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\-k , 2X(6 — 3)、2
当 0 < 1 时,PIX2X =---------------------------—
3 9 3
当 bVO 时，尸〈X$S=1,故
⑸【答案】着O .
【解】 X的密度函数为
/(.) JI
一 1 <工 < 2,
[o,
其他.
P{Y = -1} =P{X < 0} = [° 心血=y ；
J -1 o
p{y = 0} =o；
C2 2
p{y = i} =p{x >o} = y(j?)dj?=—,
Jo o
厂]0 1 \
U 0 A
即Y的分布律为Y〜 E(y)=y, E(0) =1,
\ 3 3 '
o
故 D(Y) =E(y2) - ：E(Y)]2 =—.
二、选择题
(1)【答案】(D).
丁2 — 1 d + 2
【解】 令华(乂)= 2 ，—- > 于(2)=1, g(x ) = 2 ，贝 |J 0(z) W /(z) W g(z),
+1 +1
3C X
3
且 lim[g (x ) 一°(工)]=lim ------= 0 9但 lim/(a? ) = 19 贝!j ( A) , (C)不正确；
gfOO 工 —j— ] 8
令(p(x) =ex — e_ 1 x 1 9 f (兀)=€ 9 g (h ) = e" + J E 9 则卩(z ) W /Xz ) W g (工)9
且lim[g (工)一爭(2)] = lim2e_ ® = 0，但lim/(h )不存在9则(E)不正确，应选(D)・
jr —► 00 x -* 00 x -*■ 00
(2)【答案】(B).
【解】 设 /(a) =0, /'(a) H 0,令 g(H ) = I /Xz ) I ‘
g7a)= lim g^)-gl £)=lim \ f^21 = _ lim =_|f(a)| ,
—厂 oc —a x^a- x — a x — a
g仏)=lim gG—g(")= Hm 归21= Hm 心)_")=|")| ,
_a+ JC —a x — a —+ X — a
若 y'(a)H0,则 gI(a)Hg；(a)，即 \ fCx) | 在 x =a 处不可导，应选(E).
方法点评：设f O 在攵=a处可导，I /(j: ) I在工=a处的可导性如下：
(1) 若 /"(a)HO,则 | /(a: ) | 在 >z=a 处可导；
(2) 若/(a) =0,则当fO = 0时，|于(工)|在工=a处可导；当/'(a) H 0时，丨_/(工)|
在x =a处不可导.
(3)【答案】(C).
【解】 由r(A) = 3,得AX = 0的基础解系含一个线性无关的解向量,
其基础解系为 § = (。1一(/2)+ (叭一。3)= (2,3,4,5)T,（C为任意常数），应选（C）.
（4）【答案】（A）.
【解】 设AX = O,则AtAX= 0,即（I ）的解一定是（U ）的解;
设 AtAXo=O,则 xJataxo=o 或（axo）taxo=o,
于是AX°=0,即（H ）的解也一定是（I ）的解，应选（A）.
方法点评：本题考查两个方程组的解的关系与系数矩阵秩的关系.
设AX = 0与BX= 0为两个齐次线性方程组，则
（1） 若AX = 0与BX= 0同解，则r（A）=r（B）,反之不对；
（2） 若AX = 0的解为BX= 0的解,BX= 0的解不一定为AX= 0的解，则厂（A）$r（B）.
（5）【答案】（C）.
【解】事件｛电炉断电｝发生当且仅当至少有两个温控器显示的温度值大于等于仏，
若4个温控器的温度值有T⑴＜ T⑵＜ T⑶＜ T⑷，则事件E等于｛T⑶＞i0｝，
应选（C）.
三、【解】 『一2j/ =0的特征方程为A2 — 2A =0,特征根为A ! =0,入2 = 2,
方程 一 =0 的通解为 y =C] C2 e2j:.
令方程j/‘一 2j/=e^的特解为y0 =axex，代入原方程得a =-^-,
原方程的通解为y = G + C2e2x + .
