文档文本内容
专题02 胡不归模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、模型建立........................................................................................................................2
2、问题分析........................................................................................................................2
3、问题解决........................................................................................................................3
4、模型总结........................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习...................................................................................................................................10
压轴真题强化...........................................................................................................................17
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间
线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，
老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？
胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，
他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。
专题目录
模型解读
V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发
现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以
非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相
渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。
1、模型建立
一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B 为定点，
点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）
V2
V1
M
N
C
B
A
2、问题分析
，记
，即求BC+kAC 的最小值.
常见类型讲解
3、问题解决
构造射线AD 使得sin∠DAN=k，
，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH 最小值.
CH=kAC
sinα=
CH
AC =k
H
D
α
A
B
C
N
M
过B 点作BH⊥AD 交MN 于点C，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
M
N
C
B
A
α
D
H
4、模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化
为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点D 是
线段AB 上一动点，点H 是直线
上的一动点，动点
，连接
．当
取最小值时，
的最小值是 ．
真题演练
【答案】
【详解】解：∵直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，
∴
，
，
作点B 关于x 轴的对称点
，把点
向右平移3 个单位得到
，
作
于点D，交x 轴于点F，过点
作
交x 轴于点E，则四边形
是平行四边
形，
此时，
，
∴
有最小值，
作
轴于点P，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，则
，
设直线
的解析式为
，
则
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
联立，
，解得
，
即
；
过点D 作
轴于点G，
直线
与x 轴的交点为
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
的最小值是
，
故答案为：
．
（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD 的长；
(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合）， 点F 在边AD 上，且BE=
DF，
①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；
②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE+
CF 的值是否也最小？如果是，求CE+
CF 的最小
值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)①四边形ABEF 的面积为
；②最小值为12
【详解】（1）解∶连接AC，设AC 与BD 的交点为O，如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC 平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°=
=
，
∴BD=2BO=
；
（2）解：如图，过点E 作AD 的垂线，分别交AD 和BC 于点M，N，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=
；
菱形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=
BE
∵
，
∴MN=
，
设BE=
，则EN=
，
∴EM=MN-EN=
，
∵S 菱形ABCD= AD▪MN=
，
∴S△ABD=
S 菱形ABCD=
，
∵BE=
DF，
∴DF=
，
∴S△DEF=
DF ▪EM=
=
，
记四边形ABEF 的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =
-（
）
，
∵点E 在BD 上，且不在端点，∴0<BE<BD，即
；
①当CE⊥AB 时，
∵OB⊥AC，
∴点E 是△ABC 重心，
∴BE=CE=
BO=
，
此时
=
，
∴当CE⊥AB 时，四边形ABEF 的面积为
；
②作CH⊥AD 于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E 和F 分别在BD 和AD 上，
∴当点E 和F 分别到达点O 和点H 位置时，CF 和CE 分别达到最小值；
在菱形ABCD 中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD 是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=
，
∵
，
∴当
，即BE=
时， s 达到最小值，
∵BE=
DF，
∴DF=3，
此时点E 恰好在点O 的位置，而点F 也恰好在点H 位置，
∴当四边形ABEF 面积取得最小值时，CE 和CF 也恰好同时达到最小值，
∴CE+
CF 的值达到最小，
其最小值为CO+
CH=
=12．
（2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
( 1,0)
A
，
(5 0)
B ，两点，C 为
抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且
4
tan
3
CBD
，如图所示．（1）求
抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC
于点E ，过点E 作EF
PE
交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求BCF
的面积的最大值；②连
结PB ，求3
5 PC
PB
的最小值．
【答案】（1）
；（2）①
；②
．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：
，
∵
是抛物线的对称轴，
∴
，
又∵
，
∴
，
即
，
代入抛物线的解析式，得
，解得
，
∴二次函数的解析式为
或
；
（2）①设直线
的解析式为
，
∴
解得
即直线
的解析式为
，
设E 坐标为
，则F 点坐标为
，
∴
，
∴
的面积
∴
，
∴当
时，
的面积最大，且最大值为
；
②如图，连接
，根据图形的对称性可知
，
，
∴
，
过点
作
于
，则在
中，
，
∴
，
再过点
作
于点
，则
，
∴线段
的长就是
的最小值，
∵
，
又∵
，
∴
，即
，
∴
的最小值为
．
1、如图，在
中，
，
，
.
