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专题 15 三角函数中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分
析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V
2
C
∠A的对边
sinA=
斜边
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按
下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当
C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的
性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，由题意知： 平分 ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，求出此时的 长度便
可．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，∴ ， ， ，∴ ，
在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∴ ，∴ ，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，
此时 ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为： ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是
作辅助线构造 的最小值．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．【答案】
【分析】过 作 ，由菱形 ， ，得到 为 平分线，求出 ，
在 中，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ，故 ，求
出 的最小值即为所求最小值，当 、 、 三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过 作 ， 菱形 ， ，
， ，即 为等边三角形， ，
在 中， ， ， 当 、 、 三点共线时，取得最小值，
， ， ，
在 中， ，则 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作 于 ，可得出 ，从而得 的最小值，将 变形为
，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作 于 ，∵四边形 是正方形， ， ， 的最小值为0，
∵ ，∴ 的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动
点，那么OD+ BD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ 的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝ BD，∴OD+ BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+ BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝ ，
∴ DB+OD的最小值为 ，故选：B．例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于
A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则
PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据
，求出 的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设 ，则 ,∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵PJ⊥CB，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴DP+PJ的最小值为 ，∴ 的最小值为4．故选：
A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题
的关键是学会用转化的思想思考问题．
例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中
一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在 ABC中，
AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． △
(1)证明直线AD是 ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直△线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当 取最小值时，求∠QAC的正弦
值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点 运动到 点时，PA+PC的值最小，此时 ；(3)∠QAC的正弦值为
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得
，当点 与 重合时， ,此时 最小，设 ，则 ，根据 ，列出方程，解方程求解即可求得 ，进而即可求得 的长，即
最小值；（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，设 与 交
于点 ，根据已知条件求得 ，进而转化为 ，则当 点落在
上时，点 与点 重合，此时 的值最小，最小值为 ，进而根据
求解即可．
（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°∴∠B =∠C = （180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB∴AD = BD∴∠B =∠BAD = 36°∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
（2）如图，连接 ， ，
垂直平分AB，
当点 与 重合时， ,此时 最小，
，
设 ，则
解得：
PA+PC=
当点 运动到 点时，PA+PC的值最小，此时 ；（3）如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，
， 由（2）知，
平分
点落在 上时，点 与点 重合，
即此时 的值最小，最小值为
∠QAC的正弦值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂
线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．
例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，
则 的最小值为______．
【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当 PDF
△
的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣ GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣ GE的最
小值；【答案】（1）y＝ x+1；（2）点G（ ， ），最小值为 ；
【分析】（1）令- x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC
的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为
求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG- GE的最小值，可将不共线的线
段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣ x2+x+4＝0，解得 x＝﹣2，x＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
1 2
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D ，
，解得 ，∴直线BD的解析式为y＝ x+1．
（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，
设点P的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则点H为（t， t+1），∴PH＝﹣ t2+t+4﹣（ t+1）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，PH最大，此时点P为（ ， ），当PH最大时， PDF的面积也最大．
△
∵直线BD的解析式为y＝ x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt BFO中，根据勾股定理，BF＝ ，∴sin∠FBO＝
△
过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝ EG，∴PG﹣ GE＝PG﹣MG，
当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，
令﹣ x2+x+4＝ x+1，解得x＝3，x＝﹣2，∴点E（3， ），∴PM＝ ﹣ ＝ ，∴点G（ ，
1 2
），
∴点G（ ， ），PG﹣ GE的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
课后专项训练
1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，点
是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），连接 ，求得 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的
坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当
点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所
示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先
求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到 ，则当G、P、F三点共线时，
有最小值，即 有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴ ，∴点D的坐标为 ；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为 ，
∴ ，∴ ，∴直线PD的解析式为 ；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与
x轴的交点为H，
∴点H的坐标为 ，∴ ，∴∠OCH=30°，∴ ，由轴对称的性质可
知AP=GP，∴ ，
∴当G、P、F三点共线时， 有最小值，即 有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为 ，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60 ，∴△ACG是等边三角形，
°
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得 ，
∴当点P运动到H点时， 有最小值，即 有最小值，最小值即为OG的长，
∴ 的最小值为 ，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴
对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与
端点A重合），则 AP+PD的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，
∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝ AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为
DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝ AP;
∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝ AD＝ ×6＝3;∴DF＝3 ;
∵ AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴ AP+PD的最小值为3 .故答案为：3 .
