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与圆有关的压轴题（9 种题型）
目 录
题型01 利用圆的相关知识解决多结论问题
题型02 圆与三角形综合问题
题型03 圆与四边形综合问题
题型04 圆与函数综合问题
题型05 正多边形与圆综合
题型06 求不规则图形面积
题型07 三角形内切圆与外切圆综合
题型08 阿氏圆模型
题型09 隐圆模型
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题型01 利用圆的相关知识解决多结论问题
一、单选题
1．
（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙𝑂的直径𝐴𝐵= 10，𝐷𝐸是弦，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐶𝐸𝐵= 𝐸𝐵𝐷，sin∠𝐵𝐴𝐶=
3
5，𝐴𝐷的延长线与𝐶𝐵的延长线相交于点𝐹，𝐷𝐵的延长线与𝑂𝐸的延长线相交于点𝐺，连接𝐶𝐺．下列结论中正
确的个数是（ ）
①∠𝐷𝐵𝐹= 3∠𝐷𝐴𝐵；
②𝐶𝐺是⊙𝑂的切线；
③B，E 两点间的距离是10；
④𝐷𝐹= 11 10
9
．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE、DE，分别
交BD、AC 于点P、Q，过点P 作PF⊥AE 交CB 的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝10
2 AO，
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④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
3．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点O 是对角线𝐵𝐷的中点，点P 在线段𝑂𝐷上，
连接𝐴𝑃并延长交𝐶𝐷于点E，过点P 作𝑃𝐹⊥𝐴𝑃交𝐵𝐶于点F，连接𝐴𝐹、𝐸𝐹，𝐴𝐹交𝐵𝐷于G，现有以下结论：
①𝐴𝑃= 𝑃𝐹；②𝐷𝐸+ 𝐵𝐹= 𝐸𝐹；③𝑃𝐵― 𝑃𝐷=
2𝐵𝐹；④𝑆△𝐴𝐸𝐹为定值；⑤𝑆四边形𝑃𝐸𝐹𝐺= 𝑆△𝐴𝑃𝐺．以上结论
正确的有
（填入正确的序号即可）．
4．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且𝐵𝐸= 3，以
点A 为圆心，3 为半径的圆分别交AB、AD 于点F、G，DF 与AE 交于点H．并与⊙𝐴交于点K，连结
HG、CH．给出下列四个结论．（1）H 是FK 的中点；（2）△𝐻𝐺𝐷≌△𝐻𝐸𝐶；（3）𝑆△𝐴𝐻𝐺：𝑆△𝐷𝐻𝐶= 9 ∶16；
（4）𝐷𝐾=
7
5，其中正确的结论有
（填写所有正确结论的序号）．
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题型02 圆与三角形综合问题
5．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P 均在⊙𝑂上，∠𝐴𝑂𝐵= 90°，则锐角∠𝐴𝑃𝐵
的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙𝑂是等边三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆，点P 在𝐴𝐶上（点P 不与点
A、C 重合），连结𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶．求证：𝑃𝐵= 𝑃𝐴+ 𝑃𝐶．小明发现，延长𝑃𝐴至点E，使𝐴𝐸= 𝑃𝐶，连结𝐵𝐸，
通过证明△𝑃𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐴，可推得𝑃𝐵𝐸是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长𝑃𝐴至点E，使𝐴𝐸= 𝑃𝐶，连结𝐵𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑃是⊙𝑂的内接四边形，
