2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题40最值模型之代数法求最值模型（基本不等式与判别式法、函数法）（教师版）_2数学总复习_2025中考复习资料

专题40 最值模型之代数法求最值模型（基本不等式与判别式法、函数 法） 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。 在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。 本专题我们所讲的代数法求几何最值是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么 是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决， 这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函 数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的三类方法：函数法（二次函数或一次 函数）、判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！ .........................................................................................................................................................................................1 模型1.函数法求几何最值模型.......................................................................................................................1 模型2.基本不等式法求几何最值模型...........................................................................................................7 模型3.判别式法求几何最值模型.................................................................................................................11 ..................................................................................................................................................17 模型1.函数法求几何最值模型 在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用 常见的基本的几何模型，若未能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特 别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为常见的基本的几何模型（如将军饮马模 型，胡不归模型，阿氏圆模型等），从而解决问题。若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数 关系，然后构建函数模型解决最值问题。建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得 函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶 点公式，求得函数的最大值（或最小值），一次函数则考虑增减性和自变量的范围。 例1．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】将 绕点A顺时针旋转至 ，可推得 及 ，由勾股定理将 用 表示出来，求得 的最小值，再结合 ，可得答案． 【详解】解：如图，将 绕点A顺时针旋转至 ，使 与 重合，连接 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ，∴ ，即 ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴当 时， 取得最小值为 ∵ ，∴ ∴ 的最小值是 ．故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相 关性质及定理是解题的关键． 例2．（2023·广东茂名·三模）如图，已知 的弦 ，A为 上一动点（点A与点C、D不重合）， 连接 并延长交 于点E，交 于点B，P为 上一点，当 时，则 的最大值为 （ ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】如图，延长 交 于 ，连接 ．则 ， ， ， ， ，证明 ，则 ，设 ， ，则 ， ， ，然后利用二次函数的性质求最值，然后作答即可． 【详解】解：如图，延长 交 于 ，连接 ． ∵ 是 的直径，∴ ， ∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ,∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，设 ， ，则 ， ， ∴ ，∵ ，∴ 时， 值最大，最大值为4， ∴ 的最大值为8，故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，含 的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等， 含 的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题的关键． 例3．（2024·安徽合肥·一模）如图，P是线段 上一动点，四边形 和四边形 是位于直线 同侧的两个正方形，点C，D分别是 的中点，若 ，则下列结论错误的是（ ） A． 为定值 B．当 时， 的值为 C． 周长的最小值为 D． 