专题10特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）解读与提分精练（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2025版

专题 10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .........................................................................................................................................1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹........................................................................................................1 .........................................................................................................................................8 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？A A Q Q B P C B P N M C 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变， 若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的 坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不 合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是 边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最 小值是________________．7 【答案】4+2 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'．  DEGE  DEF GEF 在△DEF和△GEF'中， ，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．   EF EF ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'． 观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 1 在Rt BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴CH  BC 2,BH 2 3,， 2 △ BH2EH2 1216 7 7 在Rt BEH中，BE＝ ＝ ＝2 ，∴BF'+EF'≥2 ， △ 7 7 ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2 ，故答案为：4+2 ． 例2．（2024九年级·山东·培优）如图， 为等边三角形，点 在直线 上运动，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．【答案】 【详解】解：过点A作 于点E，过点Q作 于点M，延长 ，取 ，连接 ，过 点C作 于点F，如图所示：则 ， ∵线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴点Q在过点D，且与 的夹角为 直线上， ∵垂线段最短，∴当点Q在点F处时， 最小，且最小值为 的长， ∵ 为等边三角形， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，∴ 最小值为 ．故答案为： ． 例3．（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知 ，点 在线段 上， 是底边长为6的等腰三角 形且 ，以 为边在 的右侧作矩形 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 线段 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于 ，交 于 ，过点D作 ，垂足为点H， 四边形 是矩形，点 是 的中点， 点 在对角线 ， 的交点， ， ， ， 点 的运动轨迹是直线 ，当 时， 的值最小， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ．故答案为： ． 例4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，边长 的等边 中，点 为 上一点，且，点 为 边上的一个动点，点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点 绕点 顺时针旋转 得到点 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点 在过点 平行于 的直线上运动， 当 时， 有最小值， 此时， ， ， ， ，故答案为： ． 例5．（2024·山东泰安·校考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝ ，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝ ，故选B． 2 3 例6．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为 ，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于 点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线 段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．【答案】3 【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°． ∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC， BC DC  BCEDCF 在△BEC和△DFC中， ，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，  EC FC 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． 2 3 3 ∵在Rt AHB中，∠BAH=60°，AB=2 3 ，∴BH= 2 =3， △ 当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3．1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边 上一 点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ， 则 的最小值是（ ）. A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取 的中点 ．连接 ， ， ，作 交 的延长线于 ， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是射线 ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， ， ，在 中， ， ， 的最小值为 ，故选： C． 2．（2024·河南开封·统考一模）如图，在正方形 中， ，对角线 上的有一动点E，以 为 边作正方形 ，点H是 上一点， ．连接 ，则 的最小值是________． 【答案】 【详解】解：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形， ∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG， 根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．此时CH＝ ∴ 故答案为： ． 3．（23-24九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射 线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．【答案】 ． 【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK． ∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE， ∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°， ∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°， ∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°， 设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET= a，在Rt AEK中，∵AK2＝AE2+EK2， △ ∴a2+（2a+ a）2＝4，∴a＝ ，∴EK＝2a+ a＝ ， ∴AF的最小值为 ．故答案为 ． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形 中， ，E是 中点，连接 ，点F是 上一动点，G为 中点，连接 ．（1） ；（2）若 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）连接 ， ∵菱形 ，∴ ，∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ， ∵E是 中点，∴ 平分 ，∴ ；故答案为： ； （2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， 则： ， ，∴ 三点共线，∴点 在线段 上运动，∴当 时， 最小， ∵菱形 ，∴ ， ， ，由（1）知： 为等边三角形， ∵E是 中点，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，同法可得： ， ，∴四边形 为矩形，∴ ，∴ ，∴ ；故答案为： ． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形 边长为4，点E是边 上一点，且 ， F为边 上一动点，点E绕点F逆时针旋转 至点G，则线段 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接 ，作 ，过点G作 于H，延长 ， 交 于点N，过点A作 ， ∵点E绕点F逆时针旋转 至点G，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴点G在平行于 且与 的距离为1的直线上运动，∴当点G在 上时， 有最小值， ∵ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ， ∴ 的最小值 ，故答案为： ．6．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同时 出发，以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动，当点 到达点 时，运动停止，过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ，连接 ，则 长的最小值为________． 【答案】4 【详解】解：∵动点 、 分别从点 、 同时出发，以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动， ∴AE=CF∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上， ∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合， ∴CP= 故答案为：4 7．（2024·湖北·八年级期中）如图，菱形ABCD中，AB12，ABC 60，点E在AB边上，且 BE2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF，连接AF ，则线段 AF 长的最小值为__． 4 3 【答案】 【详解】解：在BC上取一点G，使得BGBE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T ，过点A作 AH GF于H． ∵B60，BEBG，ΔBEG是等边三角形，EBEG，BEGBGE60，∵ PEPF，EPF 60，ΔEPF是等边三角形，PEF 60，EF EP，  BEGE  BEPGEF ， ，在 和 中， ， ， ∵BEGPEF BEPGEF ΔBEP GEF   PEPF ΔBEPΔGEFSAS EGF B60，BGF 120，点F 在射线GF 上运动， 根据垂线段最短可知，当点F 与H重合时，AF 的值最小， ∵ AB12，BE2AE，BE8，AE4，∵BEGEGF 60，∴GT//AB ∵BG//AT四边形ABGT 是平行四边形，AT BGBE8，ATH B60， 1 1 ∴ ； TH  AH ；在 中， ∴ 82( AH)2  AH2 TAH 30 2 RtATH AT2TH2  AH2 2 AH 4 3 ∴ AF 4 3 4 3 ， 的最小值为 ，故答案为： ． 8. （2024·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三 角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【解答】6 【解析】连接AM、CM，如图所示：∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º， ∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，在△ADM与△ACM中， ，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，即直线AM的位置是固定的，∴点D在直线BD上运动 ∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时 . 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形 中， ，点 为对角线 上的动点，以 为边作正方形 ，点H是 上一点， ，连接 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形 是正方形，四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴点G的轨迹是射线 ，根据垂线段最短可知，当 时， 有最小值， ∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形 中， ，点 ， 为直线 上的两个动点，且 ，将线段 关于 翻折得线段 ，连接 ．当线段 的长度最小时， 的度 数为 度． 【答案】75【详解】解：将线段 绕点B顺时针旋转 后点A落在点E，连接 ，设 交 于G点，如下图 所示：在矩形 中， ， ，根据折叠可知， ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴点 在 上， ∵垂线段最短，∴当 时， 有最小值，∴ 与 均为 、 、 直角三角形， 设 ， ，则 ， ， ， ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，∴ ， 故答案为： ． 11．（2024·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形 中， ， ，E，F两点分别从 A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接 ，在移动的过程中， 的最小值为 ．【答案】 / 【详解】解：连接 ，作 于 ，如图， 四边形 为菱形， ，而 ， 和 都是等边三角形， ， ， 在 中， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， 为等边三角形， ，而当 点运动到 点时， 的值最小，其最小值为 ， 的最小值为 ，故答案为： ． 12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段 的长为10，点D在线段 上运动，以 为边长 作等边 ．再以 为边长，在线段 上方作正方形 ，记正方形 的对角线交点为O． 连接 ，则线段 的最小值为 ． 【答案】5【详解】解：连接 、 ，则 、 交于点O，连接 并延长，过点B作 于点M，如 图所示：∵ 为等边三角形，∴ ， ， ∵四边形 为正方形，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴点O一定在射线 上， ∵垂线段最短，∴点O在点M处时，线段 取最小值， ∵ ， ，∴ ，∴线段 取最小值为5．故答案为：5． 13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形 的边长为 ， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等腰 ，其中 ， ，连接 ．当 时， ；当 从 运动至 过程中， 的最小值为 ． 【答案】 【详解】当 时，∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，则 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ， ∵ ，∴ ∴在 中， ； 将 绕点 顺时针旋转 ，使 与 重合，∴ ，∴ ， ，点 在垂直于 所在直线 上，过 作 于点 ， ∴当 与 重合时， 最小，如图，过 作 于点 ， ∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ， ∴ ，∴ ，在 中，由勾股定理得： ， ∴ 由题意得： ，∴ ，∴ ， 则 的最小值为 ，故答案为： ， ． 14．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边 上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上 运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值；作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE EC＝1 故答案为 ． 15．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形 中， 为 上一点，且 为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ， 问 是否有最小值？如果有，求出 的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J． ∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴点G的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 16．（2024·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为 的等边 中，点 为 上一点， ，过 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一动点，以 为边向右作等边 ． （ ）过点 作 于 ，证明： ．（ ）当点 从点 运动到点 时，求点 运动的路径 长．（2）如图 ，在长方形 中， ， ， ．E为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，作顶角 的等腰 ，连接 ，求 的最小值．（提示：等腰 直角三角形的三边长 ， ， 满足 ） 【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2） ． 【详解】（1）（i）证明： ∵ ， ，∴ ， ∵ 是边长为5等边三角形，∴ ， ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ； ②如图①乙，以 为一边向右作等边三角形 ，即 ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴连接 ，以 为一边向右作等边三角形 ，连接 ， 则 ， ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ，由（ ）得 ，∴ ， ∵ ，且 ，∴点 在线段 上运动，∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合；当点 与点 重合时，点 与点 重合，∴点 运动的路径长为 ． （2）如图②，将线段 绕点E顺时针旋转 到 ，作射线 ，连接 交 于点K， ∵作顶角 的等腰 ，∴ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∵四边形 是长方形，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴点G在以点L为端点且与 平行的射线上运动， ∴当 时，线段 最短，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ 的最小值是 ．