3 1
由 y(0)=l，j/(0)= 1 得 Cj = —, C2 =—
3 1 1
故特解为^=T + Te-+-^e-
x = rcos 0 9
四、【解】如图所示，令| . ° —W0WO 9OW 厂 W— 2a sin 9
\y = rsin 9 < 4
则 ______ + __ y __ 2 ___dzdy = [de *—2a sin 0 z r 2 dr ,
222
D a ——x ——y —T 0 a/4<22 — r2
»—2asin 0 r2 r = 2a sin t ~6 2 sin2 Z
而 dr = • 2a cos tdl
0 \/4a2 — r2 0 2a cos t
_o '一 6
=4a 2 sinLdt = 2a 2 (1 — cos 2t)dt
o
0
=2a2 (- 9 + -^-sin 20) 9
9 + —sin 20 ) d0 =
于是 djr dy = 2a2
D y46Z2 — X2 — y2
五、【解】(l)jR=/iQ+p2Q= 18Qj + 12Q — 2Qi — »
L = R — C = — 5 + 16Q] +IOQ2 — 2Q i — Q：，得 Qi=4, Q2 = 5, Qi=10, p2=7,
= 1° 一 2Q2 =0,
当两个市场的销售量为Q =4, Q2 =5,销售价格为p. =10, p2 -7时，企业获得最大利
润，最大利润为L(4,5) =52(万元).
(2)由 p J — pz ■> 得 18 — 2Q =12 — Q，得 2Qi — Q — 6=0,
令 F(Q] ,Q2 »A ) = — 5 十 I6Q1+ 10Q2 — 2Q： — + 入(2Q — Q2 — 6),
(3F
=16 — 4Q + 2A = 0,
3Q 7
=10 — 2Q2 — A = 0,得 Q =5,Q=4,从而 p = 8,
-=2Ql-Qz-6=0,
最大利润为L =49（万元）.
比较两种价格策略可知，实行价格差别定价所得利润大于统一价格的利润.
六、【解】 令“=花土手注+""心=o,得#= —1,工=o.
当工＜-1时，"＞（）;当一1 ＜工＜ 0时，『V0；当工＞0时，j/＞0,
则（―oo,— 1］及［0,+oo）为函数的单调增区间；［—1,0］为函数的单调减区间，
jc — —1为极大值点，极大值为夕（一 1） = —2e4 ； = 0为极小值点，极小值为夕（0） = —e2 .
因为 lim 4= lim —ei+arc，anx =1,
l1m[/(^)-x]= limE^( el+arCtan — 1)—占”丽=]
所以y =_z —2为曲线的斜渐近线;
又因为•y+arctan x 1
e
1 +^2 K …
lim ----------- --------------e = — Ze，
:f+8
x2
所以y =e"Q —2)为曲线的另一条斜渐近线.
七、【解】由In = 7 sin”H cos x dx = sin"«z d(sin x )
J 0 o
中 ］ ”+1
― sM+l 工
72 + 1 0 九 + 1
得oo孚 诣8 士j 関/ >— \ 九+ 1
00 卄
1 ”+1
令 S(.)= S^-7 ，级数s ^—7的收敛区间为(一1,1),
兀十1 ZZ十1
”=o n = 0
OO
由 s'(_r)=〉2工"=-—9 得 S(h)=S(0)+ Sz (re )dj? = — ln( 1 — x ),
1 —攵 J 0
” =0
于是£=s
=—In =ln(2 + 短).
n = 0
八、【证明】令FQ)= /(i)di , F(0)=F(兀)=0.
0
由罗尔定理，存在c G (0,7t)，使得F'(c)=0,即/(c) =0.
不妨设在(0,7T)内/(.Z )除C外没有其他零点，则/(J?)在(0,C)与(C,7t)内异号，
不妨设当 Z G (O,c)时 /(J； ) > 0 ；当 Z G(C,7T)时 /(J7 ) <0.
J (cos x—cos c)/"(z )dz =
(cos 3C — COS )dj? + (cos JC — COS )djr 9
0
因为(cos X — COS C)/(J；)在［0,c］上连续，(cos X — COS C)/(J7 ) N 0 且不恒为零,
所以 J (cos jc — cos c) > 0,同理 J (cos x — cos )dj?〉0,
故 (cos x — cos c)/(x > 0.
o
* f 7t
而 (cos x — cos c)/(^7 )djc = cos xf{x )dj： —cos c )dz =0,矛盾，
0 0 Jo
所以/(^)在(0,兀)内至少有两个零点.
方法点评：本题考查定积分的如下性质:
设)在[a上连续，) $ 0但/(j:)不恒为零，贝U [ /(jr )djc〉0.
九、【解】0可否由向量组«!，«2,«3线性表示等价于非齐次线性方程组心血+工2。2+工3。3=0是
否有解.
a -2 -1
A | = 5 心2 心 I = 2 1 1 =~a —4.