面积的最大值为2 【答案】C 【分析】求出 ，得到 均为定值，判断A选项，过点 作 ， 得到四边形 为矩形，利用勾股定理求出 的值，判断B选项，设设 ，则： ，分 别利用勾股定理求出 的值，利用周长公式结合完全平方公式的非负性，判断C选项，分割法得 到 ，转化为二次函数求最值，判断D选项． 【详解】解：∵四边形 和四边形 是位于直线 同侧的两个正方形， ∴ ， ∵点C，D分别是 的中点，∴ ， ∴ ，∴ 均为定值， ∴ 也为定值；故A选项正确； 过点 作 ，则四边形 为矩形，∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ；故选项B正确；设 ，则： ， ∴ ， ， ， ∴ ，∴ ， ， ， ∴ 的周长 ， ∵ ，∴ 的周长的最小值为 ；故选项C错误； ∵ ，整理得： ； ∴当 时， 面积的最大值为2；故选项D正确；故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值，二次函数求最值等知识 点，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三 角形． 例4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图， 中， ， ， ，点D是 边 上任意一点，以 为边在 的右侧作等边 ，则 面积的最大值为 ．【答案】 【分析】作 于M，作 于N，求出 ， ，设 ，则 ， ，在 上截取 ，连接 ，则 ，证明 ，得出 ， ，由直角三角形的性质得出 ， ，由三角形面积公式求出 的面积即可得出答案． 【详解】解：如图，作 于M， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，解得： ，∴ ， ， 设 ，则 ，∵ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，在 上截取 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 的面积 ， ∴当 ，即 时， 面积的最大值 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三 角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、二次函数最值等知识；本题综合 性强，证明三角形全等是解题的关键． 例5．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝ 2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为 ，四边形DPQB面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知当DP⊥AC时，DP最短，利用等边三角形的性质和勾股定理求出此时DP的 长即可，再设AP=x，利用S ABC-S ADP-S BQC表示出四边形DPQB的面积，构建一次函数，利用一次函 △ △ △ 数的性质求出最大值即可． 【详解】解：当DP⊥AC时，DP最短，∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=60°，∴AD=2AP=2，∴AP=1，∴DP= = ； ∵AB=AC=BC=6，∴△ABC的高为 ，设AP=x，则四边形DPQB的面积=S ABC-S ADP-S BQC= = △ △ △ ∵ ，∴四边形DPQB的面积随x的增大而增大， ∵x的最大值为6-1=5，∴当x=5时，四边形DPQB的面积最大，最大值= ，故答案： ， ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解题的关键是学 会构建一次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 模型2.基本不等式法求几何最值模型 有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得 特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式： 1） （当a=b时，取等号）；2） （其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 1） （当a=b时，取等号）；2） （其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 证明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 2）作差法： ∵ 0，∴ ，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 例1．（2017·四川绵阳·中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边 上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+ 的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三 角形对应边成比例可得 ，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根 据非负数的性质求出最小值即可． 【详解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6× =2，BD=6﹣2=4， ∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形， ∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN， ∴△AMD∽△BDN，∴ ，∴MA•DN=BD•MD=4MD， ∴MD+ =MD+ = ， ∴当 ，即MD= 时MD+ 有最小值为 ．故答案为 ． 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题． 例2．（2024·浙江·模拟预测）如图，点 是 上的一个动点， 是 的直径，且 ，则 面积的最大值是 ， 周长的最大值是 ．【答案】 16 【分析】当AB边上的高等于半径时， 面积的最大，求出此时 的面积即可；根据AB为直径得 到∠P=90°，根据勾股定理得到AP2+PB2=AB2=64，得到AP+PB≤ ，于是得到结论． 