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专题 14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
....................................................................................................................................................1
模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰 中， ， 是 边上的高，
， 是 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数值定义、等面积
法求线段长等知识，过点 作 ，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出 及，在 中，求出 ，从而得到当 三点共线，且 时，
有最小值为 ，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-胡不归
问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：过点 作 ，如图所示：
在等腰 中， 是 边上的高， 在 中， ， ，则 ，
由勾股定理可得 ， ，
在 中， ，则 ， ，
如图所示，当 三点共线，且 时， 有最小值，为 ，
由等面积可知 ，则 ，故答案为：8．
例2．（23-24·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线
上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B【分析】直接利用已知得出 ，再将原式变形，进而得出 最小值，进而得出答案．
【详解】解：过点A作 ，过点D作 于点M，交 于点P，
∵在矩形 中， ， ， ∴ ，
∴ ， 则 ，∴ ，
∴ ， ．
即 的最小值为6．故选B．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
例3．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形 中， ， ， 是对角线 上的任
意一点，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图：过点E作 ，过点B作 ，连接 ,由菱形的性质结合题意可得
结合 可得 ，则 ,即 ；再根据三角形的三边关系可
得 ,则当 时，即F与 重合时， 有最小值 ，最后解直角三角形求出 即
可．【详解】解：如图：过点E作 ，过点B作 ，连接 ．
∵在菱形 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，即 ．
∴ ．∴ ．∵
∴当 时，即F与 重合时， 有最小值
∴ 的最小值 ．故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到 有最小值的位置是解答本题的关
键．
例4．（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+ PB）
连接AC交 BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF= PB.显然A、P、F共线时PA+ PB最小。此时 PA+ PB=AF
∵AB=2,∴AO=BO= ,∵∠PBE=30°,∴OE= ,BE=
等面积法: ×AF×BE= ×AE×BO 解得：AF=
利用
注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。
例5．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）已知如图， 中直径 ， ，点 是射
线 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、 ，令 交 于 ，由
可得 ，由圆周角定理可得 ，由等边三
角形的判定及性质可得 是 的垂直平分线，从而得到 ，由含 角直角三角形的性质可得
，从而得到 ，当 时，此时 最小为 ，最后根据等边三
角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、 ，令 交 于
，，
， ，
， ， ，
， 是等边三角形， ， ，
， ， ， ，
是 的垂直平分线， ，在 中， ， ，
， ，当 时，此时 最小为 ，
， ， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例6．（2024·广西崇左·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 点，且与
轴的正半轴交于点 ， 点是该抛物线对称轴上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】连接 、 ， ，作 ， ，先证明 为等边三角形，接着利用
，得到 ，利用抛物线的对称性得到 ，所以 ，根据两点之
间线段最短得到当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，然后计算出 的长即可．
【详解】解：连接 、 ， ，作 于 ， 于 ，如图，当 时，
，解得 ， ，则 ，
，则 ， ，
， 为等边三角形， ， ．
垂直平分 ， ， ．
当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
在Rt ABC中， ，即 ， 的最小值为 ．故选：B．
△
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，
直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键．
例7．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、
轴于 、 两点，若 是 轴上的动点，则 的最小值( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 ，先得到 ，作 点的对称点 ，作 ，所以
，可得 ，可得当 、 、 共线时， 最小，进而可求得．
【详解】解：如图，作 点的对称点 ，作 于点 ，
一次函数 交 轴于点 ，当 时， ，当 时， ，
， ， ， ， ， ， ，
在 的延长线上取 ， ，作 于 ，
， ， 当 、 、 在同一条直线上时， 最小，
过 点作 于 ，在 中， ，
， 最小值是 ，最小值是 ，故选：B．
【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即 形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出
或 ．
例8．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP
的中点Q，连接CQ．当AB＝6 ，AD＝4 ，tan∠ABC＝2时，求CQ＋ BQ的最小值．
【答案】（1） (2)证明见解析（3）CQ＋ BQ的最小值为
【分析】（1）根据点E是BD的中点，可得 ,在作边CE的高DF,根据等边三角形三线合一
DF也是 的高，根据勾股定理计算出DF的长度，在直角三角形DFC中利用勾股定理计算出CF,得
出CE的值，利用三角形的面积公式计算出面积．
（2）延长AF,是2AF=AG,证明 ,得出CM=AD，再根据 60°，得出
= ,从而证明 ,得出AB=AG，得出结论．
（3）根据 =90°，知道点P的运动轨迹是以AD为直径的圆，圆心记为N，点Q是BP的中点，得到
