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专题 27 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V
2
C
∠A的对边
sinA=
斜边
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按
下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ，点
M在线段 上，且 ．点P为线段 上的一个动点．
（1） °；（2） 的最小值为 ．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．
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例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴
交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点 在y轴上，连接 ，则 的
最小值是 ．
例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
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．
例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是
线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．
当 取最小值时， 的最小值是 ．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当 PDF
△
的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣ GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣ GE的最
小值；
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课后专项训练
1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动
点，则 的最小值为
A．4 B．5 C． D．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，点
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是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），连
接 ，求得 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点，
则 的最小值为
A． B．6 C． D．3
4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、
C重合），连接BP，则 AP+PB的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分
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别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， . ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ． ，连接
，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 E，则 的最小值为
(用含 的代数式表示)．
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 、 相交
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于点O， ．点E是 的中点，若点F是对角线 上一点，则 的最小值是
．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边
上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，点B的对应点为 ，
点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE
是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则OD CD
的最小值为 _____．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
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12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上的动
点，连接 ，则 的最小值为______．
13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点 是对角线AC上的一
动点，且∠ABC=120°，则( )的最小值是____________．
14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD
上的一动点，则 的最小值等于________．
15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方
形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
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思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折
痕为EC．①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方
形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点
，与x轴交于点 ，点C为 中点，反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A
沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
(3)将 沿射线 方向进行平移，得到 且 刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数
上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
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1 1
y x2 mxn y x3
17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线 2 与直线 2 交于A，B两点，交x轴于
D，C两点，连接AC ，BC，已知 A(0,3) ， C(3,0) ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（Ⅱ）
在（Ⅰ）条件下：（1）P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作 PQPA 交 y 轴于点 Q ，问：
是否存在点P使得以A，P， Q 为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC 上一点（不含端点），连接DE，一动点M 从点D出
发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 2个单位的速度运动到A后停止，
当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否
也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如果不是，请说明理由．
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y ax2 bxc x A(1,0) B(5，0) C
19．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 为
4
tanCBD
抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且 3，如图所示．（1）求抛物
P P x BC E
线的解析式；（2）设 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，
过点E作EF PE交抛物线于点F ，连结FB、FC，求BCF 的面积的最大值；②连结PB，求
3
PCPB
5 的最小值．
12
