专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归 知识点梳理 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 模块二 阿氏圆模型 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1） 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1） 【题型6】一内一外提系数 【题型7】隐圆型阿氏圆 知识点梳理 一、胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V ＜V ，A、B 1 2 1 2 为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使 的值最小． B B V M A α C N 1 CH H sinα= =k AC D M N A V C 2 CH=kAC ，记 ，即求BC＋kAC的最小值． 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH 取到最小值，即BC＋kAC最小． 二、阿氏圆模型讲解 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯 圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最 值，难点在于如何构造母子相似． P A B O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝ OB， 连接 PA、PB，则当“PA＋ PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝ R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 PB＝PC。故本题求“PA＋ PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点， 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 2023·西安·二模 1．如图，在菱形ABCD中，ABC60，AD6，对角线AC、BD相交于点O，点E 1 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为 AC AE2 F BD EF 2 BF ． 【答案】2 3 【分析】过 F 作 FM BC，由菱形 ABCD， ABC60，得到 BD为 ABC平分线，求出 1 ，在 中，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 FM  F ，故 FBM 30 RtFBM 30 2 1 EF BF EFFM ，求出 的最小值即为所求最小值，当 、 、 三点共线时最小， 2 EFFM E F M 求出即可． 【详解】解：过F 作FM BC， 菱形ABCD，ABC60， 1 FBM  ABC 30， ，即 为等边三角形， ， 2 ABBC ABC ACM 60 1 在 中，FM  BF， RtFBM 2 1 EF BF EFFM ， 2 当E、F 、M 三点共线时，取得最小值，  AE2，AC  ABBC 6， EC  ACAE624， 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 在 中， ， RtECM EM ECsin604 2 2 3 1 则EF BF 的最小值为 ． 2 2 3 故答案为：2 3． 2023·保定·一模 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABOB3，点M在线段AC上，且 AM 2．点P为线段OB上的一个动点． （1）OBC  °； 1 MP PB （2） 的最小值为 ． 2 【答案】 30 2 【分析】（1）由矩形的性质得到OAOBOC OD，ABC 90，又由ABOB得到OAB是等 边三角形，则ABO60，即可得到答案； 1 （2）过点P作 于点E，过点M作 于点F，证明MP PBMPPEMF ，进 PEBC MF BC 2 一求解MF即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OAOBOC OD，ABC 90， ∵ABOB， ∴ABOBOA， ∴OAB是等边三角形， ∴ABO60， ∴OBC ABCABO906030， 故答案为：30． （2）过点P作PEBC于点E，过点M作MF BC于点F， 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在Rt△BPE中， 由（1）知：PBE30， 1 ∴PE PB， 2 1 ∴MP PBMPPEMF ， 2 在矩形ABCD中， AC 2OA2OB6， ∵AM 2， ∴CM  ACAM 624， 在Rt△CMF 中，MCF OBC 30， 1 ∴MF  CM 2， 2 1 ∴MP PB的最小值为2 2 2023·湘西·中考真题 O ABC BE AC 3．如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作 于点E，点P为线段 1 上一动点（点P不与B，E重合），则CP BP的最小值为 ． BE 2 【答案】6 【分析】过点P作PD AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆 内接三角形的性质得到 OAOB4，CFAB，然后利用含30角直角三角形的性质得到 1 1 OE OA2，进而求出 ，然后利用CP BPCPPDCF 代入求解即可． 2 BEBOEO6 2 【详解】如图所示，过点P作PD AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ABC是等边三角形，BE AC 1 ∴ABECBE ABC 30 2 ∵O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4 ∴OAOB4，CFAB， ∴OBAOAB30 1 ∴OAEOAB BAC 30 2 ∵BE AC 1 ∴OE OA2 2 ∴BEBOEO6 ∵PD AB，ABE30 1 ∴PD PB 2 1 ∴CP BPCPPDCF 2 1 ∴CP BP的最小值为 的长度 2 CF ∵ABC是等边三角形，BE AC，CFAB ∴CF  BE  6 1 ∴CP BP的最小值为6 2   A 0，15 4．如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路 径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时 间最少时，D的坐标为 ． 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  15 【答案】0,    15   AD CD AD 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t    CD， 4 1 4 1 1 由 ，推出 DH  AD，可得 ADCDCDDH，推出当 共线且和 △AHD∽△AOB 4 4 C，D，H CM 重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作DH  AB于H，CM AB于M ，交AO于D�． AD CD AD ∵运动时间t    CD， 4 1 4 ∵AB AC，AOBC， ∴BOOC 1， ∵A(0, 15)，C（1，0），AB AC，AOBC， ∴AB AC  OA2OB2  1514， ∵DAH BAO，DHAAOB90， ∴△AHD∽△AOB， AD DH ∴  ， AB OB 1 ∴DH  AD， 4 1 ∴ ADCDCDDH， 4 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， 1 1  BCAO ABCM ， 2 2 15 ∴CM  ， 2 2  15 7 ∴AM  AC2CM2  42   ，   2 2   ∵AD4MD，设MDm，则AD4m， 49 则有：16m2m2  4 7 15 7 15 ∴m 或 （舍去）， 30 30 14 15 ∴AD 15  15 ∴D0,    15   2023·江苏宿迁中考模拟 5．