文档内容
2001年数学(三)真题解析
一、填空题
⑴【答案】-j.
1 _a_
【解】 当Q=1时，由ALaK^l,，
dK/dL a
则K对L的弹性为
K/L =~J'
(2)【答案】 =1.2W「t +2.
【解】 由题意得W,满足的差分方程为W’ =1.2W— +2.
(3)【答案】 一3.
【解】 口丨=住+ 3)住一1尸，因为r(A)=3<4,所以I A | =0,又因为当怡=1时,
r(A) = l,所以 k = — 3.
⑷【答案】君.
【解】 由 E(X)= — 2, E(Y)=2 得 E(X+Y)=O,
于是 D(X +Y) = D (X) +D(Y) +2Cov(X,y)
=D(X) + D(Y) + 2“丫 yD(X) • 7D(Y) = 3,
由切比雪夫不等式得
r)( V _i_ y) i
P{\ X+Y |>6}=P{| (X+Y)-E(X+Y) |>6} < ―=—.
6 丄Z
(5)【答案】F, (10,5).
X
【解】由X,〜N(0,4),得〒〜N (0,1) ( < 15),
#(X[+・・・ + XG ~X2(10) , +-+X15)~/2(5),
于是
再由+(x+・.+ XG与+(X£ +…+ XG独立，得
y(X^ +-+X?o)/lO
£------------------ - 〜F(10,5),
+・..+Xl)/5
+-+X^o
即 F(10,5).
2(X1+ …+X£)
二、选择题
(1)【答案】(B).
【解】1血心旦=—1 VO,由极限保号性，存在5>0,当0<丨工一a丨< &时,
— a
x*a- JC
A)<0.
x — a当工 € (a — & ,<2)时，由広一aVO 得 _/''(工)>0；
当z W(a,a+5)时，由工一<2> 0得f\x ) V 0,于是x = a为f(x)的极大值点，应选(E).
方法点评：本题考查函数极限的保号性与函数极值的判别方法.
判断函数极值点的步骤及方法如下：
(1) 首先求出函数的定义域；
(2) 在定义域内找出函数的驻点及不可导点；
(3) 对驻点或不可导点判断是否为极值点，判别方法有两种，即第一充分条件与第二充分条件.
这里需要补充两点：
(1) 若 f\a) = (a)=…=(a) = 0,但 f(2k} (a) H 0,则 z = a 为 fO 的极值点，其
中当(^)>o时，# = a为yQ)的极小值点；当/(2i) (a) VO时，工=a为)的极大值点；
(2) 若 yz(a) =f，f(a) =••• ==/<2n (a ) =0,但 /<2i+1) (a ) 5^ 0,则(a ,/(a ))为曲线 y =/(x )
的拐点.
(2) 【答案】(D).
r R ] t 3 t
【解】 当 0 1 时，g(«z)= — (jr2 + l)dj： = ~7- + v ；
Jo Z 6 z
( 丁 _
fl 1 fx 1 ? 1 )2
当 1 £攵£2 时，g(z)=| — (j;2 + l)djc +| —(j? — l)da： --------------,
J o Z J 1 3 3 6
(3
令 + 宁， OWhVI,
, o Z
则g(_z)=2 显然g(z )在(0,2)内连续，应选(D).
, m,
I 3 6
(3) 【答案】(C).
【解】 由 B=AP2Pt A \
再由 Pj=Pi，PzX=P2,1=P1P2A1,应选(C).
方法点评：本题考查矩阵的初等变换及初等矩阵.
矩阵的三种初等行变换与矩阵左乘三种初等矩阵等价，矩阵的初等列变换与矩阵右乘三
种初等矩阵等价.
(4)【答案】(D).
IA a \
【解】因为心)S所以心0)=心)WG + 1,
于是0有非零解，应选(D).
0八
(5)【答案】(A).
【解】 方法一 由X+Y = “，得Y = — X + “，
于是 D(X)=D(Y) , Cov(X,Y) =Cov(X,-X+“)= — D(X),
Cov(X,Y) D(X)
故pXY =—1，应选(A).
= _D(X)
VD(X) ■ ^/DCY)
方法二因为X+Y = n，所以y = -X+/z且一IVO,
于是 P {Y = — X + n } =1,故 “丫 = — 1,应选(A).方法点评：设X,Y为两个随机变量，若ioXY=l,称随机变量X,Y正相关，其充分必要条件
为 P {Y =aX + 6} =1( a >0)；
设X,Y为两个随机变量，若=一1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为
P{Y=aX+b} =1( a < 0).
