压轴题10圆的五种考法（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_压轴题攻略-V9_2025版

压轴题 10 圆的五种考法 目录 解题知识必备................................................................................................................1 压轴题型讲练................................................................................................................1 类型一、四点共圆........................................................................................................1 类型二、圆中最值问题..............................................................................................14 类型三、定点定长构造辅助圆..................................................................................22 类型四、定弦定角构造辅助圆..................................................................................26 类型五、对角互补构造辅助圆......................................................................................33 压轴能力测评（10题）.............................................................................................40 类型一、四点共圆 一．填空题 1．（2022秋•大丰区期中）如图， 中， ， ， ．以 为弦的圆分别交 、 于 、 两点．点 在 边上，且满足 ．若 ，则 的面积的 最小值是 ． 【分析】连接 ，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明 ，从而得到 △ ，当 最小时， 的面积就最小，作 的外接圆 ，过 点作 交于点 ，连接 、 ， ，当 最小时， 就最小，当 、 、 三点共线时， 最小， 此时 ，在 中， ，求出 ，可得 的最小值 为 ，再求 ，即 的面积的最小值为 ． 【解答】解：连接 ， ， ， ，， ， ， 、 、 、 四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， △ ， ， ， ， ， 边上的高 ， 当 最小时， 的面积就最小， 作 的外接圆 ，过 点作 交于点 ，连接 、 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当 最小时， 就最小， ， 当 、 、 三点共线时， 最小， 此时 ， ， 在 中， ，解得 或 ， ， ， 的最小值为 ， ， 的面积的最小值为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性 质是解题的关键． 二．解答题 2．（2022秋•建湖县期中）如图，在 的内接四边形 中， ， 是四边形 的 一个外角． （1）若 ，则 ； （2）过点 作 于 ，判断 、 、 之间的数量关系并证明； （3）若 、 ，求 的值． 【分析】（1）根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得 ； （ 2 ） 过 点 作 于 点 ， 可 证 明 ， ， 则 ； （3）在 中， ，在 中， ，再求解即可．【解答】解：（1） 四边形 是圆 的内接四边形， ， 是四边形 的一个外角， ， ， ， 弧 所对的圆周角分别为 、 ， ， ， ， 故答案为：75； （2）过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 即 ； （3）在 中， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定 理，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△ 中，点 ， 为 ， 上的点， ， ， 交 于 ，△ 与△ 的外接圆相交于点 （异于 ， ， 分别为△ 和△ 的垂心． 证明：（1） 平分 ； （2） ， ， 三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分） 【分析】（1）通过证明△ △ 得出 ，然后由 推导出 ， 再由邻补角的性质得出 ，即可证明结论； （2）根据题意构造 、 、 、 四点共 ，以及 、 、 、 四点共 ，然后由相似三角形 推导出点 、 对于 和 等幂，再由根轴的性质得出 是 的垂直平分线，最后根据 得到 ，进而证得三点共线． 【解答】（1）证明：在△ 和△ 中， ， ， ，△ △ ． ， ， 为△ 的外接圆半径）． ． 又 ， ， 平分 ． （2）证明：连接 、 并延长分别交 于 、 ，连接 、 并延长交 于 、 ． 中点为 ， 中点为 ， ， 、 、 、 四点共 ． ， ， 、 、 、 四点共 ． ， △ ， △ △ ， ， ． 同理得 ． 点 、 对于 和 等幂， ， 在 和 的根轴上． 和 的根轴是过两圆的交点的直线． ， 在 和 的公共弦 上． 