【详解】解：由于AB为定值，因此只有当AB边上的高最大时 面积的最大， ∵ 是 上的一个动点，AB为直径 ∴当AB边上的高等于半径时， 面积的最大，半径为 ，此时面积为 ， ∵AB是半圆的直径，∴∠P=90°，∴AP2+PB2=AB2=64， ∵AP2+PB2≥2AP•PB，∴2AP•PB≤64， ∵（AP+PB）2=64+2AP•PB，∴（AP+PB）2≤128，∴AP+PB≤ ，∴AP+PB的最大值为 ， ∴三角形PAB周长存在最大值为 ，故答案为：16； ． 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，最大面积，最小周长，注意∠P=90°，然后利用勾股定理是解 题的关键． 例3．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形 中， ， ，点P为边 上一动点，连接 交对角线 于点E，过点E作 ， 交 于点F，连接 交 于点G，在点P的运动过程 中， 面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在矩形 中， ， ， ，∴ ，如图，延长 至点H，使 ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ， ∵ ，∴A，B，E，F四点共圆，∴ ， 过点A作 于点M，如图，∵ ，∴ ， 设 ，∵ ，∴ ， ∴ ，且当 时，取得最小值，即 ， ∴当 时， 取得最小值，根据题意得： ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ．故答案为： 例4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）如图所示， 是半圆的直径，D是AB上一动点，CD AB， CD交半圆于点E，CT 是半圆的切线， 是切点．C点、T 点都是不动点． (1)求证: BE2CT2 BC2；(2)连接 ，则D点在哪个位置时，线段AE与线段EB之和最大？ 【答案】(1)见解析(2) 点在AB的中点时，线段AE与线段EB之和最大 AB  O CD  O M TM,TE,TO,EO  TCE∽  MCT 【分析】（1）以 为直径，作 ，延长 交 于点 ，连接 ，证明EDMD 得出 ，根据垂径定理得出 ，进而得出 ，在 Rt  BDE,Rt  BCD中，勾股定理即可得证； （2） 是 O 的直径，设 AE a ， BEb ， ，则有 a2b2 c2 ， ，则 2aba2b2（当 时取得等于号），继而即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， 以 为直径，作 O，延长CD交 O于点M ，连接TM,TE,TO,EO， ∵CT 是 O的切线，∴OT TC，∴ ，即CTEETO90， 1 1 ∵ ，∴ ，∵ ，∴TME  TOE  1802ETO90ETO， ETOTEO 2 2 ∴ ，∴TMECTE， TC CE  又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， TCE∽ MCT MC TC   又∵ABME，∴EDMD，∴CM CDDE,CECM 2DECDDE， ∴ ，在 Rt  BCE 中， BE2 ED2BD2 ，∴ ， 在Rt  BDC中， ，∴BE2CT2 BC2 AB  O AE a BEb ABc a2b2 c2 （2）∵ 是 的直径，设 ， ， ，则有 ， ∵ ab2 a2b22ab0 ∴2aba2b2 （当ab时取得等于号） AEBE2 a2b22abc22abc2a2b2 2c2 ∴ ∴ 取得最大值时，AEBE，∴ 又由∵ED AB∴ 即D点在AB的中点时，线段AE与线段EB之和最大． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，切线的的性质，综合运用以上知 识是解题的关键． 模型3.判别式法求几何最值模型 判别式法求几何最值的步骤：首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其 他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用Δ≥0来探 求y的最大值与最小值。 注意：运用判别式法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0 所指的是在变量能取的范 围内方程有解，这一点应切记。 例1．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形 ，点 ， 在射线 上， ，则 最大 值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次 方程根的判别式等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．过点E作 交 于G，过点G作 于H，设 ，正方形 的边长为 ， ，其中 ，证先 ，再证 和 全等得 ，然后证 得 ，则 ， ，进而得 ，则： ，依题意得关 于x的方程 有两个实数根，得到根的判别式 ，得 ，由此解得 ，据此可得k的最大值，进而可得 的最大值． 【详解】解：过点E作 交 于G，过点G作 于H，如下图所示：设 ，正方形 的边长为 ， ，其中 ， ， ， ， 四边形 为正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 整理得∶ ，依题意得关于x的方程 有两个实数根 根的判别式 ， 将上式两边同时除以 ，得： ， 整理得： ， ， ， ， 的最大值为 ， 的最大值为 ．故答案为： ． 例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知四边形 为矩形， ，E，F，G分别是 上的点，且 ，若 ，则 面积的最小值为 ； 【答案】 /【详解】解：如图所示，过点G作 于T，设 ， ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ； 过点E作 交 于N，过点F作 ，垂足为M， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵关于x的方程有解，∴ ，∴ ， 解得 或 （舍去），∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判 定，二次函数的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收 集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字 素 母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当 材 时，方程 可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常 1 数，则原方程可化为： ．