如图，二次函数 与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为 ．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿 运动到 点P，再以每秒1个单位长度的速度沿 运动到点A停止，则时间最短为 秒． 【答案】 【分析】如图，连接 ，作 于点D， 与 交点即为符合题意的点 P，可得 ，利用 角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为 解题即可． 【详解】如图，连接 ，作 于点D， 与 交点即为符合题意的点P， 令 ，则 ， 解得 或 ， 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴A，B两点坐标为 ， ， ∴ ， ∵A，B两点关于 对称， ∴ ， ∵顶点C到x轴的距离为 ， ∴ ∴ ， ∵ 都是 的高， ∴ ， 由题意得动点运动的时间为 ， ∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ∵作 ， ∴ ， ∴ ， 显然在l上另取一点 ，连接 ， ∵ ， ∴当 时，运动时间最短为 ， 故答案为： ． 2023·四川自贡·统考中考真题 1 6．如图，直线y x2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直 3 4 线 y 3 x2 上的一动点，动点Em，0，Fm3，0，连接 BE，DF，HD ．当 BEDF 取最 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 小值时，3BH 5DH 的最小值是 ． 39 【答案】 2 【分析】作出点C3，2 ，作CD AB于点D，交x轴于点F，此时BEDF 的最小值为CD的长， 11  利用解直角三角形求得F ，0，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D的坐  3  CD 标，过点D作DG y轴于点G，此时3BH 5DH 的最小值是5DG的长，据此求解即可． 1 【详解】解：∵直线y x2与x轴，y轴分别交于A，B两点， 3 ∴B0，2 ，A6，0 ， 作点B关于x轴的对称点B0，2 ，把点B向右平移3个单位得到C3，2 ， 作CD AB于点D，交x轴于点F，过点B作BE∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB是平行四 边形， 此时，BEBECF， ∴BEDF CFDF CD有最小值， 作CPx轴于点P， 则CP2，OP3， ∵CFPAFD， ∴FCPFAD， ∴tanFCPtanFAD， PF OB PF 2 ∴  ，即  ， PC OA 2 6 2 11  ∴PF  ，则F ，0， 3  3  设直线CD的解析式为ykxb， 3kb2  则11 ，解得k 3 ， kb0   3 b11 ∴直线CD的解析式为y3x11， 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  39 x y3x11   10 联立， ，解得 ，即 ；  1 7 39 7   y x2 y D ，   3  10 10 10 过点D作DG y轴于点G， 4 3  5 直线y x2与x轴的交点为Q ，0，则BQ OQ2OB2  ， 3 2  2 3 OQ 2 3 ∴sinOBQ   ，∴ ， BQ 5 5 3 HGBHsinGBH  BH 2 5 3  ∴3BH 5DH 5 BH DH5HGDH5DG， 5  39 39 即 的最小值是5DG5  3BH 5DH 10 2 2023·成都市七中校考 7．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，沿直 线 翻折，点 的对应点 恰好落在对角线 上，点 的对应点为 ，点 为线段 上 一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点M作 于点N，作点E关于 的对称点G，连接 ．由勾股定理求出 的长，根据锐角三角函数的知识可得 ，从而可得当 G，M，N 三点共线时 取得最小值，即 取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出 的长． 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：如图，过点 M作 于点 N，作点 E关于 的对称点 G，连接 ，则 ． 由折叠的性质可知， ， ， ， ∴ ．∵四边形 是矩形，∴ ， ． ∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴当G，M，N三点共线时 取得最小值，即 取得最小值， ∵ ， ，∴ ， ∴ ． ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ． 即 取得最小值是 ． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 8．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 / 【分析】在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，求出此时的 的 长度便可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， 在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ， ∴ ， ∴ ， 当 、 、 三点共线时， 的值最小， 此时 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为： ， ∴ 的最小值为 2023·广西二模 9．如图所示，在ABC中，A30，M为线段AB上一定点，P为线段AC上一动点．当点P在 1 PM  AP 运动的过程中，满足 的值最小时，则 ． 2 APM  资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】120 【详解】解：作CAF CAB，过M作MD AF 交AC于一点即为点P， ∵CAB30， ∴CAF CAB30， 1 ∴DP AP， 2 1 ∴当 时PM  AP的值最小， MD AF 2 ∴在△ ADP中，APM 9030120, 故答案为120； 10．如图， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，则 的最小 值为 3 ． 【答案】3 【解答】解：作 ，过点 作 于点 ， 则此时 最小， ， ， ， ， ， ， 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， 解得： ， ． 故答案为：3． 11．如图， 是圆 的直径， ，弧 ，点 是弦 上的一个动点，那么 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解： 的度数为 ， ， 是直径， ， ，作 ， 于 ， 于 ，连接 ． ， ，在 中， ， ， 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ， ， ， 在 中， ， ， ， 的最小值为 ，故选： ． 