又 ，即 和 是等圆， 四边形 为菱形． 是 的垂直平分线， 为 中点． 由（1）知△ △ ， 、 分别为△ 和△ 的对应边上的中线， ， 点 在 的垂直平分线上． ， ， 三点共线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质 等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出 、 两点对于 和 等幂是解答本题的关 键． 4．（2022 秋•沙坪坝区校级期中）在 中，已知 ，作 ， 是 上一点， ，连接 、 ，在 上截取 ，连接 ． （1）如图1所示，若 ， ，求 的周长； （2）如图2所示，若分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，求证： ； （3）如图3所示， ， ，将 沿着直线 翻折得到 ，连接 ，直线 交 于点 ， 为 中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积． 【分析】（1）过点 作 于 ，则 ，由 ，可得 ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ， ，可得 ， ，利用勾股定理可得 ，进而可得 ，即可求得答案； （2）延长 至 ，使 ，在 上截取 ，连接 ， ，设 ，则 ，可证得 是等边三角形，得出： ， ，再证得 ，可得 ，利用三角形中位线定理可得 ，再由直角三角形性 质可得 ，即可证得结论； （3）连接 ，先证得点 在 的外接圆 上，当且仅当点 为半径 经过点 时， 取得最 小值，连接 ，过点 作 于 ，利用解直角三角形可得 ， ， ， ， ， ， 由 勾 股 定 理 可 得 ， ，再利用 ， 即可求得答案． 【解答】（1）解：过点 作 于 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 的周长 ； （2）证明：延长 至 ，使 ，在 上截取 ，连接 ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 、 分别是 、 的中点， ， 点 是 斜边 的中点， ， ； （3）解：如图，连接 ， 由翻折得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，点 在 的外接圆 上，当且仅当点 为半径 经过点 时， 取得最小值，如图，连接 ，过点 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ，． 【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角 形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难 度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点． 5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、 ； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图 ； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图 ． （1）在图1、2中，取 的中点 ，根据 得 ，即 ， ， ， 共圆； （2）在图3中，画 经过点 ， ， （图 ．假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ， 可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点 也不会落在 内，即 ， ， ， 共圆． 结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形 的高 ， 相交于点 ，射线 交 于点 ． 求证： 是 的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点 是 外部一点，过 作直线 ， ， 的垂线，垂足分别为 ， ， ，且 点 ， ， 在同一条直线上．求证：点 在 的外接圆上． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得结论； （2）由圆周角的性质可得 ，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论； （3）如图，连接 ，由点 、 、 、 四点共圆得 ，由点 、 、 、 四点共圆 得 ，从而证明 即可； （4）连接 和 ，由点 ， ， ， 四点共圆可得， ，由点 ， ， ， 四点共 圆可得 ，再由外角的性质及角的和差可得 ，由此可得点 ， ， ， 四 点共圆，即点 在 的外接圆上． 【解答】解：（1）在图1、2中，取 的中点 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 ，即 ， ， ， 共圆； 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）在图3中，画 经过点 ， ， （图 ．假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ， 可得 ， ，得出矛盾； 同理点 也不会落在 内，即 ， ， ， 共圆．结论Ⅲ同理可证． 故答案为： ； ； （3）如图6，连接 ，由点 、 、 、 四点共圆得 ， 由点 、 、 、 四点共圆得 ， ， ， ，， ， 为 的边 上的高． （4）如图7，连接 和 ， 由点 ， ， ， 四点共圆可得 ， 由点 ， ， ， 四点共圆可得 ， ， ， ， ， ， 点 ， ， ， 四点共圆，即点 在 的外接圆上． 