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专题 09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动
点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，
即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一
类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动
时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
Q M
Q
P
A P O
A O
模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。Q Q
M
P
α α P
A O A α O
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1.（2024·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径
为 的 上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）A．8 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得 ，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB
过圆心A时，PB最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，∴BD=CD=12，
∵E是PC的中点，∴ ，∴当BP最大时，DE最大，
∵P是半径为 的 上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线，
∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值为13+3=16，∴DE的最大值为8．故选：A
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB
取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图， 为 的直径，C为 上一点，其中 ，
，D为 上的动点，连接 ，取 中点M，连接 ，则线段 的最大值为 ．【答案】
【分析】连接 ，首先证明点 的运动轨迹为以 为直径的 ，连接 ，当点 在 的延长线
上时， 的值最大，利用勾股定理求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点 是 的中点， ，∴ ，∴ ，
∴点 的运动轨迹为以 为直径的 ，连接 ，当点 在 的延长线上时， 的值最大，
在 中，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最大值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找
点 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例3.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 上任意一点，点 在 外，已知 ，
是等边三角形，则 的面积的最大值为【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点 的位置变换是解题的关键．
如图所示，以 为边作等边 ，连接 ，可证 ，可得 ，点 在
以点 为圆心的圆上，且半径 ，过点 作 于点 ，即 是 的垂直平分线，当点 在
上其在点 的上方时， 的面积的最大值，根据等边三角形，含 角的直角三角形的性质可求
出 ， 的值，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，以 为边作等边 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，且 ， ，∴ ，∴ ，
∴点 在以点 为圆心的圆上，且半径 ，过点 作 于点 ，即 是 的垂直平分线，
当点 在 上其在点 的上方时， 的面积的最大值，
∴在 中， ， ， ，∴ ，∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B
是 上一点， 的半径为2，将 绕O点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值
为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】把 绕O点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
以点 为圆心作 ，使 的半径为2， 点B是 上一点，则点 是 上一点，当点 三点
共线，即点 在 上时， 最小．
【详解】解：如图，把 绕O点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，以点 为圆心作 ，使 的半径为2，
， ，
， ， ， ，
过 作 于点 ， ，在 中， ，
点B是 上一点，则点 是 上一点， ，
当点 三点共线，即点 在 上时， 最小，
，故线段 的最小值为 ．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出
正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
例5．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为
上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的
最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，DE由 ，推出
，因为 ，可得 ，推出点 的运动轨迹是以 为圆心1为半径的圆，再
利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，DE．
∵ ， ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵四边形 是矩形，∴ ，∴
，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴点 的运动轨迹是以 为圆心1为半径的圆，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．故选：A．
【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本
题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．
例6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上，
， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使
，连接 ，则 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作 ，使得 ，
，则 ， ， ，由 ，推出 ，即
（定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径为1的 上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ，， ， ， ， ，
，即 （定长）， 点 是定点， 是定长， 点 在半径为1的 上，
， 的最大值为 ，故选：C．