12．如图，在 中， ， ， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），连 接 ，则 的最小值是 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：如图，以 为斜边在 下方作等腰 ，过 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ．故选： ． 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 13．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点， △ 连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋ FB的最小值是 【答案】 【分析】由 FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt ABC补成等边△ABP，过F作 △ BP的垂线FH，GF+ FB= GF+ FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+ FB最短，又由于点G 为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线 段上时，GQ的长度． 【详解】延长AC到点P，使CP= AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接 OG，过点O作OQ⊥BP于点Q， ∵∠ACB= 90°，∠ABC= 30°，AB=4 ∴AC = CP=2 ，BP= AB=4 ∴△ABP是等边三角形 ∴∠FBH= 30° ∴ Rt FHB中，FH= FB ∴当G△、F、H在同一直线上时， GF+ FB= GF+ FH = GH取得最小值 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AE⊥CD于点G ∴∠AGC = 90° ∵O为AC中点 ∴OA=OC=OG= ∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动， ∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值 ∵Rt OPQ中，∠P= 60°，OP= 3，sin∠P= △ ∴ ∴GH最小值为 14．如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC 4，BC3，点D是斜边AB上的动点，则 2 CD AD 2 的最小值为 . 14 2 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知 BCE∽BAC，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点A做BAM 45，过点D作DH  AM 于H，过点C作CE AB于点E， 2 ∴DH  ADsinDAH  ADsin45 AD， 2 2 ∴CD ADCDDH ， 2 ∵两点之间线段最短， ∴当C、D、H 共线时，CDDH的值最小， 即CDDH的最小值为CH ， 【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3 “12345模型” 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，故△AHC的三边之比为 ，则答案为 【法二：常规法】 ∵ACB90，AC 4，BC3， ∴AB AC2BC2 5， ∵CE AB， ∴CEBACB90， ∵BB， ∴BCE∽BAC， CE BE BC 3 ∴    ， AC BC AB 5 3 12 3 9 ∴CE 4 ，BE 3 ， 5 5 5 5 12 ∵ ，∴DECE ， CDEADH 45 5 12 2 12 9 4 ∴CD 2CE ，AD ABDEBE5   ， 5 5 5 5 2 2 4 2 2 12 2 2 2 14 2 14 2 ∴DH  AD   ，∴CH CDDH    ，故答案为 ． 2 2 5 5 5 5 5 5 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 2023·广东深圳·统考三模 15．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； 1 （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当2CD+OD的最小值为6时，求⊙O 的直径AB的长． 4 3 【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB= h；（3） ． 3 8 3 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°， ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC， 如图2，由题可得CH=h，在Rt OHC中，CH=OC•sin∠COH， 3 2h 2 3 ∴h=OC•sin60°= OC，∴OC=△ = h， 2 3 3 4 3 ∴AB=2OC= h； 3 （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF， 1 1 如图3，则∠AOF=∠COF= ∠AOC= （180°﹣60°）=60°， 2 2 ∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形， ∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形， ∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， 1 ∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC， 2 1 ∴ CD+OD=DH+FD． 2 1 根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，此时 2 3 FH=OF•sin∠FOH= OF=6，则OF= ，AB=2OF= ， 2 4 3 8 3 1 ∴当 CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8 3． 2 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 16．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）连接 ，若 ， ． ①求 的值； ②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速 度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止 运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间． 【解答】（1）证明： 四边形 是矩形． ， 和 关于 对称， ， ， ， 四边形 是菱形． （2）①设 交 于 ． 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②作 于 ．易知 ， 点 的运动时间 ， 当 、 、 共线时， 的值最小，此时 是 的中位线， ． ， ， ， 当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时， 的长为 ，点 走完全程所需的时间 为 ． 17．