【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角 定理，内心的定义．第（3）（4）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等． 类型二、圆中最值问题 一．填空题 1．（2022秋•长沙期中）如图， 的半径为1， ， 为 的切线，切点为 ， ， ， 点 为劣弧 上一动点，过点 作 的切线，分别交 ， 于点 ， ， 的最小值是 ． 【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解． 【解答】解：连接 ， ， ， ， ，， 为 的切线， 切 于 ， ， ， ， 四边形 内角和是 ， ， ， ， ， ， ， 同理： ， ， 设 的外心是点 ，作 于 ，连接 ， ， ， ， 点 是 的外心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是 ，故答案为： ． 【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外 心的性质． 二．解答题 2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系 中的图形 和点 给出如下定义； 为图形 上任意一点，若 ， 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的 倍，则称点 为图形 的“ 分点”． 已知点 ， ， ， ． （1）①在点 ， ， 中，线段 的“ 分点”是 ； ②点 ，若点 为线段 的“二分点”，求 的值； （2）以点 为圆心， 为半径画图，若线段 上存在 的“二分点”，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）①分别求出点 、 、 到线段 的最小值和最大值，看是否满足“ 分点”定义即可， ②对 的取值分情况讨论： ， ， 和 ，根据“二分点”的定义可求解， （2）设线段 上存在 的“二分点”为 ， ．对 的取值分情况讨论 ， 且 ， 且 ， ，根据二分点的定义可求解． 【解答】（1）解：①如图，点 在 上，故最小值为0，不符合题意， 点 到 的最小值为 ，最大值为 ， 点 是线段 的“ 分点”， 点 到 的最小值为1，最大值为 点 不是线段 的“ 分点”， 故答案为：点 ； ②当 时，点 到 的最小值为 ， 点 到 的最大值为 ， 点 为线段 的“二分点”， ， 即 ， △ ， 故无解，舍去； 当 时，点 到 的最小值为1， 点 到 的最大值为 ，最大值不是最小值的2倍，所以舍去， 当 时，点 到 的最小值为1， 点 到 的最大值为 ， 点 为线段 的“二分点”， ， （舍去）， 当 时，点 到 的最小值为 ， 点 到 的最大值为 ， 点 为线段 的“二分点”， 同 时，无解，舍去； 综上， ． （ 2 ） 如 图 所 示 ， 设 线 段 上 存 在 的 “ 二 分 点 ” 为 ， ，当 时，最小值为： ，最大值为： ， ，即 ， ， ， 当 且 时，最小值为： ，最大值为 ， ，即 ， ， ， ， 不存在， 当 且 时，最小值为： ，最大值为： ， ，即 ， ， ， 不存在． 当 时，最小值为： ，最大值为： ， ，即 ， ． 综上所述， 的取值范围为 或 ． 【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“ 分点”的定义是解题的关键． 3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，点 在 轴的正半轴 上，且 ，以点 为圆心，1为半径画 ，与 轴交于点 （点 在点 的下方），点 是 的中点，点 是 上的一个动点，从点 开始以5度 秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间 为 秒． （1）如图1，连接 ，当 时，求 的值； （2）如图2，点 在运动过程中，连接 ，以 为边在左侧作等边 ， ①当 秒时，求点 的坐标； ②连接 ，当 最大时，求此时 的值和这个最大值． 【分析】（1）如图，过点 作 ，交 于点 ， ，由平行得出点 的旋转角，进而可得出时 间 ； （2）①将线段 绕点 逆时针旋转 到线段 ，连接 ，易证△ ，所以 ， ；过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，所以 ， 由 互 余 可 知 ， ， 所 以 ， ， 所 以 ， ， ，则 ， ，进而可得点 的坐标； ②由旋转可知，点 在以点 为圆心，1长为半径的圆上运动，当 最大时，点 ， ， 三点共线， 设 与 轴的另一个交点为 ，则 ， ，由点 是 的中点可知， ， ， ， ，进而可得 ，所以 ，易证△ ，进而可得 △ ，所以 ，即此时点 与点 重合，所以 ． 【解答】解：（1）如图：是直角三角形， 是 中点， ， ， 又 ， ， 点 的轨迹是 中 圆心角所对的弧， ， 当点 运动到 延长线与 的交点 时， 点 的轨迹是 中 圆心角所对的弧， ． 故 的值为6或42； （2）①如图， ， ， ， ， 当 时， ， ， 将线段 绕点 逆时针旋转 到线段 ，连接 ， 由旋转可知， ， ， 是等边三角形， ， ， ， △ ， ， ， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ； ②由旋转可知，点 在以点 为圆心，1长为半径的圆上运动， 当 最大时，点 ， ， 三点共线，如图所示，设 与 轴的另一个交点为 ， ， ，点 为 的中点， ， ， 由①可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △ ， ， ， ， △ ， ，即此时点 与点 重合， ． 