专题2-4瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-4 瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲 线） 01 题型·解读 【例题1】三种处理策略 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题 【瓜豆圆介绍】 题型一 轨迹为直线型·构造中位线求 2023·广东深圳·统考三模 题型二 轨迹为直线型·构造手拉手 经典例题·宿迁中考 2023·黑龙江绥化·中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 2023·西安市交通大学附属中学初三月考 题型三 轨迹为直线型·将军饮马加权线段和问题 题型四 轨迹为圆弧型·构造中位线 2023·山东泰安·中考真题 题型五 轨迹为圆弧型·构造手拉手 2023·四川宜宾·统考中考真题 2022沈阳中考 2022·盐城市一模 2023·深圳外国语学校中考模拟 题型六 路径相关问题 2022·山东滨州·统考中考真题 2023·海南·统考中考真题 题型七 当线段最小值时求其它量 2022·广东广州·中考真题 2023·四川·广元中考真题 02 满分·技巧 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探 究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找 3处以上的点来确定轨迹 类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从 动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运 1、两“动”，一“定” 动轨迹长度的比和它们到定点的距 2、两动点与定点的连线夹角是定 角 离比相同。 3、两动点到定点的距离比值是定 【例题 1】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段 PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 A E P B D C P' 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P A 始 E 主动点 P 60° P' 始 P C B D C 末 定点 轨迹 P' P' 从动点 末 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可 找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手 拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从 P点的 轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋 转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择 一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． A A E E P P B D C B D C P' P' D' 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A 30° E E P P B C 60° B 30° D C P' P' 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主 动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通 过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点 P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点 G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹 时的旋转方式则是PP’，注意区分. A A E E G G P P B D C B D C P' P' 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， A E P B D C H P' 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝ +2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E G P B D C P' 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠EC P’ ∴△GCP≌△ECP’(SAS)， ∴EP’＝GP， 过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求． A E G H P B D C P' ∵∠GEC＝∠ACD ∴HE∥DC ∵∠GHD＝∠ADC ∴HG∥DC 故G，E，H三点共线，则有HE∥DC 又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴HE＝ ∴EP’的最小值是3 总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹 2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹. 3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题 2】饮马类瓜豆与加权线段和问题 已知点 ，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC. 角度1：反向旋转构造手拉手（不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短） （1）求OC的最小值 y A O x B C 【简析】如图，构造等腰直角△AOE， 由旋转相似可知 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A O x E B C 角度2：构造手拉手求从动点轨迹 （2）求 的最小值 y A O x B C 【简析】 ，求出 C 点轨迹，再将军饮马，如图，在B 点轨迹上取一点 ，构造旋转相似，易知 ，可知 C 点轨迹为 ，作 ， ，补充：此时加权线段和对应三边之比 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y A A O x O x N M B O' N M B C C 角度3：构造旋转相似求加权线段和 （3）记 ，①求 的最小值；②求 的最小值 y D A O x B C 【简析】①由旋转相似可知 ，则 ② ，补充：此时加权线段和对应相似比 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y D D A A O O O' B B C C 【瓜豆圆介绍】 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。当点P在圆O上运动时，Q点轨 迹是？ P Q A Q P O A M O 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是 OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2 【小结】 确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM= AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 03 核心·题型 题型一 轨迹为直线型·构造中位线求 2023·广东深圳·统考三模 1．如图所示，AB4，AC 2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD 并延长至点P，使ADPD，则PB长的取值范围为 ________． 题型二 轨迹为直线型·构造手拉手 经典例题·宿迁中考 2．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接 EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． A D F G B C E 3．如图，在平行四边形 中，点E为射线 上一动点，连接 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，求 的最小值． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【思路点拨】将 顺时针旋转60°，作等边 ，根据手拉手模型可知 ，根据垂线段 最短可知，当 时， 的值最小，利用勾股定理求解 即可求解． 4．（2023·洛阳·二模）如图，在ABC中，AB AC 2，BAC 120，对称轴AD交BC于点D， 点E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转30得FC，连接DF， 则DF长的最小值为 ． 5．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在ABC中，ACB90，AC BC 4，P是ABC 的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45得到BP，连接DP，则 DP的最小值是 ． 2023·黑龙江绥化·中考真题 6．如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针 旋转60得到CF．连接AF ，EF，DF，则CDF周长的最小值是 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最 小值是 ． 2023·湖北黄冈·统考中考真题 A(3,0) AB 120 AC 8．如图，已知点 ，点B在y轴正半轴上，将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，若 点C的坐标为(7,h)，则h ． 9．如图，在ABC中，ACB90，AC 15，BC 9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP， 将线段BP绕点P逆时针旋转90得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·西安市交通大学附属中学初三月考 10．