∴∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃= 180°．
∵∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵𝐴𝐸= 180°，
∴∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐵𝐴𝐸．
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐶，
∴△𝑃𝐵𝐶≌△𝐸𝐵𝐴(SAS)
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点P 在⊙𝑂上，且点P 与点B 在𝐴𝐶
的两侧，连结𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶．若𝑃𝐵= 2 2𝑃𝐴，则
𝑃𝐵
𝑃𝐶的值为__________．
6．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用
直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，直线𝑙是⊙𝑂的切线，𝐵为切点．𝑃，𝑄是圆上
两点（不与点𝐴重合，且在直径𝐴𝐵的同侧），分别作射线𝐴𝑃，𝐴𝑄交直线𝑙于点𝐶，点𝐷．
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(1)如图1，当𝐴𝐵= 6，
⏜
𝐵𝑃的长为π时，求𝐵𝐶的长．
(2)如图2，当
𝐴𝑄
𝐴𝐵=
3
4，𝐵𝑃= 𝑃𝑄时，求
𝐵𝐶
𝐶𝐷的值．
(3)如图3，当sin∠𝐵𝐴𝑄=
6
4 ，𝐵𝐶= 𝐶𝐷时，连接BP，PQ，直接写出
𝑃𝑄
𝐵𝑃的值．
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，延长𝐵𝐶到点D．使得
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐷𝐴，点E 在𝐷𝐴的延长线上，点𝐴在线段𝐴𝐶上，𝐶𝐸交𝐵𝑀于N，𝐶𝐸交𝐴𝐵于G．
(1)求证：𝐸𝐷是⊙𝑂的切线；
(2)若𝐴𝐶=
6,𝐵𝐷= 5,𝐴𝐶> 𝐶𝐷，求𝐵𝐶的长；
(3)若𝐷𝐸⋅𝐴𝑀= 𝐴𝐶⋅𝐴𝐷，求证：𝐵𝑀⊥𝐶𝐸．
8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt △𝐴𝐵𝐶的直角边𝐴𝐵为直径作⊙𝑂，交斜边𝐴𝐶于点𝐷，点𝐸是
𝐵𝐶的中点，连接𝑂𝐸、𝐷𝐸．
(1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．
(2)若sin𝐶=
4
5,𝐷𝐸= 5，求𝐴𝐷的长．
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(3)求证：2𝐷𝐸2 = 𝐶𝐷⋅𝑂𝐸．
9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，𝐴𝐸为⊙𝑂的直径，点C 在⊙𝑂上，𝐴𝐵与⊙𝑂相切于点A，与𝑂𝐶
延长线交于点B，过点B 作𝐵𝐷⊥𝑂𝐵，交𝐴𝐶的延长线于点D．
(1)求证：𝐴𝐵= 𝐵𝐷；
(2)点F 为⊙𝑂上一点，连接𝐸𝐹，𝐵𝐹，𝐵𝐹与𝐴𝐸交于点G．若∠𝐸= 45°，𝐴𝐵= 5，tan∠𝐴𝐵𝐺=
3
7，求⊙𝑂的
半径及𝐴𝐷的长．
10．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂与𝐴𝐶交于点
D，点𝐸是𝐵𝐶的中点，连接𝐵𝐷，𝐷𝐸．
(1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)若𝐷𝐸= 2，tan∠𝐵𝐴𝐶=
1
2，求𝐴𝐷的长；
(3)在（2）的条件下，点P 是⊙𝑂上一动点，求𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最大值．
11．（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆𝑂,𝐴𝐵为直径，半圆𝑂上点𝐶处有个吊灯𝐸𝐹,
𝐸𝐹//𝐴𝐵, 𝐶𝑂⊥𝐴𝐵,𝐸𝐹的中点为𝐷,𝑂𝐴= 4.
