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淘宝：学思创想
专题12 全等模型-角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全
等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，
为
的角平分线、
于点A 时，过点C 作
.
结论：
、
≌
.
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在
中，
，
为
的角平分线，过点D 作
.
结论：
、
≌
.（当
是等腰直角三角形时，还有
.）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC=BC，过点C 作CD⊥OA、CE⊥OB。
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结论：①
；②
；③
.
例1．（2022·北京·中考真题）如图，在
中，
平分
若
则
____．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于
点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，
中，
、
的角平分线
、
交于
点P，延长
、
，
，
，则①
平分
；②
；③
；④
．上述结论中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②③④
例4．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形
中，
，点O 为
的中点，
且
平分
．(1)求证：
平分
；(2)求证：
；(3)求证：
．
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例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP 平分∠AOB，∠DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线CD 交射
线OA 于点F，射线CE 交射线OB 于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF 与CG
的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理
由．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，
为
的角平分线，
，
结论：△AOC≌△BOC，
是等腰三角形、
是三线合一等。
图1 图2 图3
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条件：如图2，
为
的角平分线，
，延长BA，CE 交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，
是等腰三角形、BE 是三线合一等。
例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点
在
内部，
平分
，且
，连接
．
若
的面积为
，则
的面积为 ．
例2．（2022 秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，
中，
是
的角平分线，
；若
的最大值为
，则
长为 ．
例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90，BD 平分∠ABC 交AC 于点D．
（1）如图1，点F 为BC 上一点，连接AF 交BD 于点E．若AB=BF，求证：BD 垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E 在BD 的延长线上．试判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F 为BC 上一点，∠EFC=
∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF 与AC 交于点M．直接写出线
段CE 与线段FM 的数量关系．
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例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在
中，
，
，
是
边上一动点，
于
．（1）如图（1），若
平分
时，①求
的度数；
②延长
交
的延长线于点
，补全图形，探究
与
的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点
作
于点
，猜想线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的猜想．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，
为
的角平分线，A 为任意一点，在
上截取
，连结
.
结论：
≌
，CB=CA。
条件：如图，
分别为
和
的角平分线，
，在
上截取
，连结
.
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结论：
≌
，
≌
，AB+CD=BC。
例1．（2022 秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，点E 是直线BC 上的动点．
（1）如图1，当点E 在CB 的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC 的度数为
．
（2）如图2，AC＞AB，点P 在线段AD 延长线上，比较AC+BP 与AB+CP 之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB 的度数（要求：画图，
写思路，求出度数）．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在
中，
，
，
是
的平分线，
延长
至点
，
，试求
的度数．
例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形
中，
是
边的中点．
（1）如图（1），若
平分
，
，则线段
、
、
的长度满足的数量关系为
______；（直接写出答案）；（2）如图（2），
平分
，
平分
，若
，则线
段
、
、
、
的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
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例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC 中，∠ACB＝2 B
∠，如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的角
平分线时，在AB 上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？不需要证
明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB，AC，CD 又有怎样的
数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
课后专项训练
1．（2022 秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，
（
是常量）．点P 在
的平分线上，且
，以点P 为顶点的
绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中，
的两边分别与
，
相交于M，N 两点，若
始终与
互补，则以下四个结论：①
；②
的值不
变；③四边形
的面积不变；④点M 与点N 的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．②③
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2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形
的对角互补，且
，
，
．
过顶点C 作
于E，则
的值为（ ）
A．
B．9
C．6
D．7．2
3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，BC=DC，∠B+ D=180°
∠
． 连接AC，在AB，AC，AD 上分别取点
E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE 的面积为4，则△APF 的面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，
（
是常量）．点P 在
的平分线上，且
，以点P 为顶点的
绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中，
的两边分别与
，
相交于M，N 两点，若
始终与
互补，则以下四个结论：①
；②
的值不
变；③四边形
的面积不变；④点M 与点N 的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．②③
5．（2022·安徽合肥·一模）如图，
中，AD 平分
，E 是BC 中点，
，
，
，
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则DE 的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
6．（2022·福建·福州一模）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于点D，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC 于
点B，交CD 于点F，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；
②AE=CE；③△DGF 为等腰三角形；④S 四边形ADGE=S 四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正
确结论序号）．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形
中
，
，
为
上
一点，连接
，
，
，若
，则线段
的长为 ．
8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形
中，
平分
，
，
求证：
．
9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知，
是
的平分线，且
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交
的延长线于点E．求证：
．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在
中，
分别平分
，交
于点
．
(1)求证：
；
(2)过点
作
，垂足为
．若
的周长为56，
，求
的面积．
11．（2022 秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE 中，D、C 分别在AE、BE 上且CD＝
CB，AC 平分∠EAB，CH⊥AB 于点H．(1)求证：
；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH 的长．
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12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出
（1）如图①，已知
，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交
于点M，交
于点N，分别以点
M，N 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在
的内部交于点C，画射线
，连接
，则图①中与
全等的是___________；
问题探究（2）如图②，在
中，
平分
，过点D 作
于点M，连接
，
，若
，求证：
；
问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板
，
，他需要利用铁板的边角裁出一个四
边形
，并要求
，
．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作
出
的平分线
交
于点D，作
的平分线
交
于点E，
交于点F，得到四边形
．请问，若按上述作法，裁得的四边形
是否符合要求？请证明你的结论．
13．（2022·江苏·一模）如图，已知
，AE，BD 是
的角平分线，且交于点P．
（1）求
的度数．（2）求证：点
在
的平分线上．（3）求证：①
；②
．
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14．（2022·北京西城·二模）在△ABC 中，AB=AC，过点C 作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B 在
直线AC 的异侧）点D 是射线CB′上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与
的位置关系是______，若
，则CD 的长为______；
（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE．①用等式表示
与
之间的
数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE 之间的数量关系，并证明．
15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD 中，
，连接AC、BD，交于点E，
．(1)求证：
；(2)如图2，过点B 作
，交DC 于点F，交AC 于点
G，若
，求证：
；(3)如图3，在（2）的条件下，若
，求线段GF 的长．
16．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE 与DC 交于点F．
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（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE 的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求
CD．
17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD 平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
18．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96 页的部分内容．
已知：如图13.5.4，
是
的平分线，P 是
上任意一点，
，垂足分别为点D
和点E．
求证：
．
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分析：图中有两个直角三角形
和
，只要证明这两个三角形全等便可证得
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明
的过程．
【类比探究】（1）如图②，
是
的平分线，P 是
上任意一点，点
分别在
和
上，
连接
和
，若
，求证：
；（2）如图③，
的周长是12，
分别平分
和
于点D，若
，则
的面积为
．
19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在
中，
，
平分
．
（1）如图1，若
，求证：
；（2）如图2，若
，求
的度
数；
（3）如图3，若
，求证：
．
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20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画
，并画
的平分线
．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点
上，使三角尺的两条直角边分别与
的两边
，
垂直，垂足为
，
（如图1）．则
；若把三角尺绕点
旋转（如图2），则
________
．
（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点
作直线
，分别交
，
于点
，
，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想
，
，
之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画
，并画
的平分线
，在
上任取一点
，作
，
的两边分别与
，
相交于
，
两点，
与
相等吗？请说明理由．
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