这就是一个关于a的一元一次方程了． 对于一个关于x的二次三项式 ，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其 素 材 他的方法，比如：令 ．然后移项可得： 再利用根的判别式 2 来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任 务 感受新知：用判别式法求 的最小值； 1 探索新知：若实数x、y满足 ．求 的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大 任 致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令 ，则 ，将 代入原 务 2 式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得 的最大值 为__________； 任 应用新知：如图，在平行四边形 中， ， ．记 ， ，当 最 务 大时，求此时b的值． 3 【答案】任务1： ；任务2： ， ；任务3： ． 【分析】任务1：令 ，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可； 任务2：令 ，将 代入 ，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别 式求的k得范围，即可确定 的最大值；任务3：过点B作 ，根据题意可得 ， ， ，利用勾股定理得 ，令 ，则有 ，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求得y得 范围，可知 最大值，则有 ，结合代入消元法求解即可． 【详解】任务1：解：根据素材中的判别式法，令 ．整理得 ． 关于x的一元二次方程， ，解得： ．故y的最小值为 ． 任务2：解：令 ，则 ．将 代入 ，得 ． 把 看作是关于x的一元二次方程，则 ， 解得 则 的最大值为 ．故答案为： ， ． 任务3：如图，过点B作 ，点E为垂足．根据题意， ， ， ． 在 ， ， 在 中， 即 整理得， ， 令 ，则 ，代入上式得到一个关于b的一元二次方程： ． 解不等式得 ，则k的最大值为26，即 的最大值为26． 把 代入 得 ．解方程得， ，故当 最大时， ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含 度角的直角三角形以 及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答．1．（2024·江苏南京·一模）小丽在半径为 的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发， 沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点 处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点 处，则 是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为 ，进而求解即可． 【详解】解：根据题意图形如下：设 ，∵ ，∴此时当 最大时， 才能取得最大值， ∵ ，∴ 为直径时， ， ， ， ， ，即 ， ， 即： ， ， 为正数， ，故选：C． 2.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 中， ，点P为 内一点， ， ．若 ，且 的长度不小于4，则 长度的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 则 ， ，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，利用勾股定理得到 ，据此利用二次函 数的性质求解即可． 【详解】解：把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 则 ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ，∴ 在 中，由勾股定理得 ， ∵ ，∴ 随 增大而增大， ∴当 时， 有最小值，最小值为 ，∴ 的最小值为6，故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质与判定， 正确用含 的式子表示出 是解题的关键． 3．（2024·安徽·模拟预测）在 中， ，P是边 上一点， ， M，N是AB上两个动点，且 ，则 的最小值为（ ） A．9 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，二次函数的性质，解直角三角形， 求出 ，过点P作 ，垂足为 点Q，，设 ，则 ，利用勾股定理得出 ，由二次 函数的性质可得出答案． 【详解】解：如图，过点P作 ，垂足为点Q， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∵ ∴当点M，N位于点Q两侧比位于同侧时，所求的代数式的值更小 设 ，则 ．． 当 时， 的值最小为 ．故选：C． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图， 是等边三角形， ，E是 的中点，D是直线 上一动点，线段 绕点E逆时针旋转 ，得到线段 ，当点D运动时，则 的最小值为（ ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】作 于M， 于N，设 ，则 ，由旋转的性质易得 ，然后分D在 上时和D在 的延长线上时，分别通过勾股定理计算出 ，然后利 用二次函数的最值解答即可． 【详解】解：作 于M， 于N，如图所示：设 ， ∵ 为等边三角形，∴ ， ， ∵ 为 的中点，∴ ，在 中， ， ∵线段 绕点E逆时针旋转 ，得到线段 ，∴ ， ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 当D在 上时， ， ， 在 中， ， 当D在 的延长线上时，如图所示： ， ， 在 中， ， 当 时， 有最小值 ，∵ ， ∴ 的最小值为： ，故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等， 涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键． 