(1)如图①，𝐶𝑀为一条拉线，𝑀在𝑂𝐵上，𝑂𝑀= 1.6,𝐷𝐹= 0.8,求𝐶𝐷的长度．
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(2)如图②，一个玻璃镜与圆𝑂相切，𝐻为切点，𝑀为𝑂𝐵上一点，𝑀𝐻为入射光线，𝑁𝐻为反射光线，
∠𝑂𝐻𝑀= ∠𝑂𝐻𝑁= 45°,tan∠𝐶𝑂𝐻=
3
4,求𝑂𝑁的长度．
(3)如图③，𝑀是线段𝑂𝐵上的动点，𝑀𝐻为入射光线，∠𝐻𝑂𝑀= 50°,𝐻𝑁为反射光线交圆𝑂于点𝑁,在𝑀从𝑂运动
到𝐵的过程中，求𝑁点的运动路径长．
题型03 圆与四边形综合问题
12．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边BC 上，⊙O 经过A，B，
P 三点．
（1）若BP＝3，判断边CD 所在直线与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E 是CD 的中点，⊙O 交射线AE 于点Q，当AP 平分∠EAB 时，求tan∠EAP 的值．
13．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的弦，D，C 为𝐴𝐶𝐵的三等分点，𝐴𝐶//𝐵𝐸．
（1）求证：∠𝐴= ∠𝐸；
（2）若𝐵𝐶= 3，𝐵𝐸= 5，求𝐶𝐸的长．
14．（2021·浙江宁波·统考中考真题）如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐵𝐷为直径，𝐴𝐷上存在点E，满足
𝐴𝐸= 𝐶𝐷，连接𝐵𝐸并延长交𝐶𝐷的延长线于点F，𝐵𝐸与𝐴𝐷交于点G．
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（1）若∠𝐷𝐵𝐶= 𝛼，请用含𝛼的代数式表列∠𝐴𝐺𝐵．
（2）如图2，连接𝐶𝐸,𝐶𝐸= 𝐵𝐺．求证；𝐸𝐹= 𝐷𝐺．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝐶𝐺，𝐴𝐷= 2．
①若tan∠𝐴𝐷𝐵=
3
2 ，求△𝐹𝐺𝐷的周长．
②求𝐶𝐺的最小值．
15．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙𝑂的内接矩形，过点𝐴的切线与𝐶𝐷的延长线交
于点𝑀，连接𝑂𝑀与𝐴𝐷交于点𝐸，𝐴𝐷> 1，𝐶𝐷= 1．
（1）求证：△𝐷𝐵𝐶∼△𝐴𝑀𝐷；
（2）设𝐴𝐷= 𝑥，求△𝐶𝑂𝑀的面积（用𝑥的式子表示）；
（3）若∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷，求𝑂𝐸的长．
16．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直
径的⊙O 交BC 于点E，交AC 于点F，过点C 作CG⊥AB 交AB 于点G，交AE 于点H，过点E 的弦EP 交
AB 于点Q（EP 不是直径），点Q 为弦EP 的中点，连结BP，BP 恰好为⊙O 的切线．
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（1）求证：BC 是⊙O 的切线．
（2）求证：𝐸𝐹＝𝐸𝐷．
（3）若sin∠ABC═
3
5，AC＝15，求四边形CHQE 的面积．
17．（2018·浙江台州·统考中考真题）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在𝐵𝐶上，点E 在弦AB 上
（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O 的半径为3．
①若
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
5
3，求BC 的长；
②当
𝐴𝐵
𝐴𝐶为何值时，AB•AC 的值最大？
题型04 圆与函数综合问题
18．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+
9
4x+c 经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x
轴的另一交点为点B，点M 是直线BC 上一动点，过点M 作MP∥y 轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说
明理由；
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（3）以M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径．
19．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点𝑃(𝑚,𝑛)在函数𝑦= ―
2
𝑥(𝑥< 0)的图象上．
(1)若𝑚= ―2，求n 的值；
(2)抛物线𝑦= (𝑥― 𝑚)(𝑥― 𝑛)与x 轴交于两点M，N（M 在N 的左边），与y 轴交于点G，记抛物线的顶点为
E．
①m 为何值时，点E 到达最高处；
②设△𝐺𝑀𝑁的外接圆圆心为C，⊙𝐶与y 轴的另一个交点为F，当𝑚+ 𝑛≠0时，是否存在四边形𝐹𝐺𝐸𝐶为
平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C 在⊙𝑂上运动，满足𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2 +𝐴𝐶2，延长𝐴𝐶至点D，
