论 成立
理由：如图1，∵ 和 都是等腰直角三角形，∴∵ ， ，∴
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为：成立
（2）证明：如图2，∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ；
（3）线段 的长为 理由：如图3，在 上取一点 ，使 ，过 作 于 ，
又∵四边形 为菱形，且 ，
∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴2AN= ，2AN=AD，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵菱形 的边长为 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴线段 的长为 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函
数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题
关键。
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在 中， ，点D、E在 边上，
，若 ，则 的面积为（ ）
A．20 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【分析】设 ，则 ，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x的值，最后利
用直角三角形面积公式求解即可．
【详解】设 ，则 ，
， ．
设 ，则有以下等式： ， ， ，整理得 ， ， 解得 ，
， ， ， 故选：D．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且
∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（ ）．
A．△AED≌△AEF B．△ABE∽△ACD C．BE+DC＞DE D．BE2+DC2=DE2
【答案】B
【详解】试题分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定A正
确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得
出此条件，判定B错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出
CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定
C正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出
BE2+BF2=EF2，等量代换后判定D正确．
试题解析：A、∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中， ，∴△AED≌△AEF（SAS），故A正确；
B、∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，故B错误；
C、∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中， ，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，故C正确；
D、由C知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故D正确．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
3．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在Rt ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC
上两点，且∠DAE＝45°，将 ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到 △AFB，连接EF，下列结论中正确的个
数有（ ） △ △
①∠EAF＝45°；② ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可
得∠EAF=45°；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；③根据SAS可证
△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
【详解】解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，故①正确；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；
③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，即AE平分∠DAF，故③错误；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2（勾股定理），
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，∴BE2+CD2=DE2（等量代换）．故④正确．故选B．【点睛】此题主要考查图形的旋转变换，解题时注意旋转前后对应的相等关系．
4．（2023·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，已知正方形 的边长为 ， 为 边上一点（不与端
点重合），将 沿 翻折至 ，延长 交边 于点 ，连接 ， ．则下列给出的判断：
① ；②若 ，则 ；③若 为 的中点，则 的面积为 ；④若
，则 ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据 定理先证 ，得出 即可；
②设 ，根据勾股定理求出 ，再求出 的值即可；
③同样利用特殊值法计算 得不出相应的关系即可证明结论不正确；④根据已知关系先求证 是等
腰直角三角形，设 ，根据 ，则有 ，解出 即可．
【详解】① 将 沿 翻折至 ， ， ，
四边形 是正方形， ， ，
， ， ， ，
四边形 是正方形，
， ，故①正确；
②设 ，在 中， ，
即 ，解得 ， ， ，
，
， ，故②正确；③同理可得 ， ， 为 的中点， ，
，过 作 的高线 ，
， ， ，即 ，解得 ，
，故③错误；④ ，
，
， 为等腰直角三角形， ，
设 ，则有 ，解得 ，故④正确；故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角
形等知识，熟练利用特殊值法解选择题是解本题的关键．
5．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在正方形 中， 的顶点 ， 分别在 ， 边
上，高 与正方形的边长相等，连接 分别交 ， 于点 ， ，下列说法：
① ；②连接 ， ，则 为直角三角形；
③ ；④若 ， ，则 的长为 ．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A
【分析】根据正方形的性质及 定理求得 ， ，从而求得
， ，然后求得 ，从而得到 ，由此判断
①；将 绕点 顺时针旋转 至 位置，连接 ， ， ，由旋转的性质根据结合
定理求得 ，得到 ，结合正方形和旋转的性质求得
，从而可得 ，然后根据 定理求得 ，
，从而得到 ， ，从而求得 ，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证 ，可得