点Q的运动轨迹是以BN的中点为圆心，半径为 的圆。由 ，构造直角三角形QGB，点G为直角顶点，可得 ,得 ，可知CQ＋ BQ=CQ+QG,故根据两点
之间线段最短得最小值为CG的长度，又点G的运动轨迹为以AB为中点的圆．圆心为L,当点C、点Q、点
G在同一条直线上时，CG的值最小，从而得出结果．
【详解】解：作DF⊥AC ∵点E是BD的中点∴BE=DE故
∵AD=4, ADE是等边三角形，DF⊥AE∴AF=EF=2,∠ADF=30°∴DF=
△
∵在Rt DEC中，CD=5,DF= ,根据勾股定理得：FC= ∴CE=CF-EF=
△
=
(2)证明：延长AF使AF=FG如下图 ∵△AED是等边三角形 ∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC∴CG=AD，∠FCG=∠ADF∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD 又CG=AE∴ ∴AB=AG 故AB=2AF
(3)如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ,在Rt BQG中，sin∠BQG= 则GQ= BQ,
△
故CQ＋ BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N ．点G为以BE
的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆．当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小．∵AB∥CD，∠APD＝90°∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD= 又tan∠ABC＝2∴BC= ∵AN= ，GN= ∴CL=CD-DL= ∠BGN=∠GCL
∴Rt BGN≌Rt GCL ∴BG=CG 在Rt BGC中，BC= ∴CG= 即CQ＋ BQ的最小值=
△ △ △
【点睛】本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题．隐圆问题，
了解直径所对的圆周角等于90°是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助．了解
截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接 ．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．【答案】(1) ， (2) 或 或 (3)点M的运动时间的最小值为7秒
【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与 平行直线，找到与
抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接 ，使得 ，作 于N．作
于 交 于 ．由点M的运动时间 ， ，推出点M的运动时间
，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动
时间最少．由此即可解决问题；
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，解得： ， ，故答案为： ， ；
（2）解：设x轴上点D，使得 的面积 ， ，解得： ，
， ，则可求直线 解析式为： ，故点D坐标为 或 ，
当D坐标为 时，过点D平行于 的直线l与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l的解析式为： ，
求直线l与抛物线交点得： ，解得： ， ，则P点坐标为 或 ，同理当点D坐标为 时，直线l的解析式为 ，
求直线l与抛物线交点得： ，解得： （舍弃）， ，
则点P坐标为 ，综上满足条件P点坐标为： 或 或 ；
（3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得 ，作 于N．作 于 交
BC于 ． ， ， ，
， 直线 的解析式为 ，
点M的运动时间 ， ， 点M的运动时间 ，
根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动时间最少．
由题意 ， ， ， 点M的运动时间的最小值为7秒，此时 ．
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本
题的关键．1．（2023.广西九年级期中）如图， 是圆 的直径， ，弧 ，点 是弦 上的一个动
点，那么 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解： 的度数为 ， ， 是直径， ，
，作 ， 于 ， 于 ，连接 ．
， ，在 中， ， ，
根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为 ，
， ，在 中， ， ，
， 的最小值为 ，故选： ．
2．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一
动点，则 的最小值为A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【解答】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
四边形 是菱形， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， 的最小值为4，故选： ．
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点，
则 的最小值为A． B．6 C． D．3
【答案】D
【解答】过点 作射线 ，使 ，再过动点 作 ，垂足为点 ，连接 ，如图所
示：
在 中， ， ， ，
当 ， ， 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ， 是等边三角形， ，
在 中， ， ， ， ， ，
， ， 的最小值为3，故选： ．
4．（2024·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、
C重合），连接BP，则 AP+PB的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝ AP
当BP⊥AE时，则 AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，
在Rt ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝ ．∴ AP+PB的最小值是 ．故选：B．
5．（△2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 、 相交
于点O， ．点E是 的中点，若点F是对角线 上一点，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】过点F作 于点G，证明 为等边三角形，推出 ，则
， ，进而得出 ，当点E、F、G
在同一条直线上时， 取最小值，证明 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：过点F作 于点G，如图，
∵四边形 为矩形，∴ ， ，∵ ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ ， ，∴ ，
当点E、F、G在同一条直线上时， 取最小值，
∵点E是 的中点，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，
