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专题 04 相似三角形重要模型之一线三等角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形
的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也
相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上
的点．将 沿 翻折，点 正好落在线段 上的点 处，使得 ．若 ，则 的
长度为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形 ， 为 的中点， 是 边上的一个
动点，连接 将 沿 折叠得 ，延长 交 于点 ，现在有如下五个结论：①
一定是直角三角形；② ；③当 与 重合时，有 ；④ 平分正方形 的
面积；⑤ ，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例3．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1， 是等腰直角三角形， ，直线
过点 ， ， ，垂足分别为 ， ．求证： ；
[尝试应用]（2）如图2， ， ， ， ， 三点共线， ， ， ，
．求 的长；[拓展创新]（3）如图3，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，
， ，若 ，直接写出 的值为 ．例4．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1， 、 、 分别为 三边 、 、 上
的点，且 ， 与 相似吗？请说明理由.
（2）模型应用： 为等边三角形，其边长为 ， 为边 上一点， 为射线 上一点，将
沿 翻折，使点 落在射线 上的点 处，且 .①如图2，当点 在线段 上时，求 的值；
②如图3，当点 落在线段 的延长线上时，求 与 的周长之比.
例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂
直模型”如图①，在 中， ， ，分别过 、 向经过点 直线作垂线，垂足分别
为 、 ，我们很容易发现结论： ．
（1）探究问题：如果 ，其他条件不变，如图②，可得到结论； ．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，且两直线夹角为
，且 ，请你求出直线 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形 中， ，
，点 为 边上—个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，当点
在矩形 外部时，连接 ， ．若 为直角三角形时，请你探究并直接写出 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在 中， ， ，点 在 所在的直线
上运动，作 （ 、 、 按逆时针方向）．（1）如图，若点 在线段 上运动， 交
于 ．
①求证： ；②当 是等腰三角形时，求 的长；
（2）如图，若点 在 的延长线上运动， 的反向延长线与 的延长线相交于点 ，是否存在点 ，
使 是等腰三角形？若存在，求出线段 的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点 在 的反向延长线上运动，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，写出所有点
的位置；若不存在，请简要说明理由．
例7．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形 中， ，点 是
边上的一个动点，联结 ，过点 作 ，垂足为点 .
(1)设 ， 的余切值为 ，求 关于 的函数解析式；
(2)若存在点 ，使得 、 与四边形 的面积比是 ，试求矩形 的面积；(3)对（2）中求出的矩形 ，联结 ，当 的长为多少时， 是等腰三角形？
课后专项训练
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形 的边 上，且
，若 ，则 的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的一
点，连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点
G，连接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 上一
点， ，则下列结论中正确的结论有（ ）① ；② ；③ ；④图中有3对相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点 放在长
方形纸片 的边 上移动，恰好存在两直角边分别经过点 ， 情形（如图）．如果 ，
，则 的长应为（ ）
A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6
5．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，
与 相交于点G，若 ，则 的长为 ．
6．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图． 是等边三角形，点D，E分别为边 ， 上的点，
，若 ， ，则 的长为 ．7．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中， ，点 E、F 分别是边
上的动点，且 ， 当 为 时， 最大．
8．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边 中， ， ，E，F分别为边
， 上的点，将 沿 所在直线翻折，点A落在 边上的G点，得到三角形 ，则
的面积为 ．
9．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，
， ，则CD的长为______．
10．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分
别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式
为________11．（2023·湖南·统考中考真题）如图， ，点 是线段 上的一点，且 ．已
知 ．(1)证明： ．(2)求线段 的长．
12．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，点 、 分别是 、
边上的点，且 ．(1)求证： ；(2)若 ， ，当 时，求 的
长．
13．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形 中， ，点 是 边上一
点，点 在边 上，射线 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ，
， ， ．(1)求证： ∽ ．(2)计算点 到直线 的距离为______ ．
15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形 中， ， ， ，
，点E是射线 上一点（不与点A、B重合），联结 ，过点E作 交射线 于点
F，联结 ．设 ．(1)求 的长；(2)如图，当点E在线段 上时，求y与x之间的函数解
析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的长．16．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点，
是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量
关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值．
17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形 中， ， ．点 为 边上一动点，连接 ，
在 右侧作 ， ， ．(1)如图1，若点 恰好落在 边上，求 的长；
(2)如图2，延长 交 边于点 ，当 时，求 的值；
(3)连接 ，当 为等腰三角形时，求 的长．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ， ，直线
过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证明）．
(1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若
成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、
之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的 中， ， ，并将直线
绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分别过点 、 作直线 的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在
备用图上画出图形，并直接写出线段 、 、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