5．（2024·江苏盐城·三模） 中， ， ，则 的最小值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含 角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据题意可得 ，设 ，则 ， ，由 可得 ，进而得到 ，在 中，根据勾股定 理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ，在 中，设 ，则 ， ， 又 ， ， ， 在 中， ，即 ， 当 时， 最小，此时 ， 的最小值为 ，故选：C． 6.（2023·浙江湖州·统考一模）如图，已知在平面直角坐标系 中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5 为半径作 ，与y轴交于点A和点B，点P是 上的一动点，Q是弦 上的一个动点，延长 交 于点E，运动过程中，始终保持 ，当 的结果最大时， 长为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 AQP∽△APB，确定 ，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理计算 △ AB=8，用AQ的代数式表示AP+QB，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ=2，AP=4，证明 AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论，确定AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，用勾股 定理同时表示EN求得x，从而求得EN，根据PE=2EN计算即可 【详解】如图，∵ ， ，∴ AQP∽△APB， △ ∴AP：AB=AQ：AP，∴ ，过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB， ∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，∴MG=3，MA=5， 根据勾股定理，得AG= =4，∴AB=2AG=8， ∴ ，∴ 或 （舍去）， ∵AQ=AB-QB，∴AP+QB= +8-AQ= = ∴AP+QB有最大值，且当 时，有最大值10，∴AQ=2，AP =4， 连接AE，设MA与PE的交点为N，∵ AQP∽△APB，∴∠APQ=∠ABP， △ ∵∠AEP=∠ABP，∴∠APQ=∠AEP，∴AP=AE=4， ， 根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，在Rt AEN中， ，在Rt MEN中， ， △ △ ∴ = ,解得x= ，∴ ，∴EN= ，∴PE=2EN= ，故选D． 【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活 用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形 中，点 分别是 边上的两点， 且 分别交 于 ．对于下列结论：① ；② ； ③ ；④当 时， 面积的最小值为 ．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】 为正方形， ， 又 故①正确； 把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ． ，∵ ， ∴ ． 又 ，∴ ．∴ ，即 故②正确； 由②得 ．过 作 ，作 ． 则 与 的相似比就是 ．易证 ，则可知 ， 故③正确；当 时，设 ，因为 ，所以 ，所以 ． 整理，得 ，所以 ，即 ． 又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，此时 ． 因此，当 时， 取最小值，为 ．故④正确．故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，旋转的性质等 知识点综合性极强，难度较大． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点 作 于点 ， 交边 于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】 / 【分析】设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ，设 ， 则 ，进而得出 ，勾股定理求得 ，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ， ∵ 是等边三角形，∴ ，∵ ， ，∴ ∴ 设 ， 则 ，∴ ∴ ∴ ，∵ ∴ ∵ ∴ 是 的直径，∵ 是圆内接四边形，∴ ， ∴ ，则 是等边三角形∴ ，则 ∴ 在 中， 在 中， ∵ 是 的直径，∴当 取得最小值时， 的面积最小，∴当 时， 的面积最小， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质， 含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 9．（23-24九年级上·江苏·课后作业）二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点， 与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时， 的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点A、B的坐标分别为（x，0），（x，0），抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x）（x﹣ 1 2 1 x），△ABC外接圆的圆心为P．求出点P、D的坐标，可得：AH2＝PH•HD，从而证明△AHP∽△DHA． 2再利用三角形相似角对应相等，进一步证明出△PAC为等边三角形，即得出x＝3x，a2x2＝ ，即 2 1 1 ，再利用完全平方式可知 ，即可求解． 