综上， ， 最大值是4． 【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相 似三角形的相似与判定，含 的直角三角形的三边关系，根据题意得出点 的轨迹是解题关键． 类型三、定点定长构造辅助圆 一．填空题 1．（2023秋•常州期中）如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一点， ， 点 为线段 的中点，连接 ， 的最大值为 ．【分析】先判断出点 的运动轨迹是在半径为2的 上，再取 ，连接 ，则 是 的中位线， ，进而可得 最大值时， 取最大值，此时 、 、 三点共线，计算即可求 出结果． 【解答】解： 为坐标平面内一点， ， 点 的运动轨迹是在半径为2的 上， 如图，取 ，连接 ， 点 为线段 的中点， 是 的中位线， ， 最大值时， 取最大值，此时 、 、 三点共线， 此时在 中， ， ， 的最大值是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点 的运动轨迹． 二．解答题 2．（2022秋•秀洲区期中）如图， 中， ， ，过点 任作一条直线 ，将线段 沿直线 翻折得线段 ，直线 交直线 于点 ． （1）小智同学通过思考推得当点 在 上方时， 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成 以下推理过程： ， 、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上． ． （2）若 ，求 的长． （3）线段 最大值为 ；若取 的中点 ，则线段 的最小值为 ． 【分析】（1）根据 ，得 、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上，根据圆周角定 理可知 的度数； （2）由 是等腰三角形可求出 ，利用勾股定理求出 的长，从而得出答案； （3）根据直径是圆中最大的弦知当 经过圆心 时，线段 的最大值为 ，取 的中点 ， 连接 ，可证 ，则点 在以 为直径的圆 上，当 经过点 时， 最短，此时 ，从而解决问题． 【解答】解：（1） ， 、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上， ， 故答案为： ，45； （2）由折叠可知， 垂直平分 ， ， 设 、 交于点 ，则 ，， ， ， 在 中， 由勾股定理得， ， ； 当点 在 的下方时，如图， ， 、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上， ， 即 ， 由翻折可知， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在 中， ， ， 综上所述， 的长为 或 ； （3） ， ， ，三点在以 为圆心，以 为半径的圆上，当 经过圆心 时，线段 的最大值为 ， 在 中， ， ， ， ， ， 连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， 点 在以点 为圆心， 为直径的圆上， ， 点 在 上， 当 经过点 时， 最短，此时 ， ， ， 即线段 的最小值为 ， 故答案为：8； ． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理， 利用定点定长构造辅助圆是解题的关键． 类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题 1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形 的边 ， ， 为 的中点， 是矩形内部 一动点，且满足 ， 为边 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【分析】先找出点 的运动路线为以 为直径的圆，设圆心为 ，作点 关于直线 的对称点 ， 连接 交 于点 ，可推出 的长即为 的最小值，再求出 的长即可． 【解答】解： 四边形 是矩形， ， ， ， 点 的运动路线为以 为直径的圆， 作以 为直径的 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ， 则 ， ， ， 的最小值为 ； 连接 ， 四边形 是矩形，点 是 的中点，点 为 的中点， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 点 关于直线 的对称点 ， ，在 △ 中， 由勾股定理，得 ， 的最小值为 ， 故答案为：7． 【点评】本题考查轴对称 最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和 的最小值是解题的关键． 二．解答题 2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可 以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1， ，若 ，求 的度数． 解：若以点 为圆心， 为半径作辅助圆， 是 的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得 到 ． ②如图2，点 为正方形 内一点，且 ，若 ，求 的最小值． 解： ， ， 点 在以 为直径的圆上， 设圆心为点 ，则 、 、 三点共线时 最小，最小值为 ． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 是 边上一动点（点 不与 ， 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为 ． ②如图4，△ 中， ， ， ， 为 上一动点，以 为直径的 交 于 ，求线段 的最小值． （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点 ， ， 轴上有一动点 ，当 最大时，直接写 出点 的坐标 ．