例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上
有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大
值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的
确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取 的中点 ，连接 ， ，证明 在以 为圆心，
为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时， 最大， ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ，即 的最大值为 ．故选A
例8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，N是线段 上一点．
对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（ ）或向左（ ）平移 个单位长度，再向上（
）或向下（ ）平移 个单位长度，得到点 ，点 关于点N的对称点为Q，我们称点 是点P
的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系 中，已知 的半径为2．
(1)若点 ，点N是 的中点，点 ，则点P的“平移点” 的坐标是_____，点P的“移对
点”Q的坐标是______；(2)如图，点 ，点N是OM的中点，点 ．在图中用直尺与圆规作出
点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若点 是 上一点，N是线段OM上一点，且 ，P是 外一点，点Q为点P的“移对
点”，连接PQ．当点M在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的差．
【答案】(1) ， (2)作图见解析， (3)PQ长的最大值与最小值的差是
【分析】（1）根据题中所给的“平移点”和 “移对点”的定义即可解答；（2）先画出点 ，以点N为圆心， 长为半径画弧，交于x轴交于点Q，点Q即为所求，先求出点 的坐标，根据中心对称的定义
即可求出点Q的坐标；（3）连接并延长 ，过点Q作 的平行线，交 的延长线于点A
和点B，先根据中位线定理得出 ，再根据平行四边形的性质得出 ，最后
根据三角形三边之间的关系，即可得将最大值和最小值表示出来．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴点P的“平移点” 的坐标是 ，即： ，
∵点N是 的中点，∴ ，点 关于点N的对称点坐标为： ，
∴P的“移对点”Q的坐标是： 故答案为： ， ．
（2）作图如下．
连接PQ．∵ ， ，∴点P的“平移点” 的坐标是 ，即： ，∴ ，
过点N作 于H，则四边形 是矩形．∴ ， ，
∵ ， ，∴ 且 ．∴ ．
∴点Q在x轴上且 ．∴ ．∴ ．
（3）∵ 的半径为2，∴ ，∵ ，∴ ，
∵点 ，设点P的坐标为 ，∴∴ ， ，
∴ ，同理可得： ，∴四边形 为平行四边形，
连接并延长 ，过点Q作 的平行线，交 的延长线于点A和点B，
∵ ， ，∴ ，∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 长的最大值与最小值的差为： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，解题的关键是正确理解题意，明白“平移点”和“移对点”的定
义，根据题意做出辅助线，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的性质，中心对称的性质．
1．（2024·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知
是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ）A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，证明 得到 ，分析
出点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，在求出点D到线段 的最大距离，即可求出面
积的最大值．
【详解】解：如图，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，
∵ ，∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，要使 的面积最大，则求出点D到线段
的最大距离，∵ 是边长为4的等边三角形，∴点M到 的距离为 ，
∴点D到 的最大距离为 ，∴ 的面积最大值是 ，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，
再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形 中， ，E是 的中点．以点C为圆
心， 长为半径画圆，点P是 上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，连
接 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理，取点 关于直线 的对称点
，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过 作 于 ，根据勾股定理求出 ，
再结合四点共线时最小即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ，
，过 作 于 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上运动，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 当 、 、 、 四点共线时， 的值最小， 的最小值为 ，∴ 的最小值为 ，
故选：B．
3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中， 为原点， ， 的半径为1， 是 上一
动点，以 为边作等边 ，且点 在第一象限，设 的坐标为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的切线的性质和判定、等边三角形的性质、三角函数，作 轴于 ，得出
，根据 得出 与 轴相切，设切点为 ，当点 与点 重合时，
的值最小，结合等边三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 轴于 ，
， 的坐标为 ，且点 在第一象限，
，
， 的半径为1，
与 轴相切，设切点为 ，
当点 与点 重合时， 的值最小，
是等边三角形，
，
，
的坐标为 ，，
故选：A．
4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， ，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在 上，
连接 作等腰直角三角形，使 ， ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】如图，以 为边向下作等腰直角三角形 ，且 ，连接 ，证明 ，
可得 ，可得 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，结合 的面积最大，可得 到
的距离最大，从而可得答案．
【详解】解：如图，以 为边向下作等腰直角三角形 ，且 ， ，连接 ，
∴ ， ，同理： ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，而 ，∴ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ 的面积最大，∴ 到 的距离最大，∴当 即 ， ， 共线时最大，