使得∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵，点E 是弦𝐴𝐶上一动点（不与点A，C 重合），过点E 作弦𝐴𝐵的垂线，交𝐴𝐵于点F，交
𝐵𝐶的延长线于点N，交⊙𝑂于点M（点M 在劣弧𝐴𝐶上）．
(1)𝐵𝐷是⊙𝑂的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记△𝐵𝐷𝐶，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐵的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆，若𝑆1 ⋅𝑆= (𝑆2)2，求(tan𝐷)2的值；
(3)若⊙𝑂的半径为1，设𝐹𝑀= 𝑥，𝐹𝐸⋅𝐹𝑁⋅
1
𝐵𝐶⋅𝐵𝑁+
1
𝐴𝐸⋅𝐴𝐶= 𝑦，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变
量x 的取值范围．
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21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数𝑦= 𝑥2 ―6𝑥+ 8的图像与𝑥轴分别交于点𝐴,𝐵（点A 在
点𝐵的左侧），直线𝑙是对称轴．点𝑃在函数图像上，其横坐标大于4，连接𝑃𝐴,𝑃𝐵，过点𝑃作𝑃𝑀⊥𝑙，垂足为
𝑀，以点𝑀为圆心，作半径为𝑟的圆，𝑃𝑇与⊙𝑀相切，切点为𝑇．
(1)求点𝐴,𝐵的坐标；
(2)若以⊙𝑀的切线长𝑃𝑇为边长的正方形的面积与△𝑃𝐴𝐵的面积相等，且⊙𝑀不经过点(3,2)，求𝑃𝑀长的取
值范围．
22．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，𝐴𝐵为半圆𝑂的直径，𝐶为𝐵𝐴延长线上一点，𝐶𝐷切半圆于点𝐷，
𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，交𝐶𝐷延长线于点𝐸，交半圆于点𝐹，已知𝑂𝐴=
3
2，𝐴𝐶= 1．如图2，连接𝐴𝐹，𝑃为线段𝐴𝐹上一点，
过点𝑃作𝐵𝐶的平行线分别交𝐶𝐸，𝐵𝐸于点𝑀，𝑁，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻．设𝑃𝐻= 𝑥，𝑀𝑁= 𝑦．
(1)求𝐶𝐸的长和𝑦关于𝑥的函数表达式．
(2)当𝑃𝐻< 𝑃𝑁，且长度分别等于𝑃𝐻，𝑃𝑁，𝑎的三条线段组成的三角形与△𝐵𝐶𝐸相似时，求𝑎的值．
(3)延长𝑃𝑁交半圆𝑂于点𝑄，当𝑁𝑄=
15
4 𝑥― 3时，求𝑀𝑁的长．
23．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥― 8与𝑥轴交于
𝐴( ― 4,0)、𝐵(2,0)两点，与𝑦轴交于点𝐶．
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(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点𝑃为第三象限内抛物线上一点，作直线𝐴𝐶，连接𝑃𝐴、𝑃𝐶，求△𝑃𝐴𝐶面积的最大值及此时点𝑃的坐标；
(3)设直线𝑙1:𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑘―
35
4 交抛物线于点𝑀、𝑁，求证：无论𝑘为何值，平行于𝑥轴的直线𝑙2:𝑦= ―
37
4 上总存
在一点𝐸，使得∠𝑀𝐸𝑁为直角．
24．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线𝑙:𝑦=
1
2𝑥+ 4分别与x 轴，y 轴
相交于A、B 两点，点𝑃(𝑥,𝑦)为直线𝑙在第二象限的点
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）设△𝑃𝐴𝑂的面积为S，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；
（3）作△𝑃𝐴𝑂的外接圆⊙𝐶，延长PC 交⊙𝐶于点Q，当△𝑃𝑂𝑄的面积最小时，求⊙𝐶的半径．
25．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，直线𝑦=
3
4𝑥+ 6与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵．直线𝑀𝑁//𝐴𝐵，
且与△𝐴𝑂𝐵的外接圆⊙𝑃相切，与双曲线𝑦= ―
30
𝑥在第二象限内的图象交于𝐶、𝐷两点．
（1）求点𝐴，𝐵的坐标和⊙𝑃的半径；
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（2）求直线𝑀𝑁所对应的函数表达式；
（3）求△𝐵𝐶𝑁的面积．
题型05 正多边形与圆综合
26．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸内接于⊙𝑂，阅读以下作图过程，并回答下列
问题，作法：如图2，①作直径𝐴𝐹；②以F 为圆心，𝐹𝑂为半径作圆弧，与⊙𝑂交于点M，N；③连接
𝐴𝑀,𝑀𝑁,𝑁𝐴．
(1)求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
(2) △𝐴𝑀𝑁是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A 开始，以𝐷𝑁长为半径，在⊙𝑂上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．
27．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，⊙𝑂为等边𝛥𝐴𝐵𝐶的外接圆，半径为2，点𝐷在劣弧
