文档文本内容
专题04 阿氏圆模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、模型建立........................................................................................................................2
2、轨迹证明........................................................................................................................2
3、最值问题解读................................................................................................................3
4、区分胡不归模型和阿氏圆模型....................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................4
巩固练习.....................................................................................................................................4
压轴真题强化.............................................................................................................................6
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若
平面内有一动点P 满足PA:PB＝1，则P 点轨迹为一条直线（即线段AB 的垂直平分线），如果这个
比例不为1，P 点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便
已经回答了这个问题。本专题我们一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P 点的轨迹和阿氏圆相关的最值问
题。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、模型建立
如下图，已知A、B 两点，点P 满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
A
B
P
O
2、轨迹证明
首先了解角平分线定理和外角平分线定理：
1）角平分线定理
如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则
．证明：
，
，即
2）外角平分线定理
如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D，则
．
A
B
C
D
E
证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED 且AD 平
分∠BDE，则
，即
．
N
M
A
B
P
O
如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，
，故M 点
为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；
作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，
，故N 点为定点，即
∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
O
P
B
A
M
N
3、最值问题解读
如图1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB， 连接
PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。故本题求
“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、
P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小（如图3）。
4、区分胡不归模型和阿氏圆模型
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨
迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
(1)求直线
及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
1、如图1，在矩形
中，
，分别以
所在的直线为
轴、
轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，连接
,反比例函数
的图象经过线段
的中点
，并与矩形的两
边交于点
和点
，直线
经过点
和点
. （1）连接
、
，求
的面积；
（2）如图2，将线段
绕点
顺时针旋转—定角度，使得点
的对应点
好落在
轴的正半轴上，
真题演练
巩固练习
连接
，作
，点
为线段
上的一个动点，求
的最小值.
2、【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足
（
且
）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏
圆”．
【模型建立】如图1 所示，圆O 的半径为r，点A、B 都在圆O 外，P 为圆O 上一动点，已知
，连接PA、PB，则当“
”的值最小时，P 点的位置如何确定？
第1 步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB、OP；
第2 步：在OB 上取点C，使得
，即
，构造母子型相似
∽
（图2）；
第3 步：连接AC，与圆O 的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，
与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，
半径为3，点
，
点
，点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB．
(1)
的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P 的坐标．
一、单选题
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线
的图象交x 轴于点
、
，交y 轴于点C．以下结论：①
；②
；③当以点A、B、C 为顶点的
三角形是等腰三角形时，
；④当
时，在
内有一动点P，若
，则
的最小值为
．其中正确结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
压轴真题强化
2．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6 为
半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是 .
3．（2020·江苏常州·一模）如图，在
中，点A、点B 在
上，
，
，点C 在
OA 上，且
，点D 是
的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则
的最小值为 ．
三、解答题
4．（2020·湖北黄冈·二模）如图，一条抛物线与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，
为抛物线的顶点，点
在
轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若
，求点
的坐标；
（3）过点
作直线
交抛物线于
，是否存在以点
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）坐标平面内一点
到点
的距离为1 个单位，求
的最小值．
5．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数
的图象经过点
且与
轴交于原点及点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点
的坐标及直线
的表达式；
（3）判断
的形状，试说明理由；
（4）若点
为
上的动点，且
的半径为
，一动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿线段
匀速运动到点
，再以每秒1 个单位长度的速度沿线段
匀速运动到点
后停止运动，
求点
的运动时间的最小值．