【详解】设点A、B的坐标分别为：（x，0），（x，0）， 1 2 设抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x）（x﹣x）， 1 2 则点D的坐标为： ，点C（0，axx）， 1 2 设△ABC外接圆的圆心为P，圆P与y轴相切，连接CP，则CP⊥y轴， 则点P的横坐标和点D的横坐标相同，其纵坐标和点C的纵坐标相同，故点P的坐标为： ， ∵PA＝PC，∴ ，∴a2xx＝1， 1 2 设函数对称轴交x轴于点H，连接AD，AH2＝（ ﹣x）2＝（ ）2； 1 PH•HD＝axx•a（ ）2＝AH2，即AH2＝PH•HD， 1 2 而∠PHA＝∠DHA＝90°，故△AHP∽△DHA，∴∠APH＝∠HAD， ∴∠PAD＝∠PAH+∠DAH＝∠APH+∠PAH＝90°， 故∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝150°﹣90°＝60°，而PC＝PA，故△PAC为等边三角形，则∠OCA＝∠OCP﹣∠ACP＝90°﹣60°＝30°，在Rt OCA中，OA＝ AC＝ PC， △ 即 （x+x）＝2x，即x＝3x，而a2xx＝1，则a2x2＝ ， 1 2 1 2 1 1 2 1 则抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x）（x﹣3x）， 1 1 故 ， 设：m、n为非负实数，由完全平方公式得： （当且仅当m＝n时等号成立）， 即m+n≥2 ， 故 ， 故 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、圆切线的性质、三角形相似的判定和性质、等边三角形的性质， 综合性很强，题目难度很大． 10．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，点A坐标为 ，点C的坐标为 且 ，点B是直线 上的动点，且 ，连接 ．设 与y轴正半轴的夹角是α，则 的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质以及二次函数的最值问题 等知识，正确的作出辅助线证得 是解题的关键．设直线 与x轴交于G，过A作 直线 于H， 轴于F，根据平行线的性质得到 ，由三角函数的定义得到 ， 即可得当 最小时 有最大值；即 最大时， 有最大值，然后证明 ，根据相似三角形的性质列出比例式，最后根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线 与x轴交于G，过A作 直线 于H， 轴于F，∴ ∵ 轴，∴ ，在 中， ，∵ 随 的增大而减小， ∴当 最小时 有最大值；即 最大时， 有最大值， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，设 ，则 ， ∴ ，∴当 时， 取最大值 ， 此时 ， 取最大值 ，故答案为： ． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可 以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的 研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字 材 母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程 1 转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当 时，方程 可以看作关于 的一元二次 方程．但若把 看成“主元”， 看作常数，则 方程可化为： ，这就是一个关于 的一元一次方程了 对于一个关于 的二次三项式 ，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其 素 材 他的方法，比如：令 ，然后移项可得： ，再利用根的判别 2 式来确定 的取值范围，这一方法称为判别式法．问题解决 任 务 感受新知：用判别式法求 的最小值． 1 探索新知：若实数 、 满足 ，求 的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致 任 务 的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令 ，将 代入原式得___将新得到的等式看作 2 关于字母___ 的一元二次方程，利用判别式可得 的最大值为___． 应用新知：如图，在三角形 中， ， ，记 ， ，当 最大时， 求此时 的值． 任 务 3 【答案】任务1： 的最小值为 ；任务2： ； ； ；任务3： 【分析】任务1：令 ，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可； 任务2：令 ，将 代入原式得 ，将其看作关于字母 的一元二次方程 ，利用判别式求的k得范围，即可确定 的最大值； 任务3：过点A作 于点D，根据题意可得 ， ， ，利用勾股定理得 ，令 ，则有 ，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求 的y得范围，可知 最大值，则有 ，结合代入消元法求解即可．【详解】解：任务1：令 ， ， ，解得 ，则 的最小值为 ； 任务2：令 ，将 代入原式得 ， 将新得到的等式看作关于字母 的一元二次方程，整理得 ， ，解得 ，则 的最大值为 ； 故答案为： ； ； ； 任务3：过点A作 于点D，如图， ∵ ， ， ，∴ ， ， ， ∵ ， ，∴ ，整理得 ， 令 ，则 ，代入 ，整理得 ， 将其看成关于a的一元二次方程，则 ，解得 ， 那么， 最大为26，则有 ， ，故当 最大时，求此时 ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含30度角的直角三角形以 及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 12．（2023·陕西西安·三模）问题提出:（1）如图①， 的半径为8，弦 ，则点O到 的距离 是____．问题探究（2）如图②， 的半径为5，点A、B、C都在 上， ，求 面积的最大值． 问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图， 的直径为 ，等腰直角三角形 的边 是 的弦，直角顶点P在 内，延长 交 于点C，延长 交 于点D，连接 ．现准备 在 和 区域内种植草坪，在 和 区域内种植花卉．