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专题 30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，
点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，再
证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，
半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ；
在 中， ，∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为3，故选A．
另解：取BO的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定 ，
故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30
度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ，
，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接
，则 长的最大值为 ．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 /
【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由
，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径
为1的 上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
，即 （定长），
点 是定点， 是定长， 点 在半径为1的 上，
， 的最大值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接
，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值
为 ．
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆
心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任
一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共
线时， 的值最小，可求 ，从而可求解．
【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形， ， ，
是 的中点， ， ，
由旋转得： ， ，
， 的值最小为 ．故答案： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性
质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿
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运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
的运动过程中，线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据折叠的性质得出 在 为圆心， 为半径的弧上运动，进而分类讨论当点 在 上时，当
点 在 上时，当 在 上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形 中， ，
∴ ， ，
如图所示，当点 在 上时，∵ ∴ 在 为圆心， 为半径的弧上运动，
当 三点共线时， 最短，此时 ，
当点 在 上时，如图所示，此时
当 在 上时，如图所示，此时
综上所述， 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
，则线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ，
可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求
解即可．
【详解】解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，∴ ，，∴ ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动
轨迹是解题的关键．
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N的坐标分别为 ，以点C为圆
心、2为半径画 ，点P在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M为线段 的中点，连接 ，
则线段 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理， 的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与
中点，明确点 的运动轨迹是解题的关键．
如图，连接 ，由垂径定理可得， ，则 在以 为直径的 上运动，如图，连接 交
于 ，当 三点共线时，线段 的值最小，由勾股定理得， ，根据线段 的最小
值为 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点M为线段 的中点，∴由垂径定理可得， ，
∴ 在以 为直径的 上运动，如图，连接 交 于 ，
∴当 三点共线时，线段 的值最小，∴ 的半径为 ，
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由勾股定理得， ，
∴线段 的最小值为 ，故答案为：3．
例7．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一点，
且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点O为圆心，
为半径作 ，点P为矩形 内一点，且 ，所以点P在 的劣弧 上运动，根据
点 绕点 逆时针旋转 到点 ，所以 ， ，则 ，所以当
最小时， 最小，然后连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小，最后过点O作 于
E， 交 延长线于F，利用勾股定理求出 ， 的长，从而求得 ，即可求解．
【详解】解：在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点O为圆心，
为半径作 ，如图，
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点P为矩形 内一点，且 ，∴点P在 的劣弧 上运动，
∵点 绕点 逆时针旋转 到点 ，∴ ， ，
∴ ∴当 最小时， ，连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小，
在 中，∵ ， ，∴ ，∴ ，
过点O作 于E， 交 延长线于F，∴ ，
∵ ， ，∴
∵矩形 ∴ ∴ ∴四边形 正方形，
∴ ，∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出
取最小值的点P位置是解题的关键．
例8．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：
（1）如图①，在 中， ， ， ，则 的长为__________；
问题探究：（2）如图②，已知矩形 ， ， ，点P是矩形 内一点，且满足
，连接 ，求线段 的最小值；
问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地 ，其中 ，
， ，点E为 边上一点，且 ， ，为了美化环境，要求四边
形 的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值．
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【答案】（1）4；（2） ；（3）
【分析】（1）作 于点H，利用等腰三角形的性质可得 ， ，然后利用锐角三角
函数的知识可求得 的长；（2）由题意可知，点P在以 为直径，以 的中点O为圆心的圆上运动，
当O，P，C共线时，线段 的值最小，利用勾股定理求出 的长即可求解；（3）延长 、 ，相
交于点F．由 ，求出 ，作 交 于点G，作 于点N，交 于点
M，可得 ，设 ，求出 ，所以当 的面积最大时，绿
化区域 的面积最大，求出 的面积即可求解．
【详解】（1）如图1，作 于点H．
∵ ， ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．故答案为：4；
（2）如图2，∵ ，∴点P在以 为直径，以 的中点O为圆心的圆上运动，当O，P，C共
线时，线段 的值最小．∵ ，∴ ，∴ ，
∴段 的值最小值 ；
（3）如图3，延长 、 ，相交于点F．
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∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
作 交 于点G，作 于点N，交 于点M，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，设 ，
则 ， ，∴ ，
∴当 的面积最大时，绿化区域 的面积最大．
当E在 的中点时， 的面积最大．
连接 ， 交 于点H，则 ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性
质，勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题．
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
课后专项训练
1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角 ，
连 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，以 为斜边，在 右侧作等腰直角 ，过点O作 交 延长线于E，
连接 ，则 ， ，先证明点B在以O为圆心， 为半径的圆周
上运动（ 右侧），故当点O在线段 上时， 最大，再求出 的长，进而利用勾股定理求出
的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以 为斜边，在 右侧作等腰直角 ，过点O作 交 延长线于
E，连接 ，∴ ， ，
∵ ，∴点B在以O为圆心， 为半径的圆周上运动（ 右侧），
∴当点O在线段 上时， 最大，∵ 是以 为边的等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最大值 ，故选D．
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【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与
判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键．
2．（2023春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 面积的最
大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作 的外接圆 ，连接 ，当 的 边上的高经过点O时， 面积的最大，
此时 是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：作 的外接圆 ，连接 ，当 的 边上的高经过点O时， 面积的
最大，如图，过点O作 ，并延长 交 于点 ，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，故选A．
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【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出 面积的最大时点A
的位置时关键.
