文档文本内容
专题05 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................9
压轴真题强化...........................................................................................................................18
“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中
数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射
线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其
中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、
射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的
弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一
条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称
为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的直线轨迹型类问题。
专题目录
模型解读
1、如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
P
Q
A
B
C
解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
做法：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始
终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
N
C
B
A
Q
P
M
2、如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ 为定值，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。
做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位
置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。
常见类型讲解
3、确定动点轨迹的方法
当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相
似）为其他已知轨迹的线段求最值。
（2021·四川广元·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是
边的中点，
点P 是
边上一个动点，连接
，以
为边在
的下方作等边三角形
，连接
．则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
真题演练
∵
是等边三角形，
∴
，
∵∠CDQ 是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵
，
，点D 是
边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，
，
∴点Q 是在QE 所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE 时，CQ 取的最小值，
∴
，
∴
；
故选B．
（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一
点，过点C 作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH 周长的最小值
是（ ）
A．24
B．22
C．20
D．18
【答案】B
【详解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M 是BC 的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH 和△CMG 中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH 的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH 最小时，即MH⊥AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH 为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH 的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在
中，
，点P 为
边上任
意一点，连接
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，则
长度的最小值为
_________．
【答案】
/2.4
【详解】解：∵
，
∴
，
∵四边形APCQ 是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ 最短也就是PO 最短，
∴过O 作BC 的垂线
，
∵
,
∴
,
∴
，
∴
，
∴
，
∴则PQ 的最小值为
，
故答案为：
．
（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在
中，
．P 为边
上一动点，
作
于点D，
于点E，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接
，
∵
，
∴
，
∵
于点D，
于点E，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
由垂线段最短可得
时，线段
的值最小，此时线段
的值最小，
此时，
，
代入数据：
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
（2021·辽宁锦州·中考真题）在△ABC中，AC = AB，∠BAC =α，D 为线段AB 上的动点，连接
DC，将DC 绕点D 顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当α =60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα = 3
4 时，
探究AD 和BE 之间的数量关系，并说明理由；
若AC =5，H 是BC 上一点，在点D 移动过程中，CE+ EH是否存在最小值？若存在，请直接写出
CE+ EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①
＝
，理由见解析；②存在，
【详解】（1）证明：如图1 中，
∵
＝60°，AC＝AB，
∴△ABC 是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC 绕点D 顺时针旋转
得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE 是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论：
＝
．
如图2 中，过点C 作CK⊥AB 于K．
∵tan∠CAK＝
＝
，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝
＝
k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴
＝
，
∴
＝
，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴
＝
＝
＝
．
②如图2 中，过点C 作CJ⊥BE 交BE 的延长线于J．作点C 关于BE 的对称点R，连接BR，ER，过
点R 作RT⊥BC 于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝
，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴
＝
＝
（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝
，
∴点E 的运动轨迹是射线BE，
∵C，R 关于BE 对称，
∴CR＝2CJ＝
，
∵BJ＝
＝
＝
，
∵S△CBR＝
•CR•BJ＝
•CB•RT，
∴RT＝
＝
，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥
，
∴EC＋EH 的最小值为
．
1、如图，长方形
中，
，
，E 为
上一点．且
，F 为
边上的一个动点
