专题11特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题 11 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ A A Q Q B P C B P N M C 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变， 若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的 坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合 适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形 中，点 是 上一动点，点 是 的中点， 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ．则 ______，若正方形 的边长为2，则 点 在射线 上运动时， 的最小值是______． 例2．（2023·四川内江·校考一模）如图，矩形 中，已知 ，点F是 上一 动点，点P是 的中点，连接 ，则 的最小值为________． 例3．（2023·绵阳市·八年级期中）如图，菱形ABCD中，AB12，ABC 60，点E在AB边上，且 BE2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF，连接AF ，则线段 AF 长的最小值为__ ．例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 例5．（2023·江苏宿迁·校考期中）如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为_____． 例6．（2023春·江苏·八年级校考期中） ， ， ，E为 上一动点，连接 ， 以 为邻边作 ， 的最小值为_________． 例7．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点 H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF 的最大值与最小值的差为__________．例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图在菱形 中， 为对角线 与 的交点，点 为边 上的任一点（不与 、 重合），过点 分别作 ， ， 、 为垂足，则可以判断 四边形 的形状为___________．若菱形的边长为 ， ，则 的最小值为___________． （用含 的式子表示）课后专项训练 1．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D 是斜边 上的一个动点，过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，点O为 的 中点，则线段 的最小值为（ ） A． B．5 C． D． 2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ） A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 3．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形 中， ， ，M为线段 上一动点， 于点P， 于点Q，则 的最小值是（ ） A． B．3 C． D．4．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 上一动点，连接 ， 点 分别是 的中点，连接 ，则 的最小值是_________． 5．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形 中， ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点E顺时针旋转 到 的位置，连接 ，则 的最小值为 6．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 直线 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ． 7．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图， ， ，点 是射线 上的任意一 点，连接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连 ，则线段 的最小值为 ．8．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形 的边长为 是边 的中点，点 是 正方形内一动点，且 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， 则线段 的长的最小值为 ． 9．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E 顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 10．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上运动（含 B，C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小 值为_____． 11．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E 顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________．12．（2023·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形 中， ， ，点 在 边上，且 ，动点 在 边上，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转60°至线段 ，连接 ， 则线段 长的最小值为 . 13．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段 的长为12，点 在 上（不与端点重合），以 为边向上作等边 ，过 作与 垂直的射线 ，点 是 上一动点（不与点 重合），以 、 为边作矩形 ，对角线 与 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 ． 14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形 的边长是8，点E是 边的中点，连接 ，点 F是线段 上不与点D，E重合的一个动点，连接 ，点G是线段 的中点，则线段 的最小值为 ． 15．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形 中， ， ，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接 ，在移动的过程中， 的最小值 为 ． 16．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形 中， 为 上一点，且 为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ， 问 是否有最小值？如果有，求出 的最小值． 17．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转（ ）， ， ，连接 ， ． (1)如图 ，求证： ≌ ；(2)直线 与 相交于点 ． 如图 ， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形；如图 ，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度的最小值．