，
分别是边
，
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】
如图，作
，连接
，过B 点作
的延长线与G 点，
，且
，
巩固练习
，
，
．
，
∴当B、E、F 三点共线时，
，此时
的值最小，为
．
，
．
又
，
，
∴四边形
是矩形，
，
，
，
．
故答案为：
2、已知在等腰
中，
，
．
，连接
，在
的右侧做等腰
，其中
，
，连接
E ，则
的最小值为
(用含
的代数式表示)．
【答案】
【详解】解：如图，过点
作
交
延长线于
，过点
作
于
，作
的垂直
平分线交
于
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
当
、
、
三点共线时，
为最小值，
当
、
、
三点共线时，
，
，
，
与
重合，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
的垂直平分线交
于
，
，
，
，
在
中，
，
即
的最小值
故答案为：
．
3、如图1，在平面直角坐标系中，直线
经过点
，与x 轴交于点
，点C 为
中点，反比例函数
刚好经过点C．将直线
绕点A 沿顺时针方向旋转
得直线
，直线
与x 轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q 为射线以上一动点，当
取最小值时，求
的面积；
(3)将
沿射线
方向进行平移，得到
且
刚好落在y 轴上，已知点M 为反比例函数
上一点，点N 为y 轴上一点，若以M，N，B，
为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所
有满足条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
的面积为
(3)N 点坐标为
，
或
，过程见解析
【详解】（1）解：过点A 作
于点E，过点C 作
于点F，
∵
，
∴
，点C 为
中点，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴反比例函数解析式为
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
∵将直线
顺时针旋转
得到直线
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
作直线
，
∴
，
过点Q 作
于点H，
∴
，
∴当D，Q，H 三点共线时，
取最小值，
此时Q 与A 重合，
∴
，
∴
的面积为
；
（3）解：N 点坐标为
，
或
，理由如下：
由题可知
，
，
设
，
，
当
为对角线时，
，
解得：
，
∴
，
当
为对角线时，如图，
∵
，
解得
，
∴
，
当
为对角线时，如图，
，
解得
，
∴
，
综上，N 点坐标为
，
或
．
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·一模）如图，
为等边三角形，
平分
，
，点E 为
上动
点，连接
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】解：过A 作
于F，过点P 作
于E，
压轴真题强化
∵
为等边三角形，
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，即
的最小值为
的长，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
故选：C．
2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形
的边长为5，对角线
的长为
，
为
上一动
点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】A
【详解】连接AC 交OB 于点M，过M 点作MH⊥OC 于点H，过点A 作AG 垂直OC 于点G，交OB
于点P
∵四边形
是菱形
∴AM⊥OB，
，
，
∵
∴
，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴当A、P、G 三点共线且AG⊥OC 时有
的最小值AG，如下图所示
∵菱形
的面积
∴
∴
的最小值为4，
故选：A．
二、填空题
3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，
是等边三角形
的外接圆，其半径为4．过点B 作
于点E，点P 为线段
上一动点（点P 不与B，E 重合），则
的最小值为
．
【答案】6
【详解】如图所示，过点P 作
，连接
并延长交
于点F，连接
∵
是等边三角形，
∴
∵
是等边三角形
的外接圆，其半径为4
∴
，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴
的最小值为
的长度
∵
是等边三角形，
，
∴
∴
的最小值为6．
故答案为：6．
4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在
中，
，
，
，按下
列步骤作图：①在
和
上分别截取
、
，使
．②分别以点D 和点E 为圆心，以
大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线
交
于点F．若点P 是线段
上的一个动点，连接
，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：过点P 作
于点Q，过点C 作
于点H，
由题意知：
平分
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当C、P、Q 三点共线，且与
垂直时，
最小，
最小值为
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
最小值为
．
故答案为：
．
三、解答题
5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交
于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当
时，求
的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点
，点
为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
的最小值为：
【详解】（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）解：∵
的对称轴为直线
，而
，
∴函数最小值为：
，
当
时，
，
当
时，
，
∴函数值的范围为：
；
（3）解：∵
，
当
时，
，
∴
，
当
时，
解得：
，
，
∴
，
∴
，
设直线
为
，
∴
，
∴
，
∴直线
为
，
∵拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点
，而顶点为
，
∴
，
∴
在直线
上，
如图，过
作
于
，连接
，过
作
于
，
∵
，
，
∴
，
，
∵对称轴与
轴平行，
∴
，
∴
，
∴
，
由抛物线的对称性可得：
，
，
∴
，
当
三点共线时取等号，
∴
，
∴
，
∴
，
即
的最小值为：
．
6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，已知直线
与x 轴交于点
A，与y 轴交于点B，过A、B 两点的抛物线
与x 轴交于另一点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使
？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）点M 为直线
下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当
的面积最大时，求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）存在点P，点P 坐标为（2＋
，1＋
）或（2−
，
1−
）或（2，−3）；（3）
＋
【详解】（1）由题意，令
，即
∴A 的坐标为（4,0）
令
，即
∴B 的坐标为（0，-2）
将A、B、C 三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：
；
（2）如图1，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP 和△ABO 是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO 的解析式为y＝
x，
联立方程组可得
，
解得：
或
，
∴点P（2＋
，1＋
）或（2−
，1−
）；
当点P"在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E 作EP"∥AB，交抛物线于点
P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0，−4），
∴直线EP"解析式为y＝
x−4，
联立方程组可得
，
解得
，
∴点P"（2，−3），
综上所述：点P 坐标为（2＋
，1＋
）或（2−
，1−
）或（2，−3）；
（3）如图2，过点M 作MF⊥AC，交AB 于F，
设点M（m，
），则点F（m，
m−2），
∴MF＝
m−2−（
）＝−
（m−2）
2＋2，
∴△MAB 的面积＝
×4×[−
（m−2）
2＋2]＝（
−
m−2）
2＋4，
∴当m＝2 时，△MAB 的面积有最大值，
∴点M（2，−3），
如图3，过点O 作∠KOB＝30°，过点N 作KN⊥OK 于K 点，过点M 作MP⊥OK 于P，延长MF 交直
线KO 于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝
ON，
∴MN＋
ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN＋
ON 有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK 解析式为y＝
x，
当x＝2 时，点Q（2，2
），
∴QM＝2
＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝
QM＝
＋
，
∴MN＋
ON 的最小值为
＋
．