最大值为： ，∴ 的面积最大面积为 ．故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的确定，
熟练的构建相似三角形得到D的运动轨迹是解本题的关键．
5．（2024·广东广州·二模）如图，已知 的半径长为 ， 为 直径，点 是 一动点， ，
连结 ，以 为斜边，在 上方构造直角三角形 且满足 ， ．
（1）若 是 的切线，求 ．
（2）求 的最大值为 ．
【答案】 或 /
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；
（1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；
（2）以 为斜边构造直角三角形 且满足 ， ，证明 ，得出
进而得出 ，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解．
【详解】解：如图所示，∵ 的半径长为 ， 为 直径， ，∴
又∵ 是 的切线，∴ ， ∴
∵ ， ．∴ ,
∵ ∴ ∴
在 中， ；
如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ∴
∵ ，∴ ， ∴
在 中， 故答案为： 或 ．
（2）如图所示，以 为斜边构造直角三角形 且满足 ， ， 则∵ ， ∴ ，∴ 即
又∵ ∴ ∴
∴ ∴ ，∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴ 的最大值为 故答案为： ．
6．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，AB是 的直径， 交 于点C，P为圆上一动点，
M为 的中点，连接 ，若 的半径为6，则 长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是 及三角形的中位线的性质；连接 ， ，取 中点 ，
连接 、 ， 是⊙ 的直径，可推出 ，根据中位线的性质可知
，则 在以 为直径的圆上，当 与 点重合时， 最大，根据 求
出 长代入即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，则 ，
∴
∴ ，取 中点 ，连接 ，
∴ 在以 为直径的圆上，
∴当 过 点重合时， 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形 中， ， ，点 在边 上且 ，
点 是矩形内一动点，满足 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 并延长至 ，使
，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取 中点O，在矩形内部过点O作 ，且 ，连接 ， ，
则 ，则 ，故点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动，可证明 ，
再证明 ，则 ，而在 中，由勾股定理得 ，因此 ，所以
，那么点F在以K为圆心， 为半径的圆弧上，由 ，得到当点 位于 延长
线上时， 最小，延长 交 于点 ，可得四边形 为矩形，则 ，，在 中，由勾股定理得 ，故 最小值为 ．
【详解】解：取 中点O，在矩形内部过点O作 ，且 ，连接 ，
，如图：
∵四边形 是矩形， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动，
由旋转得， ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ,
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在以K为圆心， 为半径的圆弧上，
∵ ，
∴ ，
∴当点 位于 延长线上时， 最小，延长 交 于点 ，如图：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ 最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的定义，直角三角形的
性质，三角形的三边关系等知识点，难度较大，需要确定动点的轨迹是解题的关键．
8．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一
点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的 上，在y轴负半轴取点D，使 ，连接 ，
则 是 的中位线，进而可得当 最大时，即 最大，而D，B，C三点共线时，当C在 的延
长线上时， 最大，此时 取得最大值，计算即可求出结果．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点， ，
∴C在 上，且半径为2，
在y轴负半轴取点D，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，∴ ，
当 最大时，即 最大，
而D，B，C三点共线时，当C在 的延长线上时， 最大，此时 取得最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标和图形以及三角形的中位线，定点定长构造辅助圆，解题关键是确定点C的运动
轨迹．
9．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在等边 和等边 中， ， ，以
为邻边作平行四边形 ，连接 ．若将 绕点C旋转一周，则线段 的最小值是
．
【答案】 /
【分析】过点F作 ，过点C作 ，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在
以G为圆心，以 长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】解：如图，过点F作 ，过点C作 ，二线交于点G，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴点F在以G为圆心，以 为半径的圆上，
∴当A、F、G三点共线时， 最小，
∵四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是菱形，
∴ 互相垂直平分，
设交点为H，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值是 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的性质，特殊
角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
10.（2024·盐城市校考一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B
点为圆心，2长为半径的圆交x轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作
1
Rt PAQ，使得tanAPQ ，连接DQ，则DQ的最小值为
2
△
【答案】2 101
【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB，
∵∠MAB=∠QAP=90°，∴∠MAQ=∠BAP，
AM AQ 1
∵ ，∴△MAQ∽△BAP，∴MQ=1 PB=1，∴Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上，
AB AP 2 2
由图象可得：DQ的最小值为：DM-MQ，AD=OD-OA=6+2-2=6，
由勾股定理可得：DM= AD2AM2 2 10，∴DQ的最小值等于：2 10−1.