【分析】（1）①利用圆周角定理即可求得答案； ②由正方形性质可得： ， ， ，由勾股定理得： ，推出点 在以 为直径的 上，则 、 、 三点共线时 最小，即可求得答案； （ 2 ） ① 过 点 作 于 ， 利 用 解 直 角 三 角 形 得 ， ， ，由勾股定理得 ，再由 ，可得点 在 以 为 圆 心 为 半 径 的 上 ， 即 当 、 、 三 点 共 线 时 最 小 ， 的 最 小 值 ； ②连接 ，由 是 的直径，可得 ，推出 ，即点 在以 为直径的圆上， 进而可得当 、 、 三点共线时， 最小，运用勾股定理即可求得答案； （3）当 最大时，过 、 两点的 与 轴相切，利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，线段 的垂直平分线为 ，设 ，根据 ，建立方程求解即 可得出答案． 【解答】解：（1）①如图1，以点 为圆心， 为半径作辅助圆 ， ， ， ， 故答案为：25．②点 为正方形 内一点，且 ，若 ，求 的最小值． 如图②，以 为直径作 ， 四边形 是正方形， ， ， ， 在 △ 中， ， ， ， 点 在以 为直径的 上， 则 、 、 三点共线时 最小， 的最小值 ， 故答案为： ． （2）①如图3，过点 作 于 ，， ， ， 则 ， ， ， 在 △ 中， ， 点 与点 关于直线 对称， ， 点 在以 为圆心 为半径的 上， 当 、 、 三点共线时 最小， 的最小值 ， 故答案为： ． ②如图4，连接 ， 是 的直径， ， ， 即点 在以 为直径的圆上， 以 为直径作 ，交 于 ，当 、 、 三点共线时， 最小， △ 中， ， ， ，， ， ， 故线段 的最小值为 ． （3）当 最大时，过 、 两点的 与 轴相切， 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入， 得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 线段 的中点坐标为 ，圆心 在 的垂直平分线上， 线段 的垂直平分线为 ， 设 ， ， ， 解得： 或 （舍去）， 点 的坐标为 ， ， 故答案为： ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等 知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3．（2022秋•泗洪县期中）已知： 和 外一点 ． （1）如图甲， 和 是 的两条切线， 、 分别为切点，求证： ． （2）尺规作图：在图乙中，过 点画 的两条切线 、 ， 、 为切点（要求：保留作图痕迹， 不写作法）． 【分析】（1）如图，连接 、 、 ．只要证明 ，可得 ． （2）以 为直径作 ，两圆交于点 、 ，直线 、 即为所求； 【解答】解：（1）如图，连接 、 、 ． 、 是切线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． （2）以 为直径作 ，两圆交于点 、 ，直线 、 即为所求；【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 类型五、对角互补构造辅助圆 1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在 中， ， 平分 ，且 于点 ． （1）判断 的形状； （2）如图2，在（1）的结论下，若 ， ， ，求 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 交 于点 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由． 【 分 析 】 （ 1 ） 由 ， 知 点 、 、 、 上 四 点 共 圆 ， 则 ，即可得出结论； （2）将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于 ， 得 是等腰直角三角形，从而可解直角三角形 ，在 中，利用勾股定理得可求出 的长 度，从而解决问题； （3）在 上截取 ，利用 证明 ，得 ， ，可证明 、 是等腰直角三角形，从而解决问题． 【解答】解：（1） ， 平分 ， ， ， 点 、 、 、 上四点共圆，， ， 是等腰直角三角形； （2）将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ； （3） ．，理由如下：如图，在 上截取 ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 含 角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021秋•西城区校级期中）如图， 为等边三角形，点 是线段 上一动点（点 不与 ， 重合），连接 ，过点 作直线 的垂线段，垂足为点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ． （1）求证： ； （2）延长 交 于点 ，求证： 为 的中点； （3）若 的边长为1，直接写出 的最大值． 【分析】（1）利用 证明 ，即可得出结论； （2）过点 作 交 的延长线于点 ，利用等角对等边可得 ，由（1） ，得 ，再利用 证明 ，从而解决问题； （3）由（2）知 ，则点 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上，故 的最大值 为直径． 