3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知
是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，证明 得到 ，分析
出点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，在求出点D到线段 的最大距离，即可求出面
积的最大值．
【详解】解：如图，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，
∵ ，∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，要使 的面积最大，则求出点D到线段
的最大距离，∵ 是边长为4的等边三角形，∴点M到 的距离为 ，
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∴点D到 的最大距离为 ，∴ 的面积最大值是 ，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，
再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足
DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角 AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则
BH的最小值为（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明 ，从而 ，再根据 ，可求 ，可知点
H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，
则 ，在 和 中，
，∴ （SAS），∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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是直角三角形，∴ ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于 ，过点M作 于点P，
∵ ， ，
∴ ，∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，∴AP=MP= =1，∴BP=4-1=3，
在 中， ，∴ ．
∴BH的最小值为 ．故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边
上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接 ，得到
，进而得到点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当 ， ， 三点共线时，线段 的
长度最小，求出此时 的长度即可．解题的关键是确定点 的运动轨迹．
【详解】解：连接 ， 点 和 关于 对称， ，
在以 圆心， 为半径的圆上， 当 ， ， 三点共线时， 最短，
， ， ，故答案为： ．
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6．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是 内的一点，且 ， 是等
边三角形，若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ．说明 ， ，
， 四点共圆，求出 ，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴点 在 的外接圆上，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ 的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，P为 的中点，连
接 ．在矩形 外部找一点E，使得 ，则线段 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】以 的中点O为圆心， 为半径画圆，可得所画圆是 的外接圆，弦 右侧圆弧上任
意一点E与 构成的 ，使得四边形 是圆内接四边形，，可得 ，连接
并延长与圆的交点即为 的最长距离，作 于点H， 是 的中位线，，根据勾股定
理求出 和 的值，进而可得 的最大值．
【详解】解：如图，以 的中点O为圆心， 为半径画圆，
在矩形 中， ， ，，
∵ ，∴所画圆是 的外接圆，
弦 右侧圆弧上任意一点E与 构成的 ，使得四边形 是圆内接四边形，
∴ ，连接 并延长与圆的交点即为 的最长距离，
作 于点H，∴H是 的中点， 是 的中位线，
为 的中点， ， ，
， ， ，
， ．故答案为：
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【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题
的关键是综合利用以上知识找到点E．
8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在BC上，且 ，点M
为矩形内一动点，使得 ，连接AM，则线段AM的最小值为______．
【答案】 ##
【分析】作 的外接圆 ，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的 ，连接OA、
OE、OC，OA交 于 ，分析得到当M与 重合时，AM取得最小值．分别过点O作 于点
H，过点O作 于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵ ， ∴ ，
如图，作 的外接圆 ，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的 ，连接OA、OE、
OC，OA交 于 ，
当M与 重合时，AM取得最小值．过点O作 于点H，
∵ ∴ ，∴ ， ，
过点O作 于点G，∴ ， ，AG=6-2=4，
∴ ，则 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹．
9．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作
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平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G
为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°= ，
∴AG=2AH= ，∴AF=AG-FG= 故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特
殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， ，
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，点 为 所在平面内一点， ，以 、 为边作平行四边形 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】延长 交 于点 ，根据平行四边形的性质可得 ，可得 ，可以
证明 ，可得 ，点 的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点 所在圆的圆心为 ，
连接 ， ， ， 与 交于点 ，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得， 即为
的最小值，利用勾股定理可得 的值，进而可得 的最小值．
【详解】如图，延长 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴点 的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点 所在圆的圆心为 ，连接 ， ， ， 与 交于
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点 ，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得： 即为 的最小值，如图，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
在 中，有勾股定理得： ，
∴ ，即 的最小值为： ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短
路径问题、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识．
11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点 是正方形 的内部一个动点（含边界），且
，点 在 上， ，则以下结论：① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；③