【点睛】本题考查菱形性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ，为 上一动点，则 的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形 是菱形，根据已知线段长度，将 转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接 交 于点M，过点M作 于点H，过点A作 于点G，交
于点P，
四边形 是菱形，边长为5， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ，
，即 ， ，
当A，P，G三点共线且 时， 取最小值，最小值为 ，菱形 的面积 ， ，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱
形的面积公式，将 转化为 是解题的关键．
4．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在 中， ， ， ，点 是斜边
上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知 ，最
后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点 做 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
∴ ，∴ ，
∵两点之间线段最短，∴当 共线时， 的值最小，即 的最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为 ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质
是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上的
动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出 PA+PD最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC= ，∴tan∠CAB= ，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（ PA+PD），
，
此时 PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．6．（2023.成都市九年级期中）如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动
点，则 的最小值等于 ．
解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
当点 ，点 ，点 三点共线且 时， 有最小值，即最小值为 ，
故答案为：
7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、y
轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 ，可证 是等
边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ AC，则 ，即当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 ，∴AO＝3， ，∴ ，
作点B关于OA的对称点 ，连接 ， ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ ，∵CH⊥AB，∴ ，
∴ ，
∴当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， ， 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点C的位置是解题的关键．
8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形 的对角线 ，点E为对角线 上的
一动点，则 的最小值为_________．【答案】3
【分析】过点 作 的垂线 ，垂足为 ，过点 作 ，根据已知条件求得 的长，根据含30
度角的直角三角形的性质，可得 ，当
时， 最小，股定理求得 的长即可求解．
【详解】如图，过点 作 的垂线 ，垂足为 ，过点 作 ，
中，
，
如图，当 时， 最小，最小值为
的最小值为 ．故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，
转化线段是解题的关键．
9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，
PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD PB，∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，即PC+PD的最小值为 ，∴ PC+PB的最小值为 4，故答案为：4．
10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y= (x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与
矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面
积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连
接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ ON的最小值．
【答案】（1）D( ，2)，y= ；（2） ；（3）4．
【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S OEF=S ABCO﹣S AOE﹣S OCF﹣S EFB计算即可．
矩形
△ △ △ △
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝ ，推出NJ＝
ON•sin∠NOD＝ ON，推出NH＋ ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重
合时，HN＋ ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．
∵OD=DB，∴D( ，2)．∵y= 经过D( ，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E( ，4)，F(3，1)，∴S OEF=S ABCO﹣S AOE﹣S OCF﹣S EFB=12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×(3﹣ )= ．
矩形
△ △ △ △
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH= =2 ，∴sin∠CBH= = ．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD= ，∴NJ=ON•sin∠NOD= ON，∴NH+ ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的
面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴
题．
11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， 关
于 的对称图形为 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)连接 ，若 ， ．①求 的值；②若点P为线段 上一动点（不与点A重合），连接 ，一动点Q从点O出发，以 的速度沿线段
匀速运动到点P，再以 的速度沿线段 匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述
路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【答案】(1)见解析(2)① ；②t的最小值为3
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，折叠的性质可得 ，即可求证；
（2）①连接 交 于点M，作 交 的延长线于H，根据菱形的性质得出，
， ，通过证明四边形 是矩形，得出 ，
，则 ，根据勾股定理得出 最后根据 ，
即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间 ，连接 ，过点P作 于H，则
