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专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
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模型1.“母子型”模型（共边共角模型）.....................................................................................................1
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【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，
恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似。图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ ，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ；
证明：∵对角线 平分 ，∴∠ABD=∠CBC，
∵ ，∴△ADB∽△DCB，∴ ，∴
例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形 中， 为对角线， ， ，
，则 长为（ ）A． B．3 C．9 D．
例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点
是线段 上一点 ，若满足 ，则称点 是 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学
学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)应用：如图1，若点 是线段 的黄金分割点 ，若 ，则 的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形 为“黄金三角形”， ， ， 为 的平分线．
求证：点 是 的黄金分割点．(3)如图3中， ， ， 平分 交 于F，取
的中点E，连接 并延长交 的延长线于M． ，请你直接写出 的长为__________．
例3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，
于点 E，已知 ， ，则矩形 的周长为
例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在 中， ，
是斜边 上的高，则有如下结论：① ；② ；③ ．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵ 是斜边 上的高，∴ ．∵ ， ，
∴ ．∴ （依据）．∴ ．即 ．
(1)材料中的“依据”是指 ；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用： 中， ， ， ，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使
，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求
的面积．
例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形 中， ．以点 为圆心 长为半径画弧，
交边 于点 ，连接 ．点 是 延长线上的一点，连接 ，若 平分 ．
(1)求证： ．(2)当 时，求 的值．例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．
LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个
数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若 内一点
P满足 ，则点P是 的布洛卡点， 是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系
是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中 ）的布洛卡点，且 ．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若 的面积为 ，求 的面积．
例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，
更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一
基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在 中，点 为边 上一点，连接 ．(1)初步探究：如图2，若 ，求证：
；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点 为 中点， ，求 的长；(3)创新提升：如图
4，点 为 中点，连接 ，若 ， ， ，求 的长．1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大
于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心，
长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在 的边 上，添加一个条件，使得 ．以下
是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
天冀的做法：添加条件 ．证明：∵ ， ． ∴ （两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件 ．
证明：∵ , ．∴ （两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相
似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上(不与点 ，点
重合)， ，则 的长为( )
A． B． C． D．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形 的边长为4，则这个正五边形的对角线 的长是
．
5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为
中点，连接 ．若 ， ，则 ．
6．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在 中， ．以点A为圆心，以 的长为半
径作弧交边 于点D．分别以点D，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交 于点E，则 的值为 ．
7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点 、 在线段 上，且 是等腰直角 的底边．当
时（ 与 、 与 分别为对应顶点）， ．
8．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在 中， ， ， ，点 为 边上
一点，则点 与点 的最短距离为______．如图2，连接 ，作 ，使得 ， 交 于
，则当 时， 的长为______．
9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，
于点 ， ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交
于点 ，若 ， ， 的面积为 ，则 的面积为 ．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相交于点
．下列结论：① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
11．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形 中，点E、G分别为边 、 上一点，连接 、 ．若
， ， ，则 的长
12．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝
120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
13．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形 为菱形，点E在 的延长线上， ．
(1)求证： ；(2)当 时，求 的长．14．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形 中， 为边 上一点，且 ．
(1)求证： ；(2) 为线段 延长线上一点，且满足 ，求证： ．
15．（2024·四川南充·二模）在矩形 中， ，在 边上截取 ，使 ，点 为 的
中点．如图1，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ，证明 ．
(3)如图2，若 ，连接 ，当 取最小值时，求 的最小值及矩形 的面积．
16．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当
时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当 时，称为“2倍角三角形”，
小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 ．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作 的平分线 ，∴ ．
设 ，则 ．
证法2：如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，……
任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或
“相似”）．
(2)请补全证法2剩余的部分．17．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ，点 为 内
的一个动点，已知 ， ．(1)求证： ；(2)求 的值．
18．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角 中，点D，O分别为边 ，
上一点，且 ，延长 交射线 于点E，则有下列命题：① ；②
；③ ；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；
【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰 中， ， ，点D，O分别为边 ， 上
一点，且 ，延长 交射线 于点E，若 ，求 的值；
【拓展应用】（3）在等腰 中， ， ， ，点D，O分别为射线 ，
上一点，且 ，延长 交射线 于点E，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长（用
a，b表示）．
19．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展
了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维．
【设置情景】王老师给出了如下几何图形：
“如图1，已知 中，点D为 边上一点，点E为 外一点，连接 ．此时我们假设这个
几何图形满足 的数量关系．”
【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答．（1）“若 ， ，再给出 和 的长度，可以求出 的长度．”为了
简化计算，王老师提出令 ， ， ，求 的长（结果无需化简）；
（2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，
令点E在 上运动，将条件“ ”改为了“ ”，其他条件不
变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答．
【拓展探索】“如图2，已知 中，点D为 边上一点，点E为 上一点， ，
若 ，探究 、 、 的数量关系，并证明．
20．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究．探究发现：如图1，在 中， ， ．
（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接
， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的
是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．