⏜
𝐴𝐵上运动
（不与点𝐴,𝐵重合），连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶．
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（1）求证：𝐷𝐶是∠𝐴𝐷𝐵的平分线；
（2）四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积𝑆是线段𝐷𝐶的长𝑥的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点𝑀,𝑁分别在线段𝐶𝐴，𝐶𝐵上运动（不含端点），经过探究发现，点𝐷运动到每一个确定的位置，𝛥𝐷𝑀𝑁
的周长有最小值𝑡，随着点𝐷的运动，𝑡的值会发生变化，求所有𝑡值中的最大值．
28．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进
行研究，发现多处出现者名的黄金分割比5―1
2
≈0.618．如图，圆内接正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，圆心为O，𝑂𝐴与𝐵𝐸
交于点H，𝐴𝐶、𝐴𝐷与𝐵𝐸分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它
可同理得出）
（1）求证：△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△𝐵𝐴𝑁的形状；
（2）求证：
𝐵𝑀
𝐵𝑁=
𝐵𝑁
𝐵𝐸，且其比值𝑘=
5―1
2 ；
（3）由对称性知𝐴𝑂⊥𝐵𝐸，由（1）（2）可知
𝑀𝑁
𝐵𝑀也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
29．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定
理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C 把线段𝐴𝐵分成两部分，如果
𝐶𝐵
𝐴𝐶=
5―1
2
≈0.618，那么称点C 为线段𝐴𝐵的黄金分割点．
（1）特例感知：在图①中，若𝐴𝐵= 100，求𝐴𝐶的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O 的内接正五边形：
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①作两条相互垂直的直径𝑀𝑁、𝐴𝐼；
②作𝑂𝑁的中点P，以P 为圆心，𝑃𝐴为半径画弧交𝑂𝑀于点Q；
③以点A 为圆心，𝐴𝑄为半径，在⊙O 上连续截取等弧，使弦𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 𝐴𝑄，连接𝐴𝐸；
则五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q 是否为线段𝑂𝑀的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有
着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E 是线段𝑃𝐷的黄金分
割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
30．（2020·内蒙古通辽·中考真题）中心为O 的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的半径为6cm．点𝑃,𝑄同时分别从𝐴,𝐷两点
出发，以1cm/s的速度沿𝐴𝐹,𝐷𝐶向终点𝐹,𝐶运动，连接𝑃𝐵,𝑃𝐸,𝑄𝐵,𝑄𝐸，设运动时间为𝑡(𝑠)．
（1）求证：四边形𝑃𝐵𝑄𝐸为平行四边形；
（2）求矩形𝑃𝐵𝑄𝐸的面积与正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的面积之比．
31．（2018·四川达州·统考中考真题）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3 内接于⊙O，点P 是𝐴1𝐴2上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：
PA1+PA2=PA3，从而得到：
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2+𝑃𝐴3 =
1
2是定值．
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（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M 交A2P 的延长线于点M．
∵△A1A2A3 是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2+𝑃𝐴3 =
1
2，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2+𝑃𝐴3+𝑃𝐴4还是定值吗？为什么？
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2
𝑃𝐴1+𝑃𝐴2+𝑃𝐴3+𝑃𝐴4+𝑃𝐴5=
（只写出结果）．
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题型06 求不规则图形面积