连接
，将
绕着点E 顺时针旋转
到
的位置，其中点B、点F 的对应点分别为点
H、点G，连接
和
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】解：如图，将线段
绕点E 顺时针旋转
得到线段
，连接
交
于J．
∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
巩固练习
∴
，
∴
，
∴点G 的在射线
上运动，
∴当
时，
的值最小，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
故选：C．
2、如图，在
中，
，
，点
，
分别是
，
边上的动点，连结
，
，
分别是
，
的中点，则
的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．9.6
D．4.8
【答案】
【详解】解：如图所示，过点B 作
于G，连接
，
∵在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵F，M 分别是
，
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∴当
时，
最小，即此时
最小，
∵当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
最小值为
，
故答案为：
．
3、如图在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作
等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE 的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，以AC 为斜边在AC 右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C 与AB 交于点G，连接
E1E 延长与AB 交于点F，作BE2⊥E1F 于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE 与Rt△AE1C 为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°
∴∠ACD＝∠E1CE
∵
，
∴△ACD∽△E1CE，
∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D 为AB 上的动点，
∴E 在直线E1E 上运动，
当BE2⊥E1F 时，BE 最短，即为BE2的长．
在△AGC 与△E1GF 中，
∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°
∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，
∴BF＝1，
∵BF＝
BE2，
∴BE2＝
，
故答案为：
．
4、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边AD 上的一个动点，将
线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是
___________．
【答案】4+2
【详解】解：取AD 中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC 的延长线于点H，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD 为等边三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG 也为等边三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF 和△GEF'中，
，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°
60°
60°
﹣
﹣
＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E 关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH 中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴
，
在Rt△BEH 中，BE＝
＝
＝2
，
∴BF'+EF'≥2
，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2
，
故答案为：4+2
．
5、预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式
吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为
，
将点
代入得：
，整理得
∵t 为任意实数，等式恒成立，∴
，
∴
，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹
是直线l，求直线l 的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知
，
，且
，
，
则点C 的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点
，Q 是直线
上的一个动点，
连接
，过点P 作
，且
，连接
，求线段
的最小值．
【答案】(1)直线l 的函数表达式为
;
(2)点C（-7，3）；
(3)OQ′最小值为
．
【详解】（1）解：设这条直线的函数表达式为
，将点
代入得：
，整理得
，
∵t 为任意实数，等式恒成立，
∴
，
，
∴
，
，
∴这条直线的函数表达式为
，
∴随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l 的函数表达式为
．
（2）解:设C 点坐标为（m，n）过C 作CE 垂直x 轴于E，过B 作BF⊥x 轴于F，
∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
∴∠ECA=∠FAB，
在△CAE 和△ABF 中，
，
∴△CAE≌△ABF（AAS），
∴CE=AF，EA=FB，
∵点B（5，9）点A（2，0），
∴点F（5，0）
∴n=5-2=3;2-m=9,
∴m=-7,
∴点C（-7，3）；
（3）解：过Q 作QG⊥x 轴于G，过Q′作Q′H⊥x 轴于H，
∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，
∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，
∴∠QPG=∠HQ′P，
在△QPG 和△PQ′H 中，
，
∴△QPG≌△PQ′H（AAS），
∴PG=Q′H，QG=PH，
∵Q 是直线
上的一个动点，
设Q（a，
），
当a≤1 时，
∴QG=PH=
，PG= QH=1 - a，
∴点Q′（
，1 - a），
∵OQ′=
，
∵
时，OQ′随a 的增大而减小，
当a=1 时最小OQ′=
，
当1≤a≤4，
∴QG=PH=
，PG= QH= a-1，
∴点Q′（
，1-a），
∵OQ′=
，
∵
，a=2 时，OQ′最小=
，
当a≥4 时，
∴QG=PH=
，PG= QH= a-1，
∴点Q′（
，1-a），
∵OQ′=
，
∵
，a＞2 时，OQ′随a 的增大而增大，
a=4 时，OQ′最小=
，
∵
＞3＞
，
∴OQ′最小值为
．
一、单选题
1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形
中，
，
，点P 在线段
上运
动（含B、C 两点），连接
，以点A 为中心，将线段
逆时针旋转60°到
，连接
，则线
段
的最小值为（ ）
压轴真题强化
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【详解】解：
与
固定夹角是
，
，点
的轨迹是线段，
的轨迹也是一条线段．
两点确定一条直线，取点
分别与
重合时，所对应两个点Q，
来确定点
的轨迹，得到如下标注信息后的图形：
求
的最小值，转化为点
到点
的轨迹线段的距离问题，
,
在
中，
,
,
，
将
逆时针绕点
转动
后得到
，
为等边三角形，
,
为
的中点，根据三线合一知，
,
过点
作
的垂线交于点
,
在
中，
对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值为
，
故选：A．
2．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形
中，
，
，点P 是
边上一
个动点，在
延长线上找一点Q，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接
交于点M．当点