综上： 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性
质，解题的关键是正确作出辅助线，找出 ．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，
PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD PB，∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，即PC+PD的最小值为 ，∴ PC+PB的最小值为 4，故答案为：
4．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ， ，点 是直线 上一点，连接 ，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 ，
则 的最小值为 （用含 的代数式表示）．
【答案】
【分析】如图所示，过点 作 ，过点 作 ，延长 交 于点 ，可证
， ， ，根据三角形内角和关系可得 ， ，
，当点 三点共线时， 的值最小，在 中，可得
，可证 是等腰三角形， 为 的中点，可得 ，在 中，根
据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，过点 作 ，延长 交 于点 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，在 中， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
当点 三点共线时， 的值最小，∴当点 三点共线时，
∵ ，∴点 于点 重合，如图所示，
在 中， ，则 ，∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等腰三角形， ，
∴ 为 的中点，且 ， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角的判定和性质，勾股定理，含 角直角三角形的性
质等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
ABCD AB AC 10 AC BD O
8．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点 ，
1
点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则MP PB的最小值是______．
M AC AM 3 P BD 27
3
【答案】2
1
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP PB的长度最小为MH，再算
2
出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
1
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP PB的长度最小
2
ABCD AB AC 10
∵菱形 中， ∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
1
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH= PB
2
1 1
MP PB MP PB=MPPH MH
∴此时 2 得到最小值， 2
7 7
3 3
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=2 故答案为：2
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
A 0，15
9.（2024·山东校考一模）如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D的坐标为 ． 15
【答案】0,
15
AD CD AD
【分析】如图，作 DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t CD，由
4 1 4
1 1
，推出DH AD，可得 ADCDCDDH，推出当 共线且和 重合时，
△AHD∽△AOB 4 4 C，D，H CM
运动时间最短．
【详解】如图，作DH AB于H，CM AB于M ，交AO于D�．
AD CD AD
∵运动时间t CD，∵ ， ，∴ ，
4 1 4 AB AC AOBC BOOC 1
∵A(0, 15)，C（1，0），AB AC，AOBC，∴AB AC OA2OB2 1514，
∵DAH BAO，DHAAOB90，∴△AHD∽△AOB，
AD DH 1 1
∴ ，∴DH AD，∴ ADCDCDDH，
AB OB 4 4
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
2
15 7
1 1 ，∴ 15 ，∴AM AC2CM2 42 ，
BCAO ABCM CM 2 2
2 2 2
49
∵ ，设 ，则 ，则有：16m2m2
AD4MD MDm AD4m 4 15
∴m 7 15 或 7 15 （舍去），∴AD 14 15 ∴D
0,
15
30 30 15
10．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，
▱
则 的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
11．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出
，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D在以 为直
径的圆上，从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为D，取 ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，而 一定，
∴当 的面积最大时， 最大，∵ ，∴点D在以 为直径的圆上，
∴当D平分 时，点D到 的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时 ，则 为等腰直角三角形，∴ ，故答案为： ．．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，
解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长．
12．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形 中，点 ， 分别为 上的两点，连接
、 ，并延长交于点 ，连接 ， 为 上一点，连接 、 ， .
(1)如图1，若 为 的中点， ，且 ，求线段 的长；
(2)如图2，若 ，过点 作 于点 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， 为线段 （包含端点 、 ）上一动点，连接 ，过点 作 于点 ，
将 沿 翻折得 ， 为直线 上一动点，连接 ，当 面积最大时，直接写出
的最小值．
【答案】(1) ；(2)见解析(3) 的最小值为 ．
【分析】（1）根据正方形的性质，求得 ， ，在 中，根据勾股定理求得
，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）过点 作 于点 ，证明 是等腰直角三角形， ，进而证明 是等腰直角三角形，根据
即可得证；（3）取 的中点 ，连接 ，连接 ，以 为底
边，在 的左侧作等腰直角三角形 ，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得
，则当 时， 的面积最大，由 ，可得当
三点共线时， 取得最小值，证明四边形 是矩形，可得 ，即
