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专题 15 三角函数中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分
析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V
2
C
∠A的对边
sinA=
斜边
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按
下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动
点，那么OD+ BD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于
A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则
PD＋PC的最小值是（ ）A．4 B．2＋2 C．2 D．
例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中
一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在 ABC中，
AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． △
(1)证明直线AD是 ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，
PA+PC的值最小？△求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当
取最小值时，求∠QAC的正弦值．
例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，
则 的最小值为______．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当 PDF
△
的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣ GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣ GE的最
小值；课后专项训练
1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，点
是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），连
接 ，求得 的最小值为（ ）A． B．4 C． D．2
2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与
端点A重合），则 AP+PD的最小值为_____．
3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ，
为 上一动点，则 的最小值等于______．
4．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在 中， ， ， ，点 是斜边上的动点，则 的最小值为 .
5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上的
动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
6．（2023.成都市九年级期中）如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动
点，则 的最小值等于 ．
7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、y
轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形 的对角线 ，点E为对角线 上的
一动点，则 的最小值为_________．9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为
x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y= (x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与
矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面
积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连
接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ ON的最小值．11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， 关
于 的对称图形为 ．(1)求证：四边形 是菱形；(2)连接 ，若 ， ．①
求 的值；②若点P为线段 上一动点（不与点A重合），连接 ，一动点Q从点O出发，以
的速度沿线段 匀速运动到点P，再以 的速度沿线段 匀速运动到点A，到达点A后停止运
动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上，
连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、 ，
若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点．
（1）如图2，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 、 、 、 、 、 、 均在小正
方形的顶点上，则点E是 关于点B的勾股点.
（2）如图3， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点,
①求证： ；②若 ， ，求 的度数．
（3）如图3，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点．①当 时，求 的长；②直接写出 的最小值．
14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过x轴上的
点 和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 ，顶点为
D，对称轴与x轴交于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）连接 ．若点P为直线 上方抛物线上一动点，过点P作
轴交 于点E，作 于点F，过点B作 交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运
动，连接 ． ①求 的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求 的
最小值及点H的坐标．
15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，
延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH
交BF于点E，交AB于点G．
(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；
(2)如图②，若∠CDH+∠BFD ∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：
(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、
H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在 中， ， ，E是 边上一
点．(1)如图1，点D是 边上一点，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 至 ，连接 ．若 ，
，求 的面积；(2)如图2，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 至 ，连接 ，取
的中点N，连接 ．证明： ；(3)如图3，已知 ，连接 ，P为 上一点，
在 的上方以 为边作等边 ，刚好点Q是点P关于直线 的对称点，连接 ，当 取
最小值的条件下，点G是直线 上一点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 （
与 在同一平面内），连接 ，当 取最大值时，请直接写出 的值．
