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专题 02 《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（原卷版）
专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校
期
中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与 8字模型有关的
压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时
使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：与内角外角平分线有关的压轴题
1.（上海）（1）在锐角 中， 边上的高所在直线和 边上的高所在直线的交点为 ，
，求 的度数．
（2）如图， 和 分别平分 和 ，当点 在直线 上时，且B、P、D三点共线，
，则 _________．
（3）在（2）的基础上，当点 在直线 外时，如下图： ， ，求 的度数．2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化
规律．3．（江苏）直线 与直线 垂直相交于点O，点A在直线 上运动，点B在直线 上运动．
（1）如图1，已知 分别是 和 角的平分线，点 在运动的过程中， 的大小是
否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小．
（2）如图2，已知 不平行 分别是 和 的角平分线，又 分别是
和 的角平分线，点 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请
说明理由；若不发生变化，试求出 的度数．
（3）如图3，延长 至G，已知 的角平分线与 的角平分线及反向延长线相交于
，在 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则 的度数为____（直接写答案）4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C
为y轴右侧一动点．
（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．
（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在
A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．
探究：
（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程
中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？
证明你的结论．
题型二：与8字模型有关的压轴题
5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于
M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝
∠ABC，∠EDP＝ ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证
明．7．（江苏）已知：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD．
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为
；
(2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，则∠P的度数= °；
(3)如图3，∠BAD和∠BCD的三等分线AP和CP相交于点P， ， ，试探究
∠B、∠D、∠P三者之间存在的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间
的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．6．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．
如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下
列问题：
(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间
存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有 ；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分 的外角 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、
的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分 的外角 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、 的
关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、 的关系，直接写出结论，
无需说明理由．
题型三：与燕尾模型有关的压轴题
9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝？
1 2 3 4 5
分析：图中AADA 是“A”型图，于是∠ADA＝∠A+∠A+∠A，所以∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝ ；
1 3 4 2 5 1 3 4 1 2 3 4 5
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A 的度数．
1 2 3 4 5 6 710．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是
凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，
就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在 ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又
∵在 ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=1△80°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法△二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是 ACD 和 BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？
任务：
(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若
∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．11．（江苏）模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四
边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭
头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2， ，则 __________ ；
②如图3， __________ ；
（2）拓展应用：
①如图4， 、 的2等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ，
，则 __________ ；
②如图5， 、 分别为 、 的10等分线 ．它们的交点从上到下依次为、 、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ；
③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则
__________ ；
④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量关系为
__________．
12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角
形”．
探究：
（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
应用：
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，则 ；
②如图3， 、 的2等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ，
，求 的度数；
拓展：
（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的交点从
上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度．
题型四：与动角有关的压轴题
13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直
线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与
∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写
出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）14．如图1，含 角的直角三角板 与含 角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为
的中点，将直角三角板 绕点D按逆时针方向旋转 ，在旋转过程中：
（1）如图2，当 ________ 时， ；当 ______ 时， ；
（2）如图③，当直角三角板 的边 、 分别交 、 的延长线于点M、N时；
① 与 度数的和是否变化？若不变，求出 与 度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得 ，求出 、 的度数，并直接写出此时 的度数；
③若使得 ，求 的度数范围．15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O
重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E
不与A、B重合），连接DE．
(1)如图①，当CA=CB=4时，
①请直接写出DE的取值范围：
②判断△DOE的形状并说明理由；
③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明
变化的范围；
(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．16.（辽宁大连）已知： ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交
于点E．过点A作AF∥CE△，AF与BC所在的直线交于点F．
（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；
（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．
①如图2，当点M在 ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；
②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数
量关系． △