记 和 的面积和为 ， 和 的面积和为 ．①求种植草坪的区域面积 ．②求种植花卉的区域面积 的最大值． 【答案】（1）8；（2）32；（3）① ，② ． 【分析】（1）作 交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC； （2）作 交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候 面积最大，由垂径定理和 勾股定理可求出 ，进一步可求出 的面积； （3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出 ；②表示出 ，利用 完全平方公式求出 ，当 时， 有最大值为 ． 【详解】解：作 交AB于点C，连接OA，∵ ，由垂径定理可知： ，∵ ，∴ ； （2）作 交AB于点D，连接OA，∵ ，若使 面积最大，则CD应最大， ∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知： ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， （3）①连接OD，OA，则 ，∵ 是等腰直角三角形，∴ ， ∴ ，即 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ，∴ ， ②由①可知： ，设 ， ，故 ， ∵ ，∴ ，当 时，等号成立， ∴ ，当 时， 有最大值为 ． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小 问较难，解题的关键是表示出 ，求出AD，利用完全平方公式求出 ． 13．（2024·福建福州·一模）阅读材料，用配方法求最值． 已知 , 为非负实数， ， ，当且仅 当“ ”时，等号成立.示例：当 时，求 的最小值； 解： ，当 ，即 时， 的最小值为5．(1)若 ，求 最小值；(2)如图，已知 为双曲线 上任意一点，过点 作 轴， 轴且 ， ，求四边形 的面积的最小值，并求此时 的坐标． 【答案】(1) ；(2)27， ． 【分析】本题考查了阅读学习，正确理解所展示的解法是解题的关键．(1)根据阅读材料提供的解题方法， 按照例题求解即可．(2)设 ，则 ,表示出四边形的面积，运用解题方法求解 即可． 【详解】（1）解： ,当 时， 有最小值 ，此时 ， 故答案为： ． （2）设 ，则 , 四边形 的面积 , , ,当 时， 有最小值12，此时 四边形 的面积的最小值为 ，此时 . 14．（2024·北京·模拟预测）有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题： 已知： ，求证： ．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图： ①在直线 上依次取 ；②以 为直径作半圆，圆心为 ； ③过 点作直线 的垂线，与半圆交于点 ，连接 ． 请回答：（1）连接 、 ，由作图的过程判断， ，其依据是 ； （2）根据作图过程，线段 ＝ ， ＝ （用 、 的代数式表示）； （3）由 ，可知 ，由此即证明了这个不等式． 【答案】 直径所对的圆周角是直角 【分析】本题是圆的性质的综合运用，考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形 相似是解题的关键．（1）由作图可知 为直径，直径所对的圆周角是直角，可得 ，答案可 得； （2）证明 ，相似三角形对应边成比例可得比例式，将 ， 代入可求 ，依据直径的大 小可求半径 ；（3）由连接直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短，根据 ，可 知 ，故答案可得． 【详解】解：（1）∵ 为直径，∴ （直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角； （2）∵ ，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∴ ． ∵ ， ，∴ ．∴ ． ∵ ．∴ ．故答案为： ， （3）∵ ，∴ （直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短）．∴ ． 15．（24-25八年级·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广 泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容： 一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中 长为13，宽为5的长方形；(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋ b2________c2； （a＋b）2________2ab；(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 【答案】(1)不能(2)＝；＞(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2） 【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解； （2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得 ； （3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得 ， ， ， 进而可得 ． 【详解】（1）解：如图1，图2，∵S =82=64，S =5×13=65，∴S S ，故答案为：不能； 正方形 长方形 正方形 长方形 （2）解：如图3中，左边大正方形的面积：S =(a+b)2=a2+2ab+b2， 大正方形 右边大正方形的面积：S =c2+4× ab=c2+2ab， 大正方形∴a2+2ab+b2= c2+2ab，∴a2+b2= c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2 =(a+b)2-2ab， ∵ ，∴ ，∴ ，故答案为：=， ； （3）解：如图4， ， ， ，∴ ，∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若点 在四边形 内部，且点 到四边形的一条边的两个端点 距离相等时，称点 为该边的“等距点”．