11．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是以点
为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ， 则线段 的最大值是 ．【答案】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用
三角形中位线定理是本题的关键和难点．
连接 ，根据函数解析式，求 坐标，然后求出 ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，故
是 的中位线，当 、 、 三点共线，且点 在 之间时， 最大，即可求解．
【详解】解：连接 ， ，
∵抛物线 与 轴交于 、 两点，令 即 ，解得 或 ，
， ，∵ ， ， ，
是线段 的中点， 是线段 的中点，故 是 的中位线， ，
最大，即 最大，即 、 、 三点共线，且点 在 之间时， 最大，
， ，故答案为： ．
12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为 ，点A坐标为 ，以点M为圆心， 为
半径作 ，与x轴的另一个交点为B，点C是 上的一个动点，连接 ， ，点D是 的中点，
连接 ，则线段 的最大值为 ．【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线、勾股定理、垂直定理，根据垂径定理及中点得 是 的中位线，
，当 是 的直径时，线段 取得最大值，在 中，根据勾股定理得 ，
进而可得 ，进而可求解，熟练掌握相关知识点，找准线段 的最大值的位置是解题的关
键．
【详解】解： ，点 坐标为 ， ，
点D是 的中点， ， 是 的中位线， ，
当 是 的直径时，线段 取得最大值，如图： 点M坐标为 ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
， ，故答案为： ．
13．（2023·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中， ， ，Q是矩形 左侧一点，连接、 ，且 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形中位线定理，延长 到点F，使 ，取
中点O，连接 并延长交 于点Q，取 中点G，连接 ，则 ， 半径为2，利用勾
股定理求得 ，可得 的最大值，根据中位线定理可得 的最大值．
【详解】解：延长 到点F，使 ，取 中点O，连接 并延长交 于点Q，取 中点
G，连接 ，则 ， 半径为2，
点E为 中点，点C为 中点， 为 中位线，
， ，
， ，
为圆上一动点， 此时 为最大值， 的最大值为 ．故答案为：6．
14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以D为圆心，2为半径的
，E为 上一动点，连接AE，以AE为直角边向下作 ，使∠EAF=90°， ，则
点C与点F的最小距离为 ．【答案】
【分析】如图，在AB上取AH=2，连结ED，FH，根据已知条件易证△AFH∽△AED，根据相似三角形的
性质求得FH=1；即可得点F在以点H为圆心，半径为1的圆上，所以当点F在线段HC上时，点F与点C
的距离最小，由此即可求得点F与点C的最小距离．
【详解】解：如图，在AB上取AH=2，连结ED，FH，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△AFH∽△AED，
∴ ，
∵DE=2，
∴FH=1，
∴点F在以H为圆心，以 为半径的圆上运动，
连结HC，
当点F在HC上时FC最短，在 BCH，∠CBH＝90°，
由勾股定理 ，
CF = ．
最短距离
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最短距离问题，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，圆，勾股定理，
证得点F在以点H为圆心，半径为1的圆上及当点F在线段HC上时，点F与点C的距离最小是解决问题
的关键．
15．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形 中， ， ，以点 为直角顶点作等腰直角
三角形 （ 为顺时针排列），连接 ，则 的长为 ， 的最大值为
．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三
角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点 的运动轨迹是解题的关键．
如图所示，连接 ，先证明 ， ，进而证明 得到
，则点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，故当 三等共线， 最大，
据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当 三等共线时， 最大，∴ 的最大值为 ；
故答案为： ， ．
16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一点，
且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点O为圆心，
为半径作 ，点P为矩形 内一点，且 ，所以点P在 的劣弧 上运动，根据
点 绕点 逆时针旋转 到点 ，所以 ， ，则 ，所以当
最小时， 最小，然后连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小，最后过点O作 于
E， 交 延长线于F，利用勾股定理求出 ， 的长，从而求得 ，即可求解．
【详解】解：在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点O为圆心，
为半径作 ，如图，∵点P为矩形 内一点，且 ，∴点P在 的劣弧 上运动，
∵点 绕点 逆时针旋转 到点 ，∴ ， ，
∴ ∴当 最小时， ，连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小，
在 中，∵ ， ，∴ ，∴ ，
过点O作 于E， 交 延长线于F，∴ ，
∵ ， ，∴
∵矩形 ∴ ∴ ∴四边形 正方形，
∴ ，∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出
取最小值的点P位置是解题的关键．
17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接
，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值
为 ．【答案】
【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆
心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任
一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共