P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：过点C 作
交
于点H，连接
，
∵
，四边形
是菱形，
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
垂直平分
，
∵
，
∴
，
∵点P 和点Q 关于点C 对称，
∴
，即
垂直平分
，
∵
交于点M．
∴
∴点M 在
上运动，
当点P 与点B 重合时，点M 位于点
，
此时，∵
，四边形
是菱形，
，
∴
，
∴
．
故点M 的运动路径长为
．
故选：B．
二、填空题
3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，
是边长为
的等边三角形，点
为高
上的动点．
连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是
．
【答案】
/
【详解】解：∵
为高
上的动点．
∴
∵将
绕点
顺时针旋转
得到
．
是边长为
的等边三角形，
∴
∴
∴
，
∴
点在射线
上运动，
如图所示，
作点
关于
的对称点
，连接
，设
交
于点
，则
在
中，
，则
，
则当
三点共线时，
取得最小值，即
∵
，
，
∴
∴
在
中，
,
∴
周长的最小值为
，
故答案为：
．
4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC＝2AB，点P 为边AD 上的一个动点，
线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC 上时，∠PP'C 的
度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C 的度数为
【答案】 120°/120 度 75°/75 度
【详解】
解：如图，以AB 为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP 和△EBP′中
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1 中，设EP′交BC 于点O，
当点P′落在BC 上时，点P′与O 重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝
OB，OP′＝
OC，
∴EP′＝EO＋OP′＝
OB＋
OC＝
BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
5．（2023·辽宁·中考真题）如图，线段
，点
是线段
上的动点，将线段
绕点
顺时针
旋转
得到线段
，连接
，在
的上方作
，使
，点
为
的中点，连接
，当
最小时，
的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接
，
交于点P，如图，
∵
，点
为
的中点，
∴
，
∵
，
∴
,
∴
是等边三角形，
∴
；
∵线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，
∴
，
∵
，
∴
垂直平分
，
，
∴点F 在射线
上运动，
∴当
时，
最小，
此时
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴由勾股定理得
，
∴
，
∴
；
故答案为：
．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在
中，
，
，
．点P 在边
上，过点P 作
，垂足为D，过点D 作
，垂足为F．连接
，取
的中点
E．在点P 从点A 到点C 的运动过程中，点E 所经过的路径长为 ．
【答案】
/
【详解】解：以
为原点，建立如图所示的坐标系，设
，则
，
则：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
过点
作
，则：
，
∴
，
∵
，
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
令
，
则：
，
∴点
在直线
上运动，
当点
与
重合时，
，此时
，
当点
与
重合时，
，此时
，
∴点E 所经过的路径长为
；
故答案为：
．
7．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形
中，
，点E 在边
上，且
，点
P 为边
上的动点，连接
，过点E 作
，交射线
于点F，则
．若点M 是
线段
的中点，则当点P 从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为 ．
【答案】
【详解】解：过
作
交
延长线于点
则四边形
为矩形，
∴
由题意可得：
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
过
作
交
于点
，交
于点
，如下图
∵
，
∴
在
和
中
∴
∴
，
故点
的运动轨迹是一条平行于
的线段，
当点
与
重合时，
当点
与
重合时，
，
∴
∵
∴
∴
，即
解得
∵
、
分别为
、
的中点
∴
是
的中位线
∴
，即点
运动的路径长为
故答案为：
，
三、解答题
8．（2021·湖北十堰·中考真题）已知等边三角形
，过A 点作
的垂线l，点P 为l 上一动点
（不与点A 重合），连接
，把线段
绕点C 逆时针方向旋转
得到
，连
．
（1）如图1，直接写出线段
与
的数量关系；
（2）如图2，当点P、B 在
同侧且
时，求证：直线
垂直平分线段
；
（3）如图3，若等边三角形
的边长为4，点P、B 分别位于直线
异侧，且
的面积等
于
，求线段
的长度．
【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）
或
或
【详解】（1）证明：∵线段
绕点C 逆时针方向旋转
得到
，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形
中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴
，
∴
=
；
（2）∵
，CA⊥l，
∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形
中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD 平分∠CBQ，
∴直线
垂直平分线段
；
（3）①当点Q 在直线上方时，如图所示，
延长BQ 交l 与点E，过点Q 作
与点F，
由题意得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
在
中，
，
，
即
，
解得
或
，
即AP 的长度为
或
；
②当点Q 在直线l 下方时，
过点B 作BE⊥l，过点Q 作QF⊥l，
由（1）小题，可知：
，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=
，
∴BM=BE÷sin60°=2÷
=
，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-
，QF= MQ×sin60°=( x-
)×
，
∵
的面积等于
，
∴
AP×QF=
，即：
x×( x-
)×
=
，解得：
或
（不合题意，
舍去），
∴AP=
．
综上所述，AP 的长为：
或
或
．
9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点
依次在直线上，点
固定不动，且
，分别以
为边在直线同侧作正方形
、正方形
，
，直角边
恒过点
，直角边
恒过点
．
(1)如图，若
，
，求点
与点
之间的距离；
(2)如图，若
，当点
在点
之间运动时，求
的最大值；
(3)如图
，若
，当点
在点
之间运动时，点
随之运动，连接
，点
是
的中
点，连接
，则
的最小值为_______．
【答案】(1)
或
；
(2)
；
(3)
．
【详解】（1）解：设
，则
，
∵四边形
、
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
,
∴
，
∴
，即
，则
，
解得：
或
，
∴
或
；
（2）设
，则
，
∵四边形
、
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
当
时，
有最大，最大值为
；
（3）连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
即点
在对角线
所在直线上运动，
如图，作
关于
的对称点
，连接
，过
作
于点
，
∴
，四边形
为矩形，
则点
三点共线，
，
∴
，
∴
，
∵
，点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴当
三点共线时，
有最小值
，
∴在
中，由勾股定理得：
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
