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专题17 手拉手相似模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、任意三角形....................................................................................................................2
2、直角三角形....................................................................................................................2
3、等边三角形与等腰直角三角形....................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................4
压轴真题强化.............................................................................................................................5
手拉手相似模型（手拉手旋转型）定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这
个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形
称为原三角形的旋转相似三角形。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、任意三角形
如图，∠BAC=∠DAE=
，
；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；
.
2、直角三角形
如图，
，
（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；
，AC⊥BD，
.
3、等边三角形与等腰直角三角形
如图，M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；
结论：
△BME∽△CMF；
.
如图，△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；
结论：
△ABD∽△ACE.
（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，
CE．请直接写出
的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC＝
∠ADE＝90°，且
＝
＝
．连接BD，CE．①求
的值；②延长CE 交BD 于点F，交AB 于
点G．求sin∠BFC 的值．
真题演练
（2021·四川乐山·中考真题）在等腰△ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 边上一点（不与点B、C 重
合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D 关于直线AB 的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝
；
（2）若∠C＝60°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2 中补全图形；
②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若
＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC 之间满足的数量关系，并证明．
某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，
中，
，
．点P 是底边BC 上一点，连接AP，以
AP 为腰作等腰
，且
，连接CQ、则BP 和CQ 的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，
中，
，
．点P 是腰AB 上一点，连接CP，以CP
为底边作等腰
，连接AQ，判断BP 和AQ 的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一点，以DP 为边作正方形DPEF，点Q
是正方形DPEF 两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF 的边长为
，
，求正方形
ABCD 的边长．
巩固练习
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，
和
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，把
以
为中心顺时针旋转，点
为射线
、
的交点．若
，
．以下结论：
①
；②
；
③当点
在
的延长线上时，
；
④在旋转过程中，当线段
最短时，
的面积为
．
其中正确结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以
的边
、
为腰分别向外作等腰直角
、
，连结
、
、
，过点
的直线分别交线段
、
于点
、
，以下说法：①当
压轴真题强化
时，
；②
；③若
，
，
，则
；④当
直线
时，点
为线段
的中点．正确的有 ．(填序号)
三、解答题
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰
中，
，
，点
，
分
别在
，
上，
，连接
，
，取
中点
，连接
．
(1)求证：
，
；
(2)将
绕点
顺时针旋转到图2 的位置．
①请直接写出
与
的位置关系：___________________；
②求证：
．
4．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固
定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片
和
中，
，
，
．
【初步感知】
（1）如图1，连接
，
，在纸片
绕点
旋转过程中，试探究
的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片
绕点
旋转过程中，当点
恰好落在
的中线
的延长线上时，延
长
交
于点
，求
的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片
绕点
旋转过程中，试探究
，
，
三点能否构成直角三角形．若能，直接写
出所有直角三角形
的面积；若不能，请说明理由．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他
数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在
和
中，
，
，
，连接
，
，延长
交
于点
．则
与
的数量关系：______，
______ ；
(2)类比探究：如图2，在
和
中，
，
，
，连接
，
，延长
，
交于点
．请猜想
与
的数量关系及
的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，
和
均为等腰直角三角形，
，连接
，
，
且点
，
，
在一条直线上，过点
作
，垂足为点
．则
，
，
之间的数量关
系：______；
(4)实践应用：正方形
中，
，若平面内存在点
满足
，
，则
______．
6．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在
中，点D 是斜边
上的动点（点D 与点A 不重合），连接
，以
为直角边
在
的右侧构造
，
，连接
，
．
特例感知
（1）如图1，当
时，
与
之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当
时，猜想
与
之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于
对称，连接
，
，
，如图3．已知
，
设
，四边形
的面积为y．
①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；
②当
时，请直接写出
的长度．