三、【解】方法一
2, =0,
sin t
t
dy = y Az （工一z）ex
解得 —=1-----:---------------
dj? JC Ax sinQ — n ）
du = df y 3f
于是
dj? 3x jc 3y L sin（j? — n ）」3z
方法二 u = 两边求微分 得
9
血也+知，+孤
ox dy dz
exy （j/djr
求微分，得 工 sin（j; 一 n ）
e =---------------
X — N
dy = 一 — dj?,
x
解得 <
sin（«z — n） —（工一
dz = : - r djc，
sin（H — n ）
sin（jc 一 z） 一（re 一 N）e°
于是 —2 +
X sin（H — n ）
du 3f y t df < sin（j; 一 n） —（工 一 N）e"
故
3x X dy sin（j? 一 n ）
lim = lim（l + -^―
四、【解】
C ' Hf 8 \ JC — C
x—OO \«Z —
由微分中值定理得 / （j：） — f^x —1） — ff （_z—lVWVz ）,
由 lim/'Q ） = e 得 = e，于是 e2c = e ,故 c = £ .
Lt
x -*-°°
五、【解】 如图所示，令Di={(z,y)丨0€#£1,—攵生夕丢乞},
D2 = {(x ,j/) | y x 冬一 jy , — 1 W y £ 0}，贝U
+丸宁）dr dy =JJy dz dy + jjzy e 2 dr djy
D D D
五题图
由奇偶性及对称性得jpcjy e 2 dr djy = rr 亠
dzdj； + Tye 2 dz dy = 0 ,
D
D1 D2
而 jjj/djr dy = ]_严[jydy 1「 1 (•T 2 一 l)dj?
D -i 2 -1
=I (X 2 — l)djc
I
J 0
2
故所求积分=—三・
六、【解】 抛物线与工轴交点的横坐标为工=0及工
P
抛物线与鼻轴围成的面积为
9_
3
q
S = (px2 + qx ) do-
o 6/2
\x + 3/ = 5 , ”
由｛ 2 得 Px +(l+q,)a: — 5— 0,
W = Px 2 + qx
因为直线工+夕=5与抛物线y = pj：2 qx相切,
所以 △ = (1 +q)2 + 20卫=0 ,
即 p = —^-(1 +q)2 »故 S 200q3
3(1+q)4
_200q2(3 -<7)
由S' =0 ,得 q = 3 ,
—3(1+汀
且当 0 Vq<3 时，S'>0,当 q>3 时，S' VO,
225
a
故当<7=3时面积最大，此时p =—-，最大面积为S =——.
b oZ
七、【证明】 令(x ) = t e~x f (a:),
由积分中值定理得
1 _
r— 1 1
/(I) = k jc e1_J/(j; )dz =怡• ce1_t/(c) •〒 ncJr/Xc) , c W °，〒
k k
J 0
于是 1 • e_1/（l） —ce~cf（c），即 °（c）=卩（1）,
由罗尔定理，存在$ 6 （c,l） U （0,1），使得卩'（£） =0.
而卩'（z） = e-x E/（j; ） — ） + jcf\oc ）］且 e_J 工 0 ,
所以 y（e）-e/（e）+ e/,（e）=0,故y,（e）=（i-e_1）/（e）.
八、【解】 由咒（z ）=几（h ） + xM_1 ex，得 （工）一f n （je ） —xn~x ex，解得
几（z）=（花”一鼻仏卜“血吐 +C）=（+才 + c）己,
ep e"
由/n （1） = — 9得C =0,于是几（工）=一x
n一 n
J30、
£几(工)=£ x n
—x" = ~ = — e° ln(l 一 x ) ( — 1三工 VI).
n=l n=l九、【解】(1)方法一 因为方程组AX=fi有解但不唯一，所以r(A)=r(A)<3,
1 1 a
于是= 1 a 1 =—(a + 2)(a — l)2 = ()9 即 a = — 2 或 a =1，
a 1 1
因为当a =1时,r(A) = l 0. 977 =0(2),
得 1 000； 10/7 > 2,解得兀 < 98. 019 9,
即最多可以装98箱，可以保证不超载的概率大于0. 977.
十二、【解】 二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
lWz W3,lW；yW3,
，夕)=
其他.
U 的分布函数为 Fu(M)=P{UCu}=P{| X—Y 丨£“}= ]J fCx,y)dxdy ,
\x—y |
当 u VO 时，Fv(u) — 0；
当 0 < u < 2 时，Fu(u)=1 — -
当u 2时9 Fu(况)=1,即
[0, % V 0 9
Fu (%) =21 — 0 W 况 V 2 9
4
1, u三2今
[2 一 u
0 V % V 2，
于是U的密度函数为pS)=
其他.