32．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，在𝐴𝐵上取一点E，连接𝐴𝐸，𝐷𝐸．过
点A 作𝐴𝐺⊥𝐴𝐸，交⊙𝑂于点G，交𝐷𝐸于点F，连接𝐶𝐺，𝐷𝐺．
(1)求证：△𝐴𝐹𝐷≌△𝐶𝐺𝐷；
(2)若𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，求阴影部分的面积．
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，点E 为BC 中点，AE⊥DE 于
点E．点O 是线段AE 上的点，以点O 为圆心，OE 为半径的⊙O 与AB 相切于点G，交BC 于点F，连接
OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O 与AD 相切；
（3）若BC＝6，AB＝3 3，求⊙O 的半径和阴影部分的面积．
34．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活
动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转𝜃到达△𝐴𝐵′𝐶′的位置，那么可以得到：𝐴𝐵= 𝐴𝐵′，
𝐴𝐶= 𝐴𝐶′，𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′；∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵′𝐴𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶′𝐵′（ ）
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刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图
形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板𝐴𝐵𝐶绕点𝑂逆时针旋转90°到达扇形纸板𝐴′𝐵′𝐶′
的位置．
①请在图中作出点𝑂；
②如果𝐵𝐵′=6cm，则在旋转过程中，点𝐵经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另
一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是
多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
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35．（2020·山东临沂·中考真题）已知⊙𝑂1的半径为𝑟1，⊙𝑂2的半径为𝑟2，以𝑂1为圆心，以𝑟1 + 𝑟2的长为
半径画弧，再以线段𝑂1𝑂2的中点P 为圆心，以
1
2𝑂1𝑂2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接𝑄1𝐴，𝑂2𝐴，
𝑂1𝐴交⊙𝑂1于点B，过点B 作𝑂2𝐴的平行线𝐵𝐶交𝑂1𝑂2于点C．
（1）求证：𝐵𝐶是⊙𝑂2的切线；
（2）若𝑟1 = 2，𝑟2 = 1，𝑂1𝑂2 = 6，求阴影部分的面积．
36．（2019·湖北武汉·统考中考真题）已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝑀和𝐵𝑁是⊙𝑂的两条切线，𝐷𝐶与⊙𝑂相切
于点𝐸，分别交𝐴𝑀、𝐵𝑁于𝐷、𝐶两点
（1）如图1，求证：𝐴𝐵2 = 4𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
（2）如图2，连接𝑂𝐸并延长交𝐴𝑀于点𝐹，连接𝐶𝐹．若∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝑂𝐹𝐶，𝐴𝐷= 1，求图中阴影部分的面积
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题型07 三角形内切圆与外切圆综合
37．（2019·山西·统考中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，
下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内
心，则𝑂𝐼2 = 𝑅2 ―2𝑅𝑟.
如图1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与AB 相切分于点F，设⊙O 的半径为R，⊙I 的
半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI
＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI 交⊙O 于点D，过点I 作⊙O 的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴
𝐼𝑀
𝐼𝐴=
𝐼𝐷
𝐼𝑁，
∴𝐼𝐴⋅𝐼𝐷= 𝐼𝑀⋅𝐼𝑁①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I 与AB 相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴
𝐼𝐴
𝐷𝐸=
𝐼𝐹
𝐵𝐷，∴𝐼𝐴⋅𝐵𝐷= 𝐷𝐸⋅𝐼𝐹②，
任务：(1)观察发现：𝐼𝑀= 𝑅+ 𝑑，𝐼𝑁= (用含R，d 的代数式表示)；
(2)请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.