10 5 4
(1)当a H—4时，因为方程组h41+ jr2a2+a:3a3=jJ有唯一解,所以0可由心 唯一线性表示;
当a = — 4时，
I -4 -2 -1 1 /2 1 1 b 2 1 1 b
A = 2 1 1 b 0 0 1 2b + 1 0 0 1 2b + 1
10 5 4 0 0 -1 c — 5b 0 0 0 c — 3b + 1
(2) 当 c —3b + lH 0 时，因为 r(A) ^r(A),所以方程组 rxax -\~x2a2 +工3(^3=0 无解，即 0
不可由向量组ax ,a2 ,a3线性表示；
(3) 当 c — 36 + 1 =0 时 9 因为厂(A*(A))=r = 2V39 所以方程组 j71a1+j72a2_H^3a3=^ 有无
数个解，即P可由向量组a 1 ,a2 ,a3 线性表示，但表示方法不唯一，由
1 b + 1]
/2 1 1 b \ 1 0
2 2
A > 0 1 26 + 1
'0 o' 0 0 1 2b + 1
0 0
0 0 0 0
b + 1〕
，一 1
2
+
得心 0：1+ 工 2 。 2 十工 3 03=0的通解％X = k 2 0 (k为任意常数)，
0
.26 + 1
故0=_仏+歸)
aj +2^a2 + (26 + 1 )(X3(怡为任意常数).
方法点评：本题考查非齐次线性方程组与向量组线性表示之间的关系.
<2U^1 + a 12攵 2 H----+oi”z” =山，
.......... ^21工1 +a22 攵 2 --------------------+a2”H”=〃2，
对齐次线性方程组Y
工 a,””z” =bm.
—Mi +—2 2 H------------
a 11 52 •• ・ a 工 1
令A = a 21 如 2 •・ ・ a ,X = 攵 2 ,b — b2 ，方程组的矩阵形式为AX = b,
: :
口 ml a沁 •・・ a x © nt J
a 11 a 12
°21 a 22 a2n 1^2
令a】= ，a2 = ,b = ，方程组的向量形式为
• :
、Q 丿 m2 , bm
XiCt \ +Ga2 +…+z”a”=b.
方程组的解、矩阵的秩、向量组的线性表示之间的关系为：
(1) 非齐次线性方程组有唯一解少f(A)=r(A)=”少向量方可由向量组ax ,a2, ••- ,a„唯
一线性表示；
(2) 非齐次线性方程组有无数个解(A) =r(A) V/zG向量b可由向量组a! ,a2,••• ,an
线性表示，但表示法不唯一；
(3) 非齐次线性方程组无解少厂(A)Hr(A)少向量b不可由向量组a】,a2，…,a”线性表示.十、【解】%X = ，对任意X有f(x j，「，…，乞”)$ 0,
jc i a ] jc 2 := 0 9
工 2 +©2工3 =0,
且 /(J?! ,X2，•-- ) =0 当且仅当 < : 时成立.
•Z”_l + <2„_1 = 0 ,
xn + i =0
该方程组只有零解的充分必要条件为
1 0 0
0 1 a2 0
D 0 0 1 0 =1 + (一 1)"+1如<22 …a” 工0，
a” 0 0 1
于是当1+ (—1) "+1 axa2 ・・・a H 0时，对任意的XHO有/Xg ,工2,…，工”)> 0,
即当1+ (― 1)"”++i。ax山a22・・9” H0时，二次型/(a：!， 工2'…，H”)为正定二次型.
十一、【解】(1)Y的密度函数为
] Or >2
/(j^) = e 2 ( — 00 V jy V+ 00 ) 9
丿2兀
e" C+8 .
b =E(X) =E(eY)=—— . ey • e 2 dy ------ ■ et 2 d(j/ — fi )
a/2tt 丿-
亠 一J r+°° 9 ”+丄 ・+oo 1 九=e"诒
• e dt =------ e 2 d(t~ 1) =e" 2 e
J 一 8
1 -°° 4^
(2)当 a 0. 05时，标准正态分布的左、右分位点为± 1・96,
因为Y〜N (〃 9无
，所以 2(Y —〃) N(O,1),
于是 P{— 1. 96 V 2(Y —//) V 1. 96} =0. 95,
_ . _ In 0. 5 + In 0. 8 + In 1. 25 + In 2 ,0 D , „ n0 ” 八 noX n n£-
又由 夕=-------------- --------------- =0,得 P {— 0. 98 < 〃 < 0. 98} =0. 95 ,
即置信度为0.95的〃的置信区间为(一 0.98,0.98).
(3)由 P{—0. 98 V” V0. 98} =0. 95,得 P (-0. 48 — 1) (2q — 1) 4r — 4pq ,
则X,Y不相关的充分必要条件是Cov(X,Y)= 0或pq=r，即事件独立.