，进而得出 ，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与 重合时，t有最小值，
t的最小值为 的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，∴ ，
∵ 关于 的对称图形为 ，∴ ，∴四边形 是菱形．
（2）解：①如答图1中，连接 交 于点M，作 交 的延长线于H．
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ ，∴ 为 中位线，∴ ，
∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，
在 中， ∴
②由题意得：点Q的运动时间
如答图2中，连接 ，过点P作 于H，
由① ，得
过点O作 于M．如答图2 根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与 重合时，
t有最小值，t的最小值为 的值， 又 所以t的最小值为3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定
理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最
值问题，是中考压轴题．
12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上，
连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（2）连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．根据题意可得 的最小值等于
的长，再由当 时， 的长最小，可得 的最小值等于 的长，再根据等腰三角形的
性质可得 ，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（3）过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，根据直角三角形的性质可得在
，从而得到 ，继而得到 的最小值等于 ，
再由当 时， 的长最小，即 的长最小，可得 的最小值等于 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ ．在 中， ．
∵ ，∴ ．∴点 到 的距离为 ．
（2）如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ 的最小值等于 的长，
∵当 时， 的长最小，此时点Q与点H重合，
∴ 的最小值等于 的长，∵ ，∴ ．
在 中， ．
∵ ，∴ ．即 的最小值为 ；故答案为：
（3）如图，过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值等于 ，
∵当 时， 的长最小，即 的长最小，此时点H与点G重合，
∴ 的最小值等于 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，即 的最小值等于 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、 ，
若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点．
（1）如图2，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 、 、 、 、 、 、 均在小正
方形的顶点上，则点E是 关于点B的勾股点.
（2）如图3， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点,
①求证： ；②若 ， ，求 的度数．
（3）如图3，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点．①当 时，求 的长；②直接写出 的最小值．
【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为 或 ；② ．
【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为
AD=BC，即得CE=CD．②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示 ADE的三个内
角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE． △
（3）由条件“点C是 ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形
需分3种情况讨论，把△每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取
CH= ，利用两边对应成比例及夹角相等构造 ECH∽△BCE，把 BE转化为EH，所以当点A、E、H在同
△
一直线上时，AE+ BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：（2）①证明：∵点C是 ABE关于点A的勾股点∴CA2=CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=B△C，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD
②设∠CED=α，则∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵点C是 ABE关于点A的勾股点∴CE=CD=5
i）如图1△，若DE=DA，则DE=8
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=
∴EN= ，AM=DN= ∴ME=MN-EN=8- ,
∴Rt△AME中，AE=
ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上
过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP=DP= AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ= ＝3∴PE=PQ-EQ=2
∴Rt△APE中，AE=
iii）如图3，若AE=AD=8，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为 或 ．
②在CB上截取CH= ，连接EH ∴ ,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE
∴ ,∴EH= BE∴AE+ BE=AE+EH
∴当点A、E、H在同一直线上时，AE+ BE=AH取得最小值∵BH=BC-CH=8- ＝ ,∴AH= ∴AE+ BE的最小值为 ．
【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程
和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角
形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．
14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过x轴上的
点 和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 ，顶点为
D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；（2）连接 ．若点P为直线 上方抛物线上一动点，过点P作
轴交 于点E，作 于点F，过点B作 交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运
动，连接 ． ①求 的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求 的
最小值及点H的坐标．
【答案】（1） ；（2）① ；② 的最小值为10，此时
点H的坐标为
【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性
质，即可求解；
②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则
∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交
点时， 最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过y轴上的点C，
∴当 时， ，∴点 ，将点 ，代入 ，得： ，
∴直线BC的解析式为 ，当 时， ，∴点B（4,0），
将点 ，B（4,0），代入 ，得：