的最小值为 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，在 中， ，
∵ 为 的中点，∴ ；
（2）证明：如图，过点 作 于点 ，
， ， ， ，
， ， ，
， ，
是等腰直角三角形， ，
， ， ，
， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，
，即 ；
（3）证明：如图甲所示，取 的中点 ，连接 ，连接 ，以 为底边，在 的左侧作等腰直角
三角形 ， ， ， 是直角三角形，
将 沿BC翻折得 ， 是直角三角形， ，
当 时， 的面积最大， 是 的中点， 是等腰直角三角形，
则 也是等腰直角三角形， ，此时如图乙所示，则点 与 重合，
∵ ， ， ， 三点共线时， 取得最小值，
， ， ，
则四边形 是矩形， ，即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，
全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x
轴的负半轴上，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形 为菱形．(1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，E为 中点，连接 ，P为 上一点，连接 ，设P点横坐标
为t， 的面积为s，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图3，在（2）
的条件下，以 为边向右作等边 ，M为 中点，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）分别令 、 求得 、 ，再利用勾股定理求得 ，再根据菱形的
性质即可求解；（2）连接 ，过点P作 于点M，根据线段垂直平分线的判定可得 ，
从而证明 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，再利用勾股定理求得
，证明 ，可得 ，求得 ，再利用
；
（3）连接 、 ，证明 是等边三角形，从而可证 ，可得 ，把 绕点B
顺时旋转 得到 ，连接 ，过点F作 于点G，根据直角三角形的性质可得 ，即
，从而可得 ，连接 ，过点M作 于点H，根据三角形的三边
关系和垂线段最短可得 的最小值为 的长，根据等边三角形的判定和直角三角形的性质求得
、 ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，当 时， ，当 时， ，解得 ，
∴ 、 ，∴ ， ，在 中， ，
∵四边形 为菱形，∴ ,∴ ,∵点A在x轴的负半轴上，∴ ；
（2）解：连接 ，过点P作 于点F，由（1）可得， , ,
∵ ， ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∵E为 中点，∴ ， ，在 中， ，
∵P点横坐标为t，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 、 ，由（2）可得， 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，把 绕点B顺时旋转 得到 ，连接 ，过点F作
于点G，由旋转的性质可得， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，连接 ，过点M作 于点H，∵ ， ，∴ 的最小值为 的长，
∵M为 中点， ，∴ ，∵ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ， ，∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、旋转的性质、线段垂
直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次
函数与坐标轴的交点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点
，与x轴交于点 ，点C为 中点，反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A
沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 的面积为
【分析】（1）过点A作 于点E，过点C作 于点F，根据平行线分线段定理可得
，从而求得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）由锐角三角函数求得 ，再由三角形内角和求得 ，从而求得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，从而求得 ，作直线 ，可得 ，
过点Q作 于点H，则 ，可得当D，Q，H三点共线时， 取最小值，
此时Q与A重合，再利用 求解即可；
【详解】（1）解：过点A作 于点E，过点C作 于点F，
∵ ，∴ ，点C为 中点，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∵将直线 顺时针旋转 得到直线 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
作直线 ，∴ ，过点Q作 于点H，∴ ，
∴当D，Q，H三点共线时， 取最小值，此时Q与A重合，
∴ ，∴ 的面积为 ；
【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、旋
转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．15．（2024·江苏苏州·二模）如图，抛物线 的图像与 轴交于 、 两点（点 在点 左
侧），与 轴交于点 ，其中点 坐标(1,0)，点 坐标 ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 是抛物线
上一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点 为 轴上一个动点，则 最小值为_______．
【答案】(1) (2) (3)12
【分析】（1）将 、 代入 ，利用待定系数法求解即可；
（2）连接 ，过O作 于H，并延长 至点M，使 ，作直线 交抛物线于G，过
M作 于N，利用等面积法求出 ， ，证明 ，求出 ， ，可得M的坐标，
求直线 解析式，把直线 解析式和抛物线的解析式联立方程组，解方程组可求点G坐标；
（3）取点 ，作直线 ，过Q作 于H，过B作 于M，利用勾股定理求出
，利用同角的正弦值相等可得出 ，求出 ，则
，故要求 的最小值，只需求 的最小，当B、Q、H三点
共线，且 时， 最小，最小值为 ，证明 ，利用相似三角形的性质求出
得 ，即可求解．【详解】（1）解：将 、 代入 可得，
，解得 ， 抛物线的解析式是
（2）解：当 时， ，∴ ，
连接 ，过O作 于H，并延长 至点M，使 ，作直线 交抛物线于G，过M作
于N，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ， ，∴ ，
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ，∴ ，
联立方程组 ，整理得 ，解得 ， （舍去），
∴ ，∴ ∴存在点 ，使 ；（3）解：取点 ，作直线 ，过Q作 于H，过B作 于M，
则 ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴
，
∴要求 的最小值，只需求 的最小，
当B、Q、H三点共线，且 时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，∴ 的最小值为
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短等知
