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专题 09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
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模型1.垂美四边形模型...................................................................................................................................1
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模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2∠A的对边
sinA=
斜边
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1．（2023·四川乐山·二模）如图，菱形 中， ， ， 是对角线 上的任意一
点，则 的最小值为（ ）．A． B． C． D．
例2．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形 中， ， ，则对角线
，点 是 上的动点，连接 ，则 的最小值是 ．
例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E是 边上一点，且 ．
P是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边
CD上的一动点，则 的最小值等于________．
例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的
对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，
以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中， ，对角线AC、BD相交于点O，点
M在线段AC上，且 ，点P是线段BD上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线
上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B．6 C． D．4
3．（2024.成都市九年级期中）如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动
点，则 的最小值等于 ．
4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ，点M
在线段 上，且 ．点P为线段 上的一个动点．
（1） °；（2） 的最小值为 ．
5．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则
▱
的最小值为______．
6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形 中， ， ， ，在线段上取一点E，使 ，连接 ，点M，N分别是线段 上的动点，连接 ，则
的最小值为 ．
7．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形 中，对角线 ．将长方
形 沿对角线 折叠，得 ，点 M 是线段 上一点．则 的最小值为 ．
8．（2024·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC ，E为线段AB上一动点，连接
CE，则 AE＋CE的最小值为___．
9．（2024上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，将线段 绕点
进行旋转， ，取 中点 ， ，连接 ，已知点 的坐标为 ，那么将线段 绕点
的旋转过程中， 的最小值为 ．10．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
11．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边
CD上的一动点，则 的最小值等于________．
12．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上
的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
13．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线 ： 与 轴交于
点 ，与 轴交于点 ，分别以 、 为边作矩形 ，点 、 在直线 上，且 ，则
的最小值是 ．14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形
的对角线 上时，连接 ，将 沿着 翻折，点 落在点 处．①四边形 是正方
形吗？请说明理由；②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．
15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，
连接 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ．(1)求证： ；(2)求
的最小值．
16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形 中， ，连接 ，点 E，F分别
是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， ， ．(1)如图①，当点E是边 的中点时，求
的度数；(2)如图②，当点E是边 上任意一点时， 的度数是否发生改变？若不改变，请证
明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段 上的一个动点，连接 ，求 的最小值．
