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专题 06 相似三角形中的基本模型之半角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型（相似模型）
【常见模型及结论】
1）半角模型（正方形中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结 论 ： 如 图 1 ， △ AMN∽ △ AFE 且 ． （ 思 路 提 示 ： ∠ ANM=∠ AEF ，
∠AMN=∠AFE）；
A D
45°
N
α
β F
β
M
α
B E C
图1 图2
结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且 ；A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图3 图4
结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.
2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）
（1）含45°半角模型
图1 图2
条件：如图1，已知∠BAC＝90°， ；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；② ；③ （
）
（2）含60°半角模型
条件：如图1，已知∠BAC＝120°， ；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② ；③ （
）
例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形 中，点 分别是 边上的两点，
且 分别交 于 .下列结论：① ；② 平分 ；③
；④ ．其中正确的结论是（ ）A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点E在 上，
点F在 上，若 ，且 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．5
例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt 中，
．求证： ．
例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图， 中， ， ，点 为 边上的点，
点 为线段 上一点，且 ， ， ，则 的长为 ．例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形 中， ．点 ， 分别在边 ， 上，且
．连接 ， ．
（1）如图1，连接 ，求证： 是等边三角形；（2） 平分 交 于点 ．
①如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，求 的长．
②如图3， 是 的中点，点 是线段 上一动点（点 与点 ，点 不重合）．当 ，
时，是否存在直线 将 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．
若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓
展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，
如图1．
（1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的 绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的 的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则
________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：
．
例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三
角形 和 摆放在一起，点 为公共顶点， ，若 固定不动，将 绕点
旋转，边 ， 与边 分别交于点 ， （点 不与点 重合，点 不与点 重合），则结论
是否成立______（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形 中， 为 内的一个动角，两边分别与 ， 交
于点 ， ，且满足 ，求证： ；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形 的边长为 ， ， 的两边分别与 ， 相
交于点 ， ，且满足 ，若 ，则线段 的长为______ ．课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在 中， ，点D、E在 边上，
，若 ，则 的面积为（ ）A．20 B．24 C．32 D．36
2．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且
∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（ ）．
A．△AED≌△AEF B．△ABE∽△ACD C．BE+DC＞DE D．BE2+DC2=DE2
3．（2022·湖北·九年级校联考期末）如图，在Rt ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE
＝45°，将 ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（ ）
①∠EAF＝△45°；② ABE∽△ACD；③AE平分∠C△AF；④BE2+DC2＝DE2．
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，已知正方形 的边长为 ， 为 边上一点（不与端
点重合），将 沿 翻折至 ，延长 交边 于点 ，连接 ， ．则下列给出的判断：
① ；②若 ，则 ；③若 为 的中点，则 的面积为 ；④若
，则 ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在正方形 中， 的顶点 ， 分别在 ， 边
上，高 与正方形的边长相等，连接 分别交 ， 于点 ， ，下列说法：① ；②连接 ， ，则 为直角三角形；
③ ；④若 ， ，则 的长为 ．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2021秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且
∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时， ；④BE+DF=EF；⑤若点
F是DC的中点，则CE CB．其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023·山东青岛·统考二模）如图，等腰直角三角形 ， ，D，E是 上的两点，且
，过D，E作 分别垂直 ，垂足为M，N，交于点F，连接 ．其中①四边
形 是正方形；② ；③ ；④当 时， ．其
中，正确结论有 ．（填序号）8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形 边长为 ， 为 边上一点，将
以点 为中心按顺时针方向旋转得到 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， 若 ，则
．
9．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且
， 交 于 点， 交 于 点．
（1）若正方形的边长为2，则 的周长是 ．（2）若 ，则 ．
10．（2023.上海市黄浦区九年级一模）如图，四边形 中， ， ，
，点M、N是边 、 上的动点，且 ， 、 与对角线
分别交于点P、Q．（1）求 的值：（2）当 时，求 的度数；（3）试问：在点
M、N的运动过程中，线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．
11．（2023山东九年级期末）已知正方形ABCD的边长为8，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角
的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图①，当a=8时，b的值为 ；（2）如图②，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（3）请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．
12．（2023·宁夏·九年级统考期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 和 摆放
在一起， 为公共顶点， ，它们的斜边长为2，若 固定不动， 绕点 旋转，
、 与边 的交点分别为 、 （点 不与点 重合，点 不与点 重合），设 ， ．
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．
（2）求 与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．
（3）以 的斜边 所在的直线为 轴， 边上的高所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系如图
（2），若 ，求出点 的坐标，猜想线段 、 和 之间的关系，并通过计算加以验证．13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的
三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的
两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ．
【探究一】如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ．
连接 交 于点 ，求 的值．
14．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形 中， ．(1)如图1，若 ，点 ， 分别在 ， 上，连接 ．
①线段 ， ， 三者之间的数量关系是：________；②当点 是 中点时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，点 ， 分别在 ， 上．若 ，请直接写出线段 的长；
(3)如图3，若 ， ，连接 ，将 绕点 旋转，当 的一边与射线 重合时，另
一边与 的垂直平分线交于点 ，请直接写出线段 的长．
15．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践
(1)【操作发现】如图 ，诸葛小组将正方形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在正方形内部的点
处，折痕为 ，再将纸片沿过点 的直线折叠，使 与 重合，折痕为 ，请写出图中的一个
角；
(2)【拓展探究】如图 ，孔明小组继续将正方形纸片沿 继续折叠，点 的对应点恰好落在折痕 上的
点 处，连接 交 于点 ． 度； 若 ，求线段 的长；(3)【迁移应用】如图
，在矩形 ，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形 沿 ， 折叠，点 落在点 处，
点 落在点 处，点 ， ， 恰好在同一直线上，若点 为 的三等分点， ， ，请直接
写出线段 的长．