如图，矩形ABCD中，AB6，BC8，E为BC上一点，且BE2，F 为AB边上的一个动 点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值 为 ． 11．如图，矩形ABCD中，AB6，BC 4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AECF， 将线段EF绕点F逆时针旋转90得到线段FG，连接DG （1）当点E为AB的中点时，线段DG的长是 ； （2）当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是 ． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12．如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕 点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为 13．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点， 连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． A D F G B E C 【变式训练】双动点 14．如图，正方形 ABCD的边长为 4，E为BC上一点，F为AB边上一点，连接 EF，以EF为 底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为 ． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F G B E C 题型三 轨迹为直线型·将军饮马加权线段和问题 15．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点， ， 是直线 上一动 点，将线 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，则 的最小值是 ． 16．如图，已知∠CAB＝30°，AB＝2，点D在射线AC上，以BD为边作正方形BDEF，连接AE、 BE，则AE＋BE的最小值为___________． E C F D A B 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点， 以MP为边在MP右侧作Rt MPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则 AMQ周长的最小值为 ________． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝ ，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角 三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋ 的最小值． F A E D B C 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1， ），点P是x轴上的一动点，连接 AP，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AQ，连接OQ，PQ，求 ＋PQ的最小值． y Q A O P x 题型四 轨迹为圆弧型·构造中位线 19．（2023·周口·三模）如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是 线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最 小值为 ． 2023·山东泰安·中考真题 Rt△AOB OB (6，4) 20．如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ； RtCOD COD90，OD4 3，D30 BC BC AM 中， ，连接 ，点M是 中点，连接 ．将 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 RtCOD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是（ ） A．3 B．6 24 C．2 132 D．2 21．如图，点A，B的坐标分别为 A(2,0) ， B(0,2) ，点C为坐标平面内一点，BC 1，点M 为线 段AC的中点，连接OM ，则OM 的最大值为 ( ) 1 1 2 2 2 A． 21 B． 2 C．2 21 D． 2 O AC 4 2 O AB 22．如图，在半径为4的 中，弦 ，B是 上的一动点（不与点A重合），D是 的中点，M为CD的中点，则AM 的最大值为 ． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型五 轨迹为圆弧型·构造手拉手 2023·四川宜宾·统考中考真题 23．如图，M 是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心 90 BQ MQ AB4 MP1 MQ 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 2022 沈阳中考 24．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝ ，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则 AD的最大值是_________． D C A B 25．如图，点P是正方形ABCD所在平面内一点，∠APB＝90°，连接DP，将线段DP绕点D逆时 针旋转90°得到线段DQ，连接AQ，若AB＝2，则线段AQ的最大值为___________． A D Q P B C 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·盐城市一模 26．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长 为半径的圆交x轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作 1 Rt PAQ，使得tanAPQ ，连接DQ，则DQ的最小值为 2 △ 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·深圳外国语学校中考模拟 27．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是A上的任意一点， 将线段DE绕点D顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF，连接AF ，则AF 的最小值是 ． 28．如图，AB4，O为AB的中点，O的半径为1，点P是O上一动点，以PB为直角边的 等腰直角三角形PBC （点P、B、C按逆时针方向排列），则线段 AC的长的取值范围为 ． 29．如下图，在正方形ABCD中，AB6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段 DE绕点D逆时针旋转90，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和 ． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型六 路径相关问题 2022·山东滨州·统考中考真题 30．正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边 AB,BC 分别与边 相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段 EF的中点G经过的路线是（ ） A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线 2023·海南·统考中考真题 31．如图，在正方形ABCD中，AB8，点E在边AD上，且AD4AE，点P为边AB上的动点， EF 连接 ，过点E作 ，交射线 于点F，则  ．若点M是线段 的中点， PE EF PE BC PE EF 则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ． 32．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧 构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F A D E G B C 33．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G 绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ， CEF面积的最小值是 ． △ 题型七 当线段最小值时求其它量 2022·广东广州·中考真题 34．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转 60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当 线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为 2023·辽宁·中考真题 35．如图，线段AB8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段 BD CD AB RtDCE DCE90,E30 F DE ，连接 ，在 的上方作 ，使 ，点 为 的中点，连接 AF ，当AF 最小时，BCD的面积为 ． 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 36．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，将 线段DE绕点D顺时针旋转120°得到DF，连接CF，当CF取得最小值时，求 的值． F A B D C E 2023·四川·广元中考真题 37．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在 BC上方作RtBDC，且DBC 30． (1)若BDC=90，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且AEB90，EBA30，连接DE， 用等式表示线段AC与DE的数量关系是 ； (2)如图2，在(1)的条件下，若DEAB，AB4，AC 2，求BC的长； (3)如图3，若BCD90，AB4，AC 2，当AD的值最大时，求此时tanCBA的值． 24