识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
16．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形 中， ， ，点 、 分别为线段 、
上的动点，点 为边 的中点，连接 ， ．(1)求 的长；(2)连接 ，若 ，求证： ；(3)若 ，试求 的最小值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）证明 是等边三角形，即可求解；（2）延长 至 ，使得 ，在 上取
，连接 ，证明 ，可得 ， ，证明四边形
是平行四边形，可得 ，即可得出 ，进而证明 ，即可得证；（3）将 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，当 三点共线时，
，此时 取得最小值， 为 的中点，当 为 的中点时（或者设其他点为中点，再证
明 为中点），过点 作 于点 ，勾股定理解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形 中， ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，又∵ ，∴ ；
（2）解：如图所示，延长 至 ，使得 ，在 上取 ，连接 ，
在 与 中， ∴ ∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ，∵ ，设 ，则
在 中， ，
∴ ，∴
∵ ∴ ，
∴
在 中，
∴ ，∴ ，∴ ；
（3）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，
当 三点共线时， ，此时 取得最小值，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∵ 三点共线∴ ，∴ ，
∵ 为 的中点，当 为 的中点时，∴ ， ，则 ，∴ ，
，
∵ ∴ ，∵ ∴
又 ， ∴ ，∴ ，
∴当 是 的中点时， 三点共线，过点 作 于点 ，
∴ ， ， ∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于
的对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，
以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；② 和 走完全程所需时间为 ．
【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求 即可；
②先确定点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
， ， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，
为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得， ，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即： ， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短. ，
在 中，设 ， ，
，解得： ， ， 和 走完全程所需时间为 ．
y kx2 y x2 bxc b0
18．（2020·湖南·中考真题）已知直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的一个
A(1,0) M(m,0) y kx2 y x2 bxc
交点为 ，点 是x轴正半轴上的动点．（1）当直线 与抛物线
b0
（b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
1 27 2
b
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 2，当 2AM 2DM 的最小值多 4 时，求b的值．
1,4
【答案】（1）-2，2，-3， ；（2）4或6；（3）3
y kx2 A(1,0) A(1,0) y kx2
【分析】（1）由题意可知直线 经过 ，因而把 代入直线 即可求出k
A(1,0) y kx2
的值，然后把 代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线 与抛物线b 4cb2
,
y x2 bxc （b，c为常数， b0 ）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E 2 4 ，并代入直
y 2x2
线 ，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
1
b
（2）将点D的横坐标 2代入抛物线y x2 bxc（b，c为常数，b0），根据点A的坐标得到含
b 3 1 b 3
b ,
b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为 2 4，可知点D 2 2 4在第四象限，且在直线 xb
N(0,1)
的右侧，取点 ，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴
1
b ,0
于点H，则点H 2 ，在Rt MDH中，可知DMH MDH 45，由题意可知点M(m,0)，
△
27 2
2AM 2DM
用含b的代数式表示m，因 4 ，可得方程，求解即可得出答案．
y kx2 A(1,0)
【详解】解：（1）∵直线 经过 ，
A(1,0) y kx2 0k2 k 2
∴把 代入直线 ，可得 ，解得 ；
y x2 bxc b0 A(1,0)
∵抛物线 （b，c为常数， ）经过 ，
A(1,0) y x2 bxc c b1
∴把 代入抛物线 ，可得 ，
y kx2 y x2 bxc b0
∵当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
b 4cb2 b 4cb2
, ,
∴顶点 E 的坐标为 2 4 ，把 E 2 4 代入直线 y 2x2 ，b 4cb2 b 4b1b2
2 2 2 2
可得 2 4 ，∴ 2 4 ，解得b2，
1,4
∵ b0 ，∴ b2 ，∴ c213 ，∴顶点E的坐标为 ．
1
b
（2）∵点D在抛物线y x2 bxc（b，c为常数，b0）上，且点D的横坐标为 2，
2
1 1
y b b b c
∴ D 2 2 ，∵A(1,0)在抛物线y x2 bxc（b，c为常数， b0 ）上，
2
1 1 b 3
y b b b b1=
∴12 bc0，即 c b1 ，∴ D 2 2 2 4 ，
1 b 3
b ,
可知点D 2 2 4在第四象限，且在直线 xb 的右侧．
2
2AM 2DM 2 AM DM
∵ ，∴可取点 ，
2 N(0,1)
GAM 45
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∴ ，得
2
AM GM
2 ，
1
b ,0
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H 2 ，
DMH MDH 45 DH MH, DM 2MH
在Rt MDH中，可知 ，∴ ，
△
b 3 1 b 1
0 b m m
∵点M(m,0)，∴ 2 4 2 ，解得： 2 4 ，
27 2 b 1 1 b 1 27 2
2AM 2DM 2 (1) 2 2 b
∵ 4 ，∴ 2 4 2 2 4 4 ，∴ b3 ．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、
三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．