线时， 的值最小，可求 ，从而可求解．
【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形， ， ，
是 的中点， ， ，
由旋转得： ， ，
， 的值最小为 ．故答案： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性
质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
18．（2024·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形 中， ，点 是以 为直径的圆上的点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最大值与最
小值的和 ．
【答案】
【分析】连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，根据旋转的性质得
出 ，进而可得点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，则线段 的最大值与最小值的和
为 ，进而勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 ， 绕点 逆时针旋转 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ∴ ∴ 则点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴线段 的最大值与最小值的和为
在 中， ∴ ，
如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，∴ ，
在 与 中， ，∴
∴ ， ，在 中， ，∴线段 的最大值与最小值的和为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转
的性质是解题的关键．
19．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点
向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，
点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．
(1)如图，点 点 在线段 的延长线上，若点 点 为点 的“对应点”．
①在图中画出点 ；②连接 交线段 于点 求证：
(2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为 外一点，点
为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的最大值与最小值的差（用含 的式
子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和 求出点 的坐标，再根据点 关于点 的对称点为 求出点Q的坐
标；②延长ON至点 ，连接AQ，利用AAS证明 ，得到 ，再计算出
OA，OM，ON，即可求出 ；（2）连接PO并延长至S，使 ，延长SQ至T，使 ，结合对称的性质得出NM为 的中位线，推出 ，得出
，则 ．
(1)解：①点Q如下图所示．
∵点 ，∴点 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点 ，∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ，∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
∴点 ，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点 ，连接AQ，
∵ ，∴ ，在 与 中，
，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使 ，延长SQ至T，使 ，
∵ ，点 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长
度，得到点 ，∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ，∴ ，又∵ ，∴OM∥ST，∴NM为 的中位线，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，结合题意， ， ，
∴ ，即 长的最大值与最小值的差为 ．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值
问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点 的轨迹是解题的关键．
20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形 中， ， ，点G是边 的中点，连接 ．
以点A为圆心、2为半径作 ，点E是 上的一个动点，连接 、 ．将线段 绕点E逆时针旋转
得到线段 ，连接 、 、 ．
知识回顾（1）如图1，当点E在直线 的左侧时，试证明 ，并求出 的长；
初步探索（2）直接写出 的最小值是 ，最大值是 ；
操作并思考（3）如图2，当点E落在边 上时，试猜想 和 有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求 的长．
【答案】（1）见解析， ；（2） ；（3） ，见解析；（4）
【分析】（1）证明 ， ，可得 ，再利用相似三角形的性质可得答
案；
（2）证明 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，记 与 的交点为 ， ，再进一步可得答案；
（3）过 作 于 ，证明 ，由 ，可得 ，再证明
，从而进一步可得结论；（4）连接 ， 证明 ，而 ，可得 ， ，可得 ；同理
可得： ， ， ，从而可得答案；
【详解】解：（1）∵矩形 中， ， ，点G是边 的中点，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）如图，∵ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，记 与 的交点为 ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ 的最小值为 ， 的最大值为 ；
（3）如图，过 作 于 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（4）如图，连接 ，∵ ， ， ，∴ ，而 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ；
如图，同理可得： ，∴ ， ，∴ ；
综上：当 时， ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，圆的基本性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