例如：如图1，点 在四边形 内部，且 ，则称 点 为边 的“等距点”． (1)如图1，四边形 中， 于点 ，求证：点 是边 的“等距点”． (2)如图2，点 是矩形 边 的“等距点”， ． ①当 时，请求出 的值；②设 分别为 ，试求 的最大值． 【答案】(1)见解析(2)① 或 ；② 【分析】（1）由 ， ，可证明 ，可得 ，即可证明结论； （2）过点 作直线 交 于 于 ，连结 ， ①结合“等距点”定义可知点 在矩形 边 和 的垂直平分线上，先证明四边形 是矩形， 结合其性质证明 ，得 ，设 ，则 ，列出方程即可求解；②根据正切值的定义得 ， ，可得 ，即 ， 设 ，则 ，得 ，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解： 于点 ， ， 又 ，则 ， ， 点 是边 的“等距点”； （2）过点 作直线 交 于 于 ，连结 ， ① 点 是矩形 边 的“等距点”， ， 又 直线 ， 直线 是矩形 边 的中垂线， 点 在矩形 边 和 的垂直平分线上， ， 矩形 中， ， ， ， 交 于 于 ， ， 又 矩形 中， ， 四边形 是矩形， ， ， ．， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ，则 ， ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 的值为 或 ； ② 于 ， 在 中， 在 中， 设 ，则当 时， 有最大值25 有最大值 当 时， 的最大值是 ． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，二次函数，解一元二次方 程等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 17．（24-25九年级·浙江杭州·期中）如图，已知ΔABC内接于圆 ， 是直径， 是弦 上的一个动 点（不含 两点），连结 并延长交圆 于点 ， ． （1）用含 的代数式表示 ；（2）在点 的运动过程中，是否存在某个位置， 能取到最大值．若存在 最大值，求出此时 和 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）存在， 有最大值 ，此时 的值是3. 【分析】（1）连接AE，由圆周角定理和解直角三角形，求出BC=6，则AC=8，AD= ，由相似三角 形的判定和性质，得到 ，结合 ， ，即可得到答案； （2）由（1）得 ，根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，结合 ， 即可得到 ；再把 代入求解，即可得到m的值. 【详解】解：（1）连接AE，如图：∵ 是直径，∴∠ACB=90°，∠AEB=90°， ∵ ，∴BC=6，由勾股定理， ，∴AD= ，∵∠ACB=∠AEB=90°，∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴ ，∴ ∵ ， ∴ ，∵ ，∴ ； （2）存在；理由如下：由（1）可知 ，∴ ， 整理得： ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，则 ，∴ ，∴ ，∴k有最大值 ；此时，有 ，解得： ；∴ 有最大值 ，此时 的值是3. 【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程根的判别 式求参数k的范围，以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确得到 边的关系，从而得到k与m的关系式. 18．（2024·辽宁抚顺·三模）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和 同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形 中， 为 边上一动点，点 在边 上，且 ．求证： ． 为了解决这个问题，小明把 绕点 逆时针旋转 ，得到图②．易证 ，则 得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰 中， ，点 在边 上， ， ，求 的长； (3)如图④，在矩形 中， ， ， 是 上一动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，与 交于点 ，连接 ，求 面积的最小值．【答案】(1)证明见解析(2) (3) 面积的最小值为 【详解】（1）解： 四边形 是正方形， ， ， 将 绕点 逆时针旋转 至 ， ， ， ， 三点共线． ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ； （2）解：如解图①，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．连接 ， 由旋转的性质得 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在 中， ，在 中， ， ； （3）解：如解图②，延长 至点 ，使得 ，连接 ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ．， ， ， ，即 是 的平分线，∴点Q到 、 的距离相等， ， 作 的外接圆，点 为圆心，连接 ，作 于点 ， ， ， ， 和 是等腰直角三角形， 设 ，则 ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 面积的最小值为 ． 一题多解 如解图③，延长 至点 ，使 ，过点 作 的平行线 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， 则四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， 设 ， ， ， ， ，在 中， ， 整理，得 ， ， ， ， ， 令 ，则 ， ， 这个方程有解， ， ， ， 或 （舍去）， 面积的最小值为 ． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定 理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线性质、一元二次方程根的判别 式等知识，是一道综合性极强的压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用旋转性质求解是解答关键．