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专题07 其他几何常考最值问题
压轴真题强化.............................................................................................................................1
一、单选题..........................................................................................................................1
二、填空题..........................................................................................................................4
三、解答题..........................................................................................................................7
一、单选题
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，直线
与x 轴、y 轴分
别交于A、B 两点，C、D 是半径为1 的
上两动点，且
，P 为弦CD 的中点．当C、D 两
点在圆上运动时，
面积的最大值是（ ）
专题目录
压轴真题强化
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】D
【详解】解：∵直线
与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
的底边
为定值，
∴使得
底边上的高最大时，面积最大，
点P 为
的中点，当
的延长线恰好垂直
时，垂足为点E，此时
即为三角形的最大高，连
接
，
∵
，
的半径为1，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：D．
2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形
中，
，
，
，若线段
在边
上运动，且
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．10
【答案】B
【详解】解：过点C 作
，
∵
，
，
∴
，
过点B 作
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
需使
最小，显然要使得
和
越小越好，
∴显然点F 在线段
的之间，
设
，则
，
∴
，
∴当
时取得最小值为
．
故选：B．
二、填空题
3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在
中，
．P 为边
上一动点，
作
于点D，
于点E，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接
，
∵
，
∴
，
∵
于点D，
于点E，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
由垂线段最短可得
时，线段
的值最小，此时线段
的值最小，
此时，
，
代入数据：
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，
的圆心为
，半径为
，
是直线
上的一
个动点，过点
作
的切线，切点为
，则
的最小值为
【答案】
【详解】解：记直线
与x，y 轴分别交于点A，K，连接
，
当
，
，当
，即
，
解得：
，
即
；
而
，
∴
，
∴
均是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
与
相切，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
最小时即
最小，
∴当
时，取得最小值，
即点P 与点K 重合，此时
最小值为
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
∴
最小值为
．
5．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，
，
，
为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【详解】解：连接
，作
的平分线，交
于点O，作
于
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
平分
和
，
平分
，
点
到四边形
的各边的距离相等，
∴
是四边形
的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为
，
，
，
∴
为等腰直角三角形，
，
设
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
，
即
，
．
即
的半径为
，
∴圆形纸片的半径为
．
故答案为：
三、解答题
6．（2021·广西贺州·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
、
两点，且
，
对称轴为直线
．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线过点
且在第一象限与抛物线交于点
．当
时，求点
的坐标；
（3）点
在抛物线上与点
关于对称轴对称，点
是抛物线上一动点，令
，当
，
时，求
面积的最大值（可含
表示）．
【答案】（1）
；（2）点
的坐标是（6，7）；（3）当
时，
的最大面
积为
，当
时，
的最大面积为64
【详解】（1）∵抛物线过
，对称轴为
，
∴
，
解得
∴抛物线表达式为
．
（2）过点
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
设点
的横坐标为
，
则纵坐标为
，
∴
，
代入
，得：
．
解得
（舍去），
，
∴
∴点
的坐标是（6，7）．
（3）由（2）得
的坐标是（6，7）
∵对称轴
，
∴点
的坐标是（－2，7），
∴
，
∵
与
轴平行，点
在
轴下方，
设
以
为底边的高为
则
，
∴当
最大值时，
的面积最大，
∵
，
，
①当
时，
，
此时
在
上
随
的增大而减小．
∴
，
∴
，
∴
的最大面积为：
．
②当
时，此时
的对称轴
含于
内
∴
，
∴
，
∴
的最大面积为：
．
综上所述：当
时，
的最大面积为
，
当
时，
的最大面积为64.
7．（2021·广西柳州·中考真题）在平面直角坐标系
中，已知抛物线：
交x 轴于
两点，与y 轴交于点
．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接
，过点B 作
，垂足为E，若
，求点D 的坐标；
（3）如图2，点M 为第四象限抛物线上一动点，连接
，交
于点N，连接
，记
的
面积为
，
的面积为
，求
的最大值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】解：（1）依题意，设
，
代入
得：
，解得：
∴
；
（2）由
， 设
=x，则
，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB 中，OB=3，由勾股定理得：
，
即
，解得：
（舍），
∴
，
，
过点E 做
平行于
交y 轴于T，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，解得：
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
∵
的延长线交抛物线于点D，
∴
，解得：
（舍），
当
时，
，
∴
；
（3）如图所示，延长
于至点F，使
轴，过A 点作
于点H
作
轴交
于点T，过M 点作
于点D，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
设直线
的解析式为
，将B，C 两点代入得
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
8．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与坐标轴交于
两点，直线
交
轴于点
．点
为直线
下方抛物线上一动点，
过点
作
轴的垂线，垂足为
分别交直线
于点
．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）当
，连接
，求
的面积；
（3）①
是
轴上一点，当四边形
是矩形时，求点
的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点
，满足
，求
周长的最小值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）①
；②
【详解】解：（1）∵抛物线
过
两点，
，
解得，
，
．
（2）
．
同理，
．
又
轴，
轴，
∴在
和
中，
，即
，
．
当
时，
，
，即
．
，
．
（3）①如图，连接
，交
于点
．
∵四边形
是矩形，
．
又
，
∴
，
．
∵四边形
是矩形，
．
，
∵当x=0 时，
，
∴
，
，
，
，
．
②在
中，
，
．
∴要使
最小，就要
最小．
，
∴当点
在
上时，
为最小．
在
中，
．
周长的最小值是
．
9．（2021·贵州遵义·中考真题）点A 是半径为2
的⊙O 上一动点，点B 是⊙O 外一定点，OB＝
6．连接OA，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC 是等边三角形时，连接OC，求OC 的最大值；将下列解答过
程补充完整．
解：将线段OB 绕点B 顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA 和△O′BC 中，
∴
（SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C 中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C 三点共线，且点C 在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C 三点共线，且点C 在OO′的延长线上时，OC 取最大值，最大值是
．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD 是正方形时，连接OC，求OC 的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC 是以AB 为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC
的最小值，并直接写出此时△ABC 的周长．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）OC 的最小值为
或
，
△ABC 的周长为
【详解】解：（1）根据上下文题意可得：
∴
∴
（2）将线段OB 绕点B 顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′
由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，
为等腰直角三角形
∴
又∵四边形
为正方形
∴
∴
在△OBA 和△O′BC 中，
∴
（SAS）
∴
在△OO′C 中，
当O，O′，C 三点共线，且点C 在线段OO′上时，
即
（3）以
为顶点，构建等腰三角形
，将线段OB 绕点B 顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，
CO′，过点
作
于点
，如下图：
由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，
为等腰三角形
在
中，
，
，∴
∴
，
∴
由（2）可得
∴
在△OO′C 中，
当O，O′，C 三点共线，且点C 在线段OO′上时，
即
又∵
，
在线段
上
∴
∴
∴
的周长为
以
为顶点，构建等腰三角形
，将线段OA 绕点A 顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，
如下图：
由旋转的性质得：
，
，
为等腰三角形
∴
由（2）可得
∴
在
中，
∴当点
在线段
上时，
最小
∴点
与点
重合，
的周长为