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ， ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 是抛物线的顶点，将抛物线沿 方向平移，使点 落在点 处，且 ， 点 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点， 轴交直线 于点 ，连结 ．当 的值最小时，求 的长． 【解答】解：（1） 经过 ， ， 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，解得 ， 抛物线的解析式为 ． （2）如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ． 抛物线 ， 顶点 ， ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为3，此时 为 与 的交点， ， 平移后抛物线的解析式为 ， 平行 轴，将 代入抛物线解析式， ， 模块二 阿氏圆模型 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1） 18．如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则 的最大值为_______． 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D P B C 【答案】 【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造 ，在BC上取M使得此时 PM= ，则在点P运动的任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值 ． A D A D A D A D P P P B M C B M C B M C B M C P 19．如图，在 中， ， ， ，圆 的半径为2，点 为圆上一动点， 连接 ， ． 求① ；② ；③ ；④ 的最小值． A P C B 【解答】解：①取 的中点 ，连结 ， ， 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， ，当 在 上时， 最小， 最小值为 的长， ， 的最小值为 ， ② ， 的最小值为 ， ③在 取一点 ，使 G ， ， ， ， ， ， ，当 在 上 ， ， ， 的最小值为 ， 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ④ ， 的最小值为 ． 20．如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且 ， ， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接 ，先利用勾股定理求得 ， ，在 上截取 ，过 作 于 ， 于 ，求得 ， ， ，进而求得 ， 证明 求得 ，利用两点之间线段最短得到 ，当 共线时取等号，即可求解． 【详解】解：连接 ，∵ 为 的直径， ， ∴ ， ∵在 中， ， ∴ ， ， 在 上截取 ，过 作 于 ， 于 ，连接 、 ， 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴四边形 是矩形， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∵ ， 是公共角， ∴ ， ∴ ，则 ， ∴ ，当 共线时取等号， 故 的最小值为 ， 故答案为： ． 21．如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为 ______． A D P O B C 【答案】 22．如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、 PC，则BP＋CP的最小值为______________． 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A O P B C 【答案】 23．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一 动点，则PM＋PN的最小值为_______________ y P M O A N x 【答案】 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·山东烟台·统考中考真题 24．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，以点 为圆心，画 半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答案】 【分析】在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为 线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，、 ∴ ， 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 25．如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段 OA 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥AB于点M． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当 ＝ 时，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋ E′B的最小值． y y P P B B M M N N E′ O E A O E A 图1 图2 【答案】（1）∵抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3与x轴交于点A（4，0） ∴16a＋4(a＋3)＋3＝0，解得a＝－ ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋3 （2）∵A（4，0），∴OA＝4 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵y＝－ x2＋ x＋3，∴B（0，3），∴OB＝3 ∴AB＝＝5 ∵PE⊥OA，PM⊥AB，∴∠PMN＝∠AEN＝90°，∠PNM＝∠ANE ∴△PMN∽△AEN，∴＝ ＝ 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b ∴ 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－ x＋3 设E（m，0），则P（m，－ m2＋ m＋3），N（m，－ m＋3） ∴PN＝－ m2＋ m＋3－(－ m＋3)＝－ m2＋3m＝－3m( m－1) ∵∠AEN＝∠AOB＝90°，∠NAE＝∠BAO ∴△AEN∽△AOB，∴＝ ＝ ∴AN＝ NE＝(－ m＋3)＝－ m＋5＝－5( m－1) ∴＝，∴＝ ∴3m＝6，∴m＝2，∴E（2，0） （3）在OB上取点D，连接E′D、AD，使∠OE′D＝∠OBE′ y P 则△OE′D∽△OBE′，∴＝ ＝ ＝ ∴E′D＝ E′B，OD＝ OE′＝ B ∴E′A＋ E′B＝E′A＋E′D≥AD M ∵AD＝＝ ，∴E′A＋ E′B≥ N D E′ 即E′A＋ E′B的最小值为 O E A 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1） 26．如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ， 点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ， 求 的最小值问题转化为求 的最小值．