，由此得到 ，然后根据 定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转 到 ，由旋转性质和 定理可得得 ， ，设 ，在
中，根据勾股定理列方程求 ，从而求得正方形的边长，设 ，结合②中的结论列方程求
的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，
四边形 是正方形， ， ，
， ，
在 和 中， ， ，
，同理可证 ，
， ，
， ，故①正确；
如图②，将 绕点 顺时针旋转 至 位置，连接 ， ，
由旋转知： ， ，
四边形 是正方形， ，
， ，
，，又 ， ， ，
四边形 是正方形， ．
由旋转知： ， ，
，
， ．
又 ， ，
， ，同理可证：
，
即 为直角三角形，故②正确；
， ，
又 ，
由①可知： ，
， ，
又 ， ，故③正确；如图 中，
旋转 到 ， ， ，，
同理②中可证： ， ，设 ，
， ，
四边形 是正方形， ， ，
在 中，根据勾股定理得，
或 舍 ， ， ， 正方形的边长为 ；
由正方形 的边长为 ， ，由①可知 ， ， ，由②得 ，设 ，
， ， ，
，解得 ， ，故④正确故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知
识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．（2021秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且
∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时， ；④BE+DF=EF；⑤若点
F是DC的中点，则CE CB．
其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF= a，想办法求出
BE，EC即可判断．
【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴ ，∴ ，
∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在 ABE和 ADF中，∵ ，∴Rt ABE≌Rt ADF(HL)，∴BE=DF．
△ △ △ △
∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，Rt CEF中，OC EF x，
△
在 EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．∵AE=AE，∴Rt ABE≌Rt AOE(HL)，
△ △ △
∴AO=AB=1，∴AC AO+OC，∴1 x ，∴x=2 ，
∴ ，故③不正确，
③如图3，∴将 ADF绕点A顺时针旋转90°得到 ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH．
∵∠EAF=45°=∠DA△F+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=△90°，∴H、B、E三点共线，在 AEF和 AEH中， ，∴ AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
△ △ △
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF a，
∵DF∥AB，∴ ，∴AN=NE AF a，∴AE AN a，
∴BE a，∴EC a BC，故⑤正确．故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添
加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
7．（2023·山东青岛·统考二模）如图，等腰直角三角形 ， ，D，E是 上的两点，且
，过D，E作 分别垂直 ，垂足为M，N，交于点F，连接 ．其中①四边
形 是正方形；② ；③ ；④当 时， ．其
中，正确结论有 ．（填序号）【答案】①②④
【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形 是矩形，再证明 ，从而可判断
①；利用 可判定 ，从而可判断②；在没有 时，无法证得 ，故可
判断③；由 可判定 ，从而可判定④．
【详解】解：∵ 分别垂直 ，垂足为M、N，∴ ，
又∵ ，∴四边形 是矩形；
∵ 为等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ 和 均为等腰直角三角形，
又∵ ，∴ ，
∴ ∴ ，∴四边形 是正方形，故①正确；
∵ ，∴ ∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，故②正确；
如图所示，将 绕点A顺时针旋转 至 ，则 ，
由于 ，故点N落在点M处，连接 ，则D、M、 共线，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
当 时， ，
，∴ ，∴ ，
∴在没有 时，无法证得 ，故③错误；
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故④正确．
综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质
及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形 边长为 ， 为 边上一点，将
以点 为中心按顺时针方向旋转得到 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， 若 ，则
．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，则 ，设 ，则 ，证明点 、 、
在同一条直线上，再证明 ∽ ，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出 的值，即得到
的长，再求出 的长，可证明 是等腰直角三角形，即可求得 的长，再根据勾股定理求出
的长，再求出 的值即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则 ，
四边形 是正方形，且正方形 的边长为 ，
， ， ，
， ，设 ，则 ，
， ，由旋转得 ， ，
， ， 点 、 、 在同一条直线上，， ， ∽ ，
， ，整理得 ，解得 ， 不符合题意，舍去 ，
， ，
， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】此题考查旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数、勾股定理、解
直角三角形等知识与方法，证明 ∽ 并且求出 的长是解题的关键．
9．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且
， 交 于 点， 交 于 点．
（1）若正方形的边长为2，则 的周长是 ．（2）若 ，则 ．
【答案】 4
【分析】（1）过 作 ，交 延长线于 ，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明
和 得到 ，进而推导出 的周长为 即可求解；
（2）连接 ，证明 和 得到 为等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）过 作 ，交 延长线于 ，如图．
四边形 是正方形， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ，又 ，， ，
的周长
，
正方形的边长为2， 的周长为4，故答案为：4；
（2）连接 ， ， ， ，
，即 ，又 ，
， ， ，
为等腰直角三角形，即 ， ，
， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形
的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．（2023.上海市黄浦区九年级一模）如图，四边形 中， ， ，
，点M、N是边 、 上的动点，且 ， 、 与对角线
分别交于点P、Q．（1）求 的值：（2）当 时，求 的度数；（3）试问：在点M、N的运动过程中，
线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N
相度的位置．
【答案】（1） ；（2）45°；（3）不会发生变化， ．
【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt△ABC，由正弦三角函数即可求得；
（2）证明 △BCG≌△DCN，得到角相等，再由角相等，得△GMC≌△NMC，由 解答即可；
（3）由D、C、N、P四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC，再得△CPQ∽△CNM，由此解答即可．
【详解】解：（1）连接AC
∵ ， ∴AC垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD= ∠BCD=∠MCN
在Rt ABC中，AB=4，AC=3∴AC= ∴ =sin∠ACB=
△
（2）延长AB至G点，使BG=DN，连接CG，
∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG≌△DCN
∴∠G=∠CND，CN=CG，∠BCG=∠DCN
∴∠MCN= ∠BCD ∴∠MCB+∠NCD= ∠BCD
∴∠GCM=∠GCB+∠GCM= ∠BCD=∠MCN
∵CM=CM， ∠G=∠CND,∴△GMC△NMC∴∠G=∠MNC=∠DNC
当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°
（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90° ∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP
∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°
∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC
∴△CPQ∴ CNM∴∽△
在Rt△CPN中， =cos∠MCN=cos∠ACB=
∴不会发生变化
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键
是掌握性质与判定．
11．（2023山东九年级期末）已知正方形ABCD的边长为8，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角
的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图①，当a=8时，b的值为 ；
（2）如图②，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（3）请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．
【答案】（1）16；（2） ；（3） ，理由见解析【分析】（1）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC，进而判断出 ACF∽△ECA，即可得出结论；
△
（2）先证明 ACF≌△ACE，从而得到CF=CE，然后再证明 ACE为等腰三角形，则CE=AC=8 ；
△ △
（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC，进而判断出 ACF∽△ECA，即可得出结论．
【详解】（1）∵AC是正方形ABCD的对角线， △
∴∠BCD=90°，∠ACB=45°，∴∠ACF=135°，∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴ ，
∴EC×CF=AC2=2AB2=128∴ab=128，∵a=8，∴b=16；
（2）∵四边形 是正方形，∴
∵ 是正方形 的对角线，∴ ，∴ ，
∵ 被对角线 平分，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∵ ，
又∵ ，∴ ，∴
在直角三角形 中， ∴ ，即： ．
（3） 理由：∵ 是正方形 的对角线
∴ ， ∴
∵ ，
∴ ∴ ∴ ∴
∵ （已求） ， ∴
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的
性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．
12．（2023·宁夏·九年级统考期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 和 摆放
在一起， 为公共顶点， ，它们的斜边长为2，若 固定不动， 绕点 旋转，
、 与边 的交点分别为 、 （点 不与点 重合，点 不与点 重合），设 ， ．
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．（2）求 与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．
（3）以 的斜边 所在的直线为 轴， 边上的高所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系如图
（2），若 ，求出点 的坐标，猜想线段 、 和 之间的关系，并通过计算加以验证．
【答案】（1） ACG∽△FAG， FAG∽△FBA，证明见解析；（2）b= ，1＜a＜2；（3）G（1－ ，0）；
△ △
BG2+CF2=FG2．
【分析】(1)找到有公共角的和45°角的两个三角形即可；
(2)证明 ，利用相似三角形的对应边成比例可得 与a的函数关系式，根据点F与点C重合时
a为2，点△AGC与G∽点△BFB重A合时a为1，可得a的取值范围
(3)先求得a=b= ，可求点G（1－ ，0）；根据BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2 －2，即可得到线
段 、 和 之间的关系.
【详解】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．
∵∠GAF=∠C=45°，∠AGF=∠AGC，
∴△ACG∽△FAG．类似证明△FAG∽△FBA；
（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，∴∠CAG=∠BFA．
∵∠B=∠C=45°，∴△ACG∽△FBA，∴ = ．
由题意可得CA=BA= ．∴ = ．∴b= ．自变量a的取值范围为1＜a＜2．（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．
∵b= ，∴a=b= ．∵OB=OC= BC=1，∴OF=OG= ﹣1．∴G（1－ ，0）．
线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2；
∵BG=OB﹣OG=1－( －1)=2－ =CF，FG=BC﹣2BG= 2－2(2－ )=2 －2．
∵BG2+CF2=2(2－ )2=12－8 ，FG2=(2 －2)2=12－8 ．
∴BG2+CF2=FG2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质.，利用两角对应相等得到所需的两个三角形相似进而得到对
应边成比例是解决问题的关键.