；④ 的最小值为 ；正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】由题意可得点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
则当点 在 上时， 有最小值为 ，当点 在 上时， 有最小值为 ，故①②正确；由“
”可证 ≌ ，可得 ，则当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，最小
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值为 的长，由勾股定理可求 的长，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ， ， ，如图所示：
四边形 是正方形， ， ， ，
， ， ， ，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
当点 在 上时， 有最小值为 ，当点 在 上时， 有最小值为 ，故①②正确；
在 和 中， ， ≌ ， ，
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
， 故DE 的最小值为 ，故④正确；
当点 在 上时， 有最小值为 ，此时 ， 与 不一定相等，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点
距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（2021·广东·中考真题）在 中， ．点D为平面上一个动点，
，则线段 长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知 ， ，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角
的一半可知，点 在以 为圆心 为半径的圆上，线段 长度的最小值为 ．
【详解】如图： 以 为半径作圆，过圆心 作 ，
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以 为圆心 为半径作圆，则点 在圆 上，
,
线段 长度的最小值为: ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图
形是解题的关键．
13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中
点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
【答案】
【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在
以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性
质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长．
【详解】解：如图1，连接AG，
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∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点，∴BF= AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，
如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG，
∴OD=OG=2，∴OC= ，∴CG的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助
线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键．
14．（2023秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形 中， ，点 是以 为直径的
圆上的点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最大值与
最小值的和 ．
【答案】
【分析】连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，根据旋转的性质得
出 ，进而可得点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，则线段 的最大值与最小值的和
为 ，进而勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，
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∵线段 绕点 逆时针旋转 ， 绕点 逆时针旋转 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ∴ ∴ 则点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴线段 的最大值与最小值的和为
在 中， ∴ ，
如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，∴ ，
在 与 中， ，∴
∴ ， ，在 中， ，
∴线段 的最大值与最小值的和为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转
的性质是解题的关键．
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形 中， ，Q是矩形 左侧一点，连
接 、 ，且 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】延长 至F，使 ，连接 ，点O为 的中点，以点O为圆心， 为直径作圆，连
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接 ， 延长线交 于点 ，交 于点G，连接 ；由 且点Q在矩形的左侧知，点
Q是在 上运动，由题意及辅助线作法知， 为 的中位线，则 ，当F、O、Q三
点共线时， 最长，最大值为 的长度；利用相似三角形的性质可求得 的长，从而求得
，最后求出 的长，从而可求得 的最大值．
【详解】如图，延长 至F，使 ，连接 ，点O为 的中点，以点O为圆心， 为直径作
圆，连接 ， 延长线交 于点 ，交 于点G，连接 ，
∵ ，∴点Q是在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∵Q是矩形 左侧一点，∴点Q是在 上运动，
∵ ，∴点C为 的中点，
∵点E为 的中点，∴ 为 的中位线，∴ ，
∵ ，∴当F、O、Q三点共线时， 最长，此时 的最大值为 的长度，
∵ ，∴ ，∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，设 ，则 ，∴ ，解得： ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：3．
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【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知
识，确定出点Q的运动路径、求 的最大值转化为求 的最大值是解题的关键与难点．
16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角 中， ， ，点 是平面内一点，
，连接 ，将 绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 填度数 度时，
可以取最大值，最大值等于 ．
【答案】
【分析】连接 、 ．先证明 ，则 ， ，点 在以点 为圆心，
长为半径的圆周上运动，当 、 、 在同一直线上上 最长，据此解答即可．
【详解】解：如图一，连接 、 ．
是等腰直角三角形， ， ，
将 绕 点逆时针旋转 得到 ， ， ， ，
， ， ．
，
如图二，
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点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动，
当 、 、 在同一直线上 最长， ，故答案为： ；
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的
最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图， 是腰长为4的等腰直角三角形， ，以A为
圆心，2为半径作半圆A，交 所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接 ，把 绕点B
顺时针旋转90°到 的位置，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当 与半圆A相切时，求弧 的长；(3)直接写出 面积的最大值．
【答案】(1)见解析(2) (3)4
【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明 ，得到 ，证
明即可．（2）根据切线的性质，三角函数，求得 ，代入弧长公式计算即可．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当 时， 的高取得最大值，