，解得： ，∴抛物线解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
∴ ，设△PEF的周长为m，
∵ ，∴∠PEF=∠BCO，∵∠PFO=∠BCO=90°，∴△PFE∽△BOC，∴ ，
∵点B（4,0）， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当 时，m最大，此时 ，即 的周长为最大值时点P的坐标为 ；
②抛物线 的对称轴为 ，
如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则
∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴ ，
∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时， 最小，最小值为PM，
∵∠MGO=60°，∴∠MOG=30°，∵ ，∴ ， ，
∴∠POB=60°，∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，∴点P、O、M三点共线，
设直线AC的解析式为 ，∵ ，∴ ，解得： ，∴直线AC的解析式为 ，
∵ ，∴可设直线BG的解析式为 ，
把点B（4,0），代入得： ，∴直线BG的解析式为 ，
∴点 ，∴ ，∴ ，∴PM=10，
∴ 的最小值为10，∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ，
∴此时点H的纵坐标为 ，
∴ 的最小值为10，此时点H的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用
数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，
延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH
交BF于点E，交AB于点G．
(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；
(2)如图②，若∠CDH+∠BFD ∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：
(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、
H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．
【答案】(1)2 (2)CH AD，证明见解析(3)存在，2【分析】（ 1）解斜三角形BCD可求得结果；（ 2）作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，求得∠C＝
∠NHC＝30°，于是CH＝2HM HN，由条件推出∠BED＝∠BAD＝60°，进而证明△ABD≌△NDH，进一
步可求得结果；（ 3）作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，确定点P在⊙O上
运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR，可得HN ，从而得出PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN
过点O，作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，解Rt△BOT，Rt△BCR，进一步求得结果．
【详解】（1）如图1，
作DM⊥BC于M，∴∠BMD＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，
∴∠ABF＝∠FBC＝15°，∴∠ABD＝∠ABF＝15°，∴∠DBM＝45°，
∴DM＝BD•sin∠DBM＝2•sin45° ，∴CD＝2DM＝2 ；
（2）CH AD，理由如下：如图2，作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，
∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°） HN，
∵∠CDH+∠BFD ∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，
∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，
∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CH AD；
（3）如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，
∴点P在⊙O上运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR于N∴HN
∴PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O，
故作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，
∵∠ABC＝∠BCR＝30°，∴AB//CR，∴OQ⊥BT，
作OB的垂直平分线交OT于M，∴OM＝BM，设BT＝x，
∴OM＝BM＝2BT＝2x，MT ，∴（ ）2+x2＝22，
∴x ，∴BT＝（ ）x ，
∵TQ＝BR BC （ ），∴OQ ，∴P′Q＝OQ﹣OP′ 2，
∵2PH+CH＝2（PH CH）∴2PH+CH的最小值是：2 4．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，
解决问题的关键是熟悉“定弦对定角”，“胡不归”等模型及较强的计算能力．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在 中， ， ，E是 边上一
点．(1)如图1，点D是 边上一点，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 至 ，连接 ．若 ，
，求 的面积；(2)如图2，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 至 ，连接 ，取
的中点N，连接 ．证明： ；(3)如图3，已知 ，连接 ，P为 上一点，
在 的上方以 为边作等边 ，刚好点Q是点P关于直线 的对称点，连接 ，当 取
最小值的条件下，点G是直线 上一点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 （
与 在同一平面内），连接 ，当 取最大值时，请直接写出 的值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）证明 ，可得 ，由三角形的面积公式可求解；
（2）作辅助线如解析图，证明 ，可得 ，进一步可得
，证明 ，可得 ，从而可得结论；
（3）作辅助线如解析图，可得当点 ，P，N三点共线时， 有最小值，由折叠的性质可得
，进而得点K在以C为圆心， 为半径的圆上运动，可得当点K落在 的延长线上时， 有
最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点F作 直线 于H，∵将 绕点 逆时针旋转 至 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 的面积 ；
（2）证明∶如图2，过点M作 ，交直线 于点G，过点E作 ，交 于Q，
∵ ，∴ ，
∵点N是 的中点，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵将 绕点E顺时针旋转 至 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；（3）解：如图，作点C关于 的对称点 ，连接 ，
∵点Q是点P关于直线 的对称点，∴ 平分 垂直平分 ，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∵点C与点 关于 对称，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，∵ ，
∴当点 ，P，N三点共线时， 有最小值，
∵将 沿 所在直线翻折得到 ，∴ ，
∴点K在以C为圆心， 为半径的圆上运动，∴当点K落在 的延长线上时， 有最大值，
∵ 为等边三角形， ，∴ 垂直平分 ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∵将 沿 所在直线翻折得到 ，
∴ ， ∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等
边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键．