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38．（2019·湖北荆门·统考中考真题）已知锐角𝛥𝐴𝐵𝐶的外接圆圆心为𝑂，半径为𝑅．
（1）求证：
𝐴𝐶
sin𝐵= 2𝑅；
（2）若𝛥𝐴𝐵𝐶中∠𝐴= 45°，∠𝐵= 60°，𝐴𝐶=
3，求𝐵𝐶的长及sin𝐶的值．
39．（2022·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠𝐴= 60°，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F，则∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹
的度数为______°；
【问题探究】（2）如图2，在Rt△ABC 中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，点D、E 在直线BC 上，连接AD、AE，若
∠𝐷𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐵= 6，求△ADE 面积的最小值；
【问题解决】（3）近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022 年版)》，此次修订中增加的跨
学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习
活动．为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3 所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中
心，在AB 的延长线上取一点D，连接DC 并延长到点E，连接AE，已知𝐴𝐸∥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 40米，
∠𝐴𝐵𝐶= 90°，为节约修建成本，需使修建后△ADE 的面积尽可能小，问△ADE 的面积是否存在最小值？若
存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由．
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40．（2021·陕西西安·校考模拟预测）问题提出：若一个三角形的三个顶点分别在一个图形的不同的边上，
则称此三角形为该图形的内接三角形．
（1）如图1，⊙𝑂及弦𝐴𝐵，点C 为圆上一点，则△𝐴𝐵𝐶称为⊙𝑂的内接三角形．若⊙𝑂的半径等于5，
弦𝐴𝐵= 8，画出⊙𝑂的面积最大的内接三角形△𝐴𝐵𝐶，且其内接三角形面积的最大值是___________；
问题探究：
（2）如图2，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= ∠𝐵= 30°，𝐴𝐶= 4，D 是𝐴𝐶的中点，△𝐷𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的内接等腰直角三角
形，且∠𝐷𝐹𝐸= 90°，求△𝐷𝐸𝐹的面积．
问题解决：
（3）高新区的小朋友为给十四运的选手们加油，在现有的一块三角形展板上，绘制一个三角形的图案，如
图3，展板△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 4，绘制的图案为△𝐴𝐵𝐶的内按等腰直角三角
形，试探究：绘制的图案的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型08 阿氏圆模型
41．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C 为顶点的正方形CDEF
（C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD＝2，连接AF，BD
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（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD＋2
2 AD 的值；
（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD＋2
2 AD 的最小值．
42．（2023 上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知△𝐶𝐷𝐸与△𝐴𝐵𝐶有公共顶点C，△𝐶𝐷𝐸为
等边三角形，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120°．
(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD，已知四边形ABDC 的面积为2 3，求𝐴𝐵+ 𝐴𝐶的值；
(2)如图2，𝐴𝐵= 𝐴𝐶， A、E、D 三点共线，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，取𝐵𝐸中点M，连接𝐴𝑀，求证：𝐴𝐷= 2𝐴𝑀；
(3)如图3，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 4，𝐶𝐸= 2，将△𝐶𝐷𝐸以C 为旋转中心旋转，取𝐷𝐸中点F，当𝐵𝐹+
3
4 𝐴𝐹的值最小时，
求tan∠𝐴𝐵𝐹的值．
43．（2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5 与x 轴，y 轴分别交于A，
C 两点，抛物线y＝x2+bx+c 经过A，C 两点，与x 轴的另一交点为B
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（1）求抛物线解析式及B 点坐标；
（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC
面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；
（3）如图2，若P 点是半径为2 的⊙B 上一动点，连接PC、PA，当点P 运动到某一位置时，PC+
1
2PA 的值
最小，请求出这个最小值，并说明理由．
44．（2021 上·江苏宿迁·九年级校考期末）问题提出：如图①，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐶𝐵= 4，
𝐶𝐴= 6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP、BP，求𝐴𝑃+
1
2𝐵𝑃的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB 上取一点D，使
𝐶𝐷= 1，则
𝐶𝐷
𝐶𝑃=
𝐶𝑃
𝐶𝐵=
1