此时 也取得最大值．
【详解】（1）∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ．
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由旋转可得 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）∵ 与半圆A相切，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，
过点D作 于点Q，∴ ，
当 时， 的高 取得最大值，此时 也取得最大值．∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊
角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键．
18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点
向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，
点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．
(1)如图，点 点 在线段 的延长线上，若点 点 为点 的“对应点”．
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①在图中画出点 ；②连接 交线段 于点 求证：
(2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为 外一点，点
为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的最大值与最小值的差（用含 的式
子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和 求出点 的坐标，再根据点 关于点 的对称点为 求出点Q的坐
标；②延长ON至点 ，连接AQ，利用AAS证明 ，得到 ，再计算出
OA，OM，ON，即可求出 ；（2）连接PO并延长至S，使 ，延长SQ
至T，使 ，结合对称的性质得出NM为 的中位线，推出 ，得出
，则 ．
(1)解：①点Q如下图所示．
∵点 ，∴点 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点 ，∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ，∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
∴点 ，在坐标系内找出该点即可；
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②证明：如图延长ON至点 ，连接AQ，
∵ ，∴ ，在 与 中，
，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使 ，延长SQ至T，使 ，
∵ ，点 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长
度，得到点 ，∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ，∴ ，又∵ ，∴OM∥ST，
∴NM为 的中位线，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，结合题意， ， ，
∴ ，即 长的最大值与最小值的差为 ．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值
问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点 的轨迹是解题的关键．
19．（2023下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P是线段 上一动点（点
P不与A，C重合），连接 ，过点A作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点A逆时针旋转
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得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若 的
边长为2；
①求 的最小值；②求 的最大值．
【答案】(1)见解析(2)① ，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，根据等边三角形的性质可得 ，
，进而得出 ，即可求证 ，即可求证；（2）①根据题意可得
，则点D在以 为直径的圆上运动，连接 ，与 相交于点D，此时 最小，求解即可；
②过点C作 ，交 的延长线于点G，通过证明 得出点F是 中点，再根
据 ，得出点A，点F，点C，点E四点在以 为直径的圆上，即可求解，当 为直
径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
（2）解：①∵ ，∴ ，∴点D在以 为直径的圆上运动，
连接 ，与 相交于点D，此时 最小，
∵ 为等边三角形， 为 直径，∴ ，
根据勾股定理可得： ，∴ ．
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②如图，过点C作 ，交 的延长线于点G，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，由（1）可得 ，
∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，且 ，
∴ ，∴ ，即点F是 中点，
连接 ∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点A，点F，点C，点E四点在以 为直径的圆上
∴ 最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直
径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交
于点A和点 ，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足
，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且 ，点M在y轴正半轴，
，线段 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
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【答案】(1) ；(2) 或 ；(3)存在，18．
【分析】(1)将点 代入解析式计算即可．(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．(3) 作线
段 的垂直平分线 交x轴于点R，过点C作 轴，交 于点G，从而得到点Q在以 垂直平分
线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时， 取得最
大值．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）令 ，则 ，∴ ，令 ，则 ，∴ 或 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
如图1，当P点在x轴上方时，设 与x轴的交点为点G，∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ，
∴ ，∴ ，∴ ，设直线 的解析式为 ，
，∴ ，∴ ，联立方程组 ，
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∴ （舍）或 ，∴ ；
如图2，当P点在x轴下方时，∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，解得 （舍去），∴ ；
综上所述：P点坐标为 或 ．
（3）线段 存在最大值，且为18．理由如下：
作线段 的垂直平分线 交x轴于点R，过点C作 轴，交 于点G，
则四边形 是矩形，∴ ，
∵ ， ∴ ，连接 ，则 ，
以G点为圆心，半径为5的作 ，点 ，
当点Q位于 上时，作直径 ，连接 ， ， ，则 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
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∴点G位于 的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q三点一线时， 取得最大值．
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定
系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．
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