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专题 01 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、全等三角形之一线三等角模型..................................................................................................................1
题型二、全等三角形之倍长中线模型......................................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、全等三角形之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与
直线 交于点G．求证：点G是 的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，则有
________ （填“ 、 、 ”）
例2．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ．求证： ， ．
我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
请运用图1的模型解决下列问题：
图1
【模型应用】（2）如图2， 且 ， 且 ，请按图中所标注的数据，计算图
中实线所围成的图形的面积为______．【深入探究】（3）如图3， ， ， ，连接 、 ，且 于
点 ， 与直线 交于点 ．求证：点 是 的中点．
图3
题型二、全等三角形之倍长中线模型
【常见模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例3．方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长 到点E，使 ，
连接 ．可以判定 ，得出 ，这样就能把线段 、 集中在 中，利
用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在 中，点D、E在 上，且 ，过E作 与 相交于点F，且 ．
求证： 平分 ．
例4．【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延
长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形 中， ，E是 的中点， 平分 ，试判断 ， ，
之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长 、 的相交于点F，构造 和等腰三角形 即可判断．
【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断 ， ， 之间的等量关系，并说明理由．
【自主探究】（2）如图③，在 中，D是 的中点，点E在 上，连接 交 于点F，
，试说明： ．
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形 中， ， ， ，点F在 上且满足
， ，求 的长．一、填空题
1．如图， 中， ，点D为 的中点，则 的取值范围 ．
2．如图，直角坐标系中， 的顶点 ， 分别在坐标轴上，且 ， ，若点 、
的坐标分别为 、 ，则点 的坐标为 ．
3．如图，在 中，D是边 的中点， ，则 的取值范围是
4．如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，连接 ，若 ，则
的长为 ．
5．如图，在 中，以 ， 为腰作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，连接 ，
为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：① ；② ；③
；④ ，其中正确的有 （写上序号）二、解答题
6．（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点 直线 ， 直线 ，
垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
7．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型
图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作其
垂线，垂足分别为E，F，求证： ；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说
明理由；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的面积．8．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1， 是 的中线，且 ，延长 至点E，使 ，连接 ，可证得
，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2， 是 的中线，点E在 的延长线上， 平分 ， ，试探究线段
与 的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3， 是 的中线， ， ， ，试探究线段 与
的数量关系和位置关系，并加以说明．
9．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ，点D为 边的中点，求 边上的中线 的取值范围．解决
此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 ，可证 ，从而把
集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即
可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是 的中点， 于点D， 交 于点E， 交 于F，连接 ，
判断 与 的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F、点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 之间的数量关系，并加以证明．
10．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 _____， _____， _____．我们把这个数学模型称为“ 字”模型或“一线三等角”
模型；
(2)如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点 ， 与直
线 交于点 ．求证：点 是 的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图2， ， ， ，连接 ， ， 的面积为 ，
的面积为 ， ，求 的值．
11．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
（1）如图1，在 中， ， ，P为 上一点，当 的长为 时， 与
为偏等积三角形．
理解运用
（2）如图2， 与 为偏等积三角形， ， ，且线段 的长度为正整数，过点C作
，交 的延长线于点E，求 的长．
综合应用
（3）如图3，已知 和 为两个等腰直角三角形，其中 ， ，
，F为 的中点．请根据上述条件，回答以下问题：
① 的度数为 ；
②试探究线段 与 的数量关系，并写出解答过程．
12．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， ， ， 是
的中点，求 边上的中线 的取值范围．【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 到点 ，使
，连接 ．根据 可以判定 ，得出 ． 这样就能把线段
集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是______________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在 中， 是 边上的一
点， 是 的中线， ， ，试说明： ；
【问题拓展】（3）如图3，点 是 边上的一点，连接 ，过点 分别向外作 、 ，
使得 ， ，若 ，求证： 且 为 的中线．