【解答】（1）证明： 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 是等边三角形， ， ，是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中，， ， ， 即 为 的中点； （3）解：如图，连接 ， 是等边三角形， ， ， ， ， 点 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上， 的最大值为直径，即最大值为1． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造 全等三角形是解题的关键． 3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在 中， ， ，直线 是过点 的直 线 于点 ，连接 ． （1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段 ， ， 之间有什么数量关系．经过观察思考，小 明出一种思路：如图1，过点 作 ，交 于点 ，进而得出： ． （2）探究证明 将直线 绕点 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 ， ， 之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸 在直线 绕点 旋转的过程中，当 面积取得最大值时，若 长为1，请直接写 的长．【分析】（1）由题意： ，推出 ， ，推出 ， 是等腰直角三角形，推出 ，可得 ； （2）结论： ．过点 作 ，交 于点 ． 交 于 ．只要证明 ，即可解决问题； （3）如图3中，当点 在线段 的垂直平分线上且在 的右侧时， 的面积最大． 【解答】解：（1）如图1中， 由题意： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为 ． （2） ． 证明：如图，过点 作 ，交 于点 ． 交 于 ．， ， ． ， ， ， ， ．又 ， ， ， ， △ 为等腰直角三角形， ． ， ． （3）如图3中，易知 、 、 、 四点共圆，当点 在线段 的垂直平分线上且在 的右侧时， 的面积最大． 此时 ， ，在 上截取一点 ，使得 ，则易证 ， ． 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴 题．1．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在 中，直径 ， 于点 ， ．点 是弧 上动点，且与点 、 不重合， 是直径 上的动点，设 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【分析】连接 ， ， ，利用垂径定理可得 是 的垂直平分线， ，当为 在 点位置，点 在点 时， 有最小值，此时 ；当为 在 点位置，点 在 点 时， 有最小值，此时 ，分别计算可得出结论． 【解答】解：如图，连接 ， ， ， 为 的直径， ， ， 当为 在 点位置，点 在点 时， 有最小值，此时 ， ； ， ， ， ． ． 是直径 上的动点， ， 是 的垂直平分线， ． 当为 在 点位置，点 在点 时， 有最小值，此时 ， ． 故选： ．【点评】本题主要考查了圆的额相关概念及性质，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三 边，利用圆的对称性解答是解题的关键． 二．解答题 2．（2023秋•义乌市期中）如图1，在 中， ， ， ， 是 的中点． 经过 ， ， 的 交 于 点． （1）求 的长． （2）当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动点 ．记 ， ． ①求 关于 的表达式． ②连结 ，当 的面积最大时，求 的值． （3）如图2，连结 ， ，延长 交 于点 ，连结 ．当 与 中的某一边相等时，求 四边形 的面积． 【分析】（1）由直角三角形性质可得 ，再运用勾股定理即可求得答案； （2）①由题意得 ，即 ，化简得 ； ② 如 图 1 ， 过 点 作 于 ， 运 用 三 角 形 面 积 公 式 可 得 ，再运用二次函数最值即可； （3）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别利用勾股定理和三角形面积即可 求得答案． 【解答】解：（1）如图1，在 中， ， ， ， ， ，， ， ， 是 的中点， ， 四边形 是 的内接四边形， ， ， ， ， ， 在 中， ， ； （2）① 当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动点 ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， 即 ， 关于 的表达式为 ． ②如图1，过点 作 于 ，则 ， ， ， ， 当 时， 有最大值 ； （3）当 时，如图2， 由（1）知： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ； 当 时，如图3，过点 作 于 ，连接 交 于 ，连接 ， ，在 中， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 垂直平分 ， ， ； 当 时，如图4，过点 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，四边形 的面积为 或 或 ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积，梯形面积，等腰三 角形性质，等边三角形性质，圆内接四边形性质，二次函数最值等知识，涉及知识点较多，难度较大，第 三问涉及到分类讨论，关键是找到每一类中比较特殊的等量关系作答．