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重难点 02 相似三角形模型及其综合题综合训练
中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：
一、K型相似
二、8字图相似
三、A字图相似
四、母子型相似
五、手拉手相似
相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相
似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。
考向一：K型相似
1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形 ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点
A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范
围是 ，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是
．
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2．（2023•福田区模拟）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；
（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直
接写出 的值．
3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】
（1）把矩形纸片 ABCD 如图①折叠，当点 B 的对应点 B'在 MN 的中点时，填空：△EB'M
△B'AN（“≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，
请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将
△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
考向二：8字图相似
1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很
多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证： ．
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小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点 B作BD∥PA，交PC的延长线于点
D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点 C分别作CD⊥PA
交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线
折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为 ．
【深度思考】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长
线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 ．
【拓展升华】
（4）如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 ．
2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠
得到△AFE，延长EF交CD于点G．
（1）求证：DG＝FG；
（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；
（3）如图3，当 时，连接CF并延长交AB于点H，求 的值．
考向三：A字图相似
1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，
再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 ．
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2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，
EF＝DE．
（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；
（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；
（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．
3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点
P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合
部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．
（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）
（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
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考向四：母子型相似
1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：
AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若
BF＝6，AD＝9，求CE的长．
▱
【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝
2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝ ∠BAD，DF＝ AE，若MN＝18，求EF的值．
2．（2023•润州区二模）如图 1，在△ABC中，点 D在边 AB上，点 P在边 AC 上，若满足∠BPD＝
∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．
（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆
规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），
点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．
①若AD＝1，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 ．
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考向五：手拉手相似
1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知 D、E 分别是△ABC 的 AB 边和 AC 边上的点，且
DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；
②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝ ；
【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE
和CM．
①如图3，写出CE和BD的数量关系 ；
②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点
N，连接MN，若 ，求MN的长．
【创新应用】如图5： ，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，
将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点， ，连接CF，请直接写出CF的取值范围．
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2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE
绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．
填空：① ＝ ；
②∠ACF的度数为 ；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接
CF，请分别求出 的值及∠ACF的度数；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF
的中点M，连接BM，CM，若 ，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．
3．（2023•晋中模拟）综合与实践
问题情境：
（1）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC 绕顶点A按逆时针方向
旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．
深入研究：
（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，
交于点P，求AF：DE的值；
②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．
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拓展应用：
（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝
CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．
（建议用时：150分钟）
1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．
求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝
DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，
求CF的长．
2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 ，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转
90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
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3．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，
∠AEF＝∠ABC＝ （ ≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与 的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当 ＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
α α α
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与 的数量关系．
α
α
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当 ＝120°时，若 ，求 的值．
α
4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求 的值．
5．（2023•湖州）【特例感知】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的
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延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．
【变式求异】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P
在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝
2DB，求 的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C
重合），连结 PQ，以 Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边 QM交射线 BC于点 M．若 AC＝
mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求 的值（用含m，n的代数式表示）．
6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重
合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中
α
点，连接DF，FG，BE．
（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当 ＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系
α
是 ， ＝ ．
（2）如图2，点D在线段BC上，当 ＝60°，k＝ 时，求证：BC+CD＝2 FG．
（3）当 ＝60°，k＝ 时，直线CEα与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的
长．
α
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7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按
顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，
连接FC，GB．
（1）求证：△ADE≌△A′DG；
（2）求证：AF•GB＝AG•FC；
（3）若AC＝8，tanA＝ ，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．
8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．
AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相
交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
9．（2022•湖北）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图 1，已知AD是
△ABC的角平分线，可证 ＝ ．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线
于点E，构造相似三角形来证明 ＝ ．
尝试证明：
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（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明： ＝ ；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折
叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝ ，求DE的长（用含m， 的式子表示）．
α α
10．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点
G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求 的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在 ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点
G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
▱
11．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC＝ ，求cos∠DCE的值．
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