求出 即可判断． 【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ． 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 在 中， ， ， ， ， ， 的最小值为 27．如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆 O 的半径为，P 是圆 O 上一动点，PA+PB 的最小值为 ________． O P A B 【答案】 28．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小 值为________． 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C P A O D B 【答案】12 【题型6】一内一外提系数 29．如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆心3为半径的圆上， 则 的最小值为 ． 【解答】解：在 上取点 ，使 ， 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， 在 延长线上取 ， ， 则 ， 又 ， ， ， ， ， 当 为 和圆的交点时 最小，即 最小，且值为 ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 30．如图，正方形 边长为 4， 是 的中点， 在 上， 的最大值是 ， 的最小值是 【解答】解：(1)如图，连接 ， ，交于点 ，连接 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 、 、 在一条直线上时， ， . 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然 ，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得， ，故 . 【题型7】隐圆型阿氏圆 2023·咸阳·三模 31．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点， 1 PC PD 且 EF 4 ，P是 EF 的中点，连接 OP、PC、PD ，若AC 12,BD16，则 4 的最小值 为 ． 145 【答案】 2 1 【分析】在 上取一点G，使得OG ,连接 ．根据菱形的性质可知 ， OD 2 PG、CG OC 6,OD8 OG OP 1 则   ，结合 ，可得 ，利用相似三角形的性质证得 OP OD 4 GOPPOD △POG∽△DOP 1 1 PG PD,根据 可知 的长即为PC PD的最小值，利用勾股定理求出 便可 4 PCPGCG CG 4 CG 解决问题． 1 【详解】解：如图，在 上取一点G，使得OG ，连接 ． OD 2 PG、CG 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形ABCD为菱形，AC 12,BD16， 1 1 ∴OC  AC 6，OD BD8， ， 2 2 ACBD ∵EF 4，P是EF的中点， 1 ∴OP EF 2， 2 1 ∴OG 2 1 OP 2 1，   ，   OP 2 4 OD 8 4 又∵GOPPOD， ∴△POG∽△DOP， GP 1 1 ∴  ，即GP PD， PD 4 4 ∵PCPGCG， 1 ∴当点G、P、C在同一直线上时，PC PD取得最小值， 4 1 145 此时PC PDPCPGCG OC2OG2  4 2 2023·宿迁·三模 A2,0 B0,2 C5,2 D4,4 32．如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ，点P在第一象限，且 APB135 2PD4PC ，则 的最小值为 ． 【答案】6 10 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  2  【分析】取一点T  ，0 ，以O为圆心， 为半径作圆，与 交于点F，连接 ，  2  OT OD PF，PC，FC 首先利用四点共圆证明 OP2，再利用相似三角形的性质证明 2PD4PF，推出 2PD4PC 4PF4PC 4PFPC ，根据PF+PCFC，利用两点之间的距离公式，即可求 出FC的最小值，即可得．  2  【详解】解：如图所示，取一点T  ，0 ，以O为圆心， 为半径作圆，与 交于点F，连接  2  OT OD PF，PC，FC， ∵A2,0 、B0,2 ，D4,4 ， ∴OAOB2，OD 4242 4 2， 以O为圆心，OA为半径作O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA， 1 ∵Q AOB45， ， 2 APB135 ∴QAPB45135180， ∴A，P，B，Q四点共圆， ∴OPOA2， 2 ∵ ，OF  ， ， OP2 2 OD4 2 ∴OP2 OFOD， OP OD ∴  ， OF OP ∵POF POD， ∴△POF∽△DOP， PF OF 2 ∴   ， PD OP 4 ∴ 2PD4PF， ∴ 2PD4PC 4PF4PC 4PFPC ， 过点F作FGOA于点G， 2 ∵ D4,4，OF  ， 2 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴DOG45 1 1 ， ∴点F的坐标为 ， 2 2 ∵C5,2 ，  1 2  1 2 3 10 ∴FC  5  2    2  2 2 ∵PF+PCFC，即 2PD4PC 4PFPC4FC 6 10 , ∴ 2PD4PC的最小值是6 10 33．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的两个 动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解答】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ． ， ， ， ， ， ， ， 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 34．如图，在边长为6的正方形 中，M为 上一点，且 ，N为边 上一动点．连 接 ，将 沿 翻折得到 ，点P与点B对应，连接 ，则 的 最小值为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，在线段 上取一点 ，使 得 ， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 ， 从 而 得 到 ，当且仅当 三点共线时，取得最小值 ， 即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 在线段 上取一点 ，使得 ，则 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当且仅当 三点共线时，取得最小值 ， ∴ 的最小值为： 35．如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ， 是 外部的第一象 限内一动点，且 ，则 的最小值是 ． 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【解答】解：如图，取一点 ，连接 ， ， ， 、 、 ， ， ， 以 为圆心 为半径作 ，在优弧 上取一点 ，连接 ， ， ， ， ， 、 、 、 四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 的最小值是 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】