13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的
三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的
两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ．
【探究一】如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ．
连接 交 于点 ，求 的值．
【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]
【分析】[探究一]证明 ，即可得证；
[探究二]根据正方形的性质证明 ，根据三角形内角和得出 ，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明 ，得出 ， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 在直线 上．得出 ，根据全等三角形
的性质得出 ，进而可得 ，证明 ，根据相似三角形的性质得
出 ，即可得出结论．
【详解】[探究一]
∵把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上，
∴ ，∴ ，∴ ，
在 与 中 ∴ ∴
[探究二]证明：如图所示，
∵四边形 是正方形，∴ ，
又 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又∵公共角 ，∴ ；
[探究三] 证明：∵ 是正方形的对角线，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，∴ ， ，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 在直线 上．∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又 ∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形 中， ．
(1)如图1，若 ，点 ， 分别在 ， 上，连接 ．
①线段 ， ， 三者之间的数量关系是：________；
②当点 是 中点时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，点 ， 分别在 ， 上．若 ，请直接写出线段 的长；
(3)如图3，若 ， ，连接 ，将 绕点 旋转，当 的一边与射线 重合时，另
一边与 的垂直平分线交于点 ，请直接写出线段 的长．
【答案】(1)① ；②见解析(2) (3) 或
【分析】（1）①将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则 ，证明 ，即可得出结论；
②设正方形的边长为 ， ，在 中， ，得出 ，进而即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 交 于点 ，由（1）②可得 ，则 ，勾股定理求
得 ，根据 即可求解；
（3）分 在 上， 在 上，分类讨论即可求解．
【详解】（1）①解： ，如图所示，
∵四边形 是正方形，∴ ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ，∴ 与 重合，
∵ ，则 ，即 三点共线，∴ ，
∵ ，则 ∴
又∵ ，∴ ∴ ，故答案为： ．
②当点 是 中点时，设正方形的边长为 ， ，则 ， ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ；
（2）解：如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，∵ ，∴四边形 是菱形，
又∵ ∴四边形 是正方形，∵ 则 是 的中点
由（1）②可得 ，∴ ，∴
∵ ∴ ∴ ∴
（3）解：如图所示，当 与 重合时，过点 作 ，
∵ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，则 ，又∵ ∴ 三点共圆，
又∵ ，∴ 都在 上，∴ ，
又∵ ∴ 是等腰直角三角形，则
如图，延长 交 的延长线于点 ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，
∵ ，即 是等腰直角三角形，∴ ；
②当 与 重合时，如图所示，同理可得 在 上，
是等腰直角三角形，∴ ∴ ，综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全
等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践(1)【操作发现】如图 ，诸葛小组将正方形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在正方形内部的点
处，折痕为 ，再将纸片沿过点 的直线折叠，使 与 重合，折痕为 ，请写出图中的一个
角；
(2)【拓展探究】如图 ，孔明小组继续将正方形纸片沿 继续折叠，点 的对应点恰好落在折痕 上的
点 处，连接 交 于点 ． 度； 若 ，求线段 的长；(3)【迁移应用】如图
，在矩形 ，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形 沿 ， 折叠，点 落在点 处，
点 落在点 处，点 ， ， 恰好在同一直线上，若点 为 的三等分点， ， ，请直接
写出线段 的长．
【答案】(1) ；(2) ； ；(3) 或 ．
【分析】（ ）由 是正方形，得出 ，再根据折叠的性质得: ，
，即可求解；
（ ） 由 是正方形，得 ，由折叠的性质得: ， ，
，则 ，由( )得: ，所以 是等腰直角三角形，则
， ，求出 即可求解；
由 可知， ，则有 ，又由 角所对直角边是斜边的一半及勾股定理，
线段和差即可求解；（ ）先添加辅助线，然后分两种情形： 当 ，当 ，分别求解即可．
【详解】（1）结论: ，
理由：∵四边形 是正方形，∴ ，
由折叠的性质得: ， ，
∴ ，∴（2） ∵四边形 是正方形，∴ ，
由折叠的性质得: ， ， ，
∴ ，由( )得: ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为： ；
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
（3）如图 中，在 上取一点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，
当 时， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
由( )可知 ，设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，解得： ，∴ ，当 时, 同法可得 ，综上所述，满足条件的 的值为： 或 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定
与性质、解直角三角形等知识， 熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出 是解题的关键．