2．又∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝑃，所以△𝑃𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝑃．所以
𝑃𝐷
𝐵𝑃=
𝐶𝐷
𝐶𝑃=
1
2．
所以𝑃𝐷=
1
2𝑃𝐵，所以𝐴𝑃+
1
2𝐵𝑃= 𝐴𝑃+ 𝑃𝐷．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：𝐴𝑃+
1
2𝐵𝑃的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求
1
3𝐴𝑃+ 𝐵𝑃的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，∠𝐶𝑂𝐷= 90∘，𝑂𝐶= 6，𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 5，P 是𝐶𝐷上一点，
求2𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值．
45．（2018·广西柳州·中考真题）如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交于𝐴( 3，0)，𝐵两点（点𝐵在点𝐴的
左侧），与𝑦轴交于点𝐶，且𝑂𝐵= 3𝑂𝐴=
3𝑂𝐶，∠𝑂𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷交𝑦轴于点𝐷，过点𝐴且垂直于𝐴𝐷的直线𝑙
交𝑦轴于点𝐸，点𝑃是𝑥轴下方抛物线上的一个动点，过点𝑃作𝑃𝐹⊥𝑥轴，垂足为𝐹，交直线𝐴𝐷于点𝐻．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点𝑃的横坐标为𝑚，当𝐹𝐻= 𝐻𝑃时，求𝑚的值；
（3）当直线𝑃𝐹为抛物线的对称轴时，以点𝐻为圆心，
1
2𝐻𝐶为半径作⊙𝐻，点𝑄为⊙𝐻上的一个动点，求
1
4
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𝐴𝑄+ 𝐸𝑄的最小值．
题型09 隐圆模型
46．（2022·重庆万州·重庆市万州国本中学校校考一模）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90∘，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，BC、EF 交于点M，且点M 为BC、EF 的中点，将△DEF 绕点M 旋转．
(1)如图1，当△DEF 旋转至点A 在FD 延长线上时，若𝐵𝐶= 3 2，𝐴𝐹= 6 5
5 ，tan∠𝐵𝐴𝐹= 2，求线段BF 的
长；
(2)如图2，当△DEF 旋转至点A 在FD 延长线上，求证：2𝐴𝐹=
2𝐵𝐸+ 𝐸𝐹；
(3)如图3，在△DEF 旋转过程中，直线AD 与直线CF 交于点N，连接BN，P 为BN 的中点，连接AP，若
𝐴𝐵= 6 2，请直接写出线段AP 的最大值．
47．（2022·江苏盐城·统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐的图像过点𝐶(0, ― 4)和点𝐷
(2, ― 6)，与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左边），且点D 与点G 关于坐标原点对称．
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(1)求该二次函数解析式，并判断点G 是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P 为此抛物线上一点，它关于x 轴，y 轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P 点使得M，N
恰好都在直线DG 上？如存在，求出点P 的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足𝐵𝐸= 𝑂𝐵，过E 作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点F，设F 坐标为(𝑡,0)，0 < 𝑡< 4，△𝐵𝐸𝐹
的内心为I，连接CI，直接写出CI 的最小值．
48．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，▱𝑂𝐴𝐵𝐶如图所示，
𝐴(5,0)，𝐵(9,6)．点P 从点O 出发在线段𝑂𝐴上以每秒1 个单位的速度向点A 运动，同时点Q 从点B 出发在
线段𝐵𝐶上以每秒2 个单位的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接𝑃𝑄．
（1）如图1，连接𝑂𝐵交𝑃𝑄于点D，则点D 的坐标为________；
（2）如图2，过A 作𝐴𝐻⊥𝑃𝑄于点H，求𝑂𝐻的最小值；
（3）如图3，在𝑃𝑄上取一点M，使得∠𝐴𝑀𝑃= 45°，那么点M 的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此
时𝑂𝑃的长；若不存在，说明理由．
49．（2021 上·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）【问题背景】如图
1，P 是等边△ABC 内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB 绕点A 逆
时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
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【迁移应用】如图2，D 是等边△ABC 外一点，E 为CD 上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE 是
等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C 为EF 的中点，边长为3 的等边△ABC 绕着点C 在平面内旋转一周，直
线AE、BF 交于点P，M 为PG 的中点，EF⊥FG 于F，FG＝4 3，请直接写出MC 的最小值．
50．（2021·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）问题发现：
（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则
𝐷𝐺
𝐶𝐹＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP 长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD 中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝
45°，则对角线BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
