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专题 02 《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校
期
中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与 8字模型有关的
压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时
使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：与内角外角平分线有关的压轴题
1.（上海）（1）在锐角 中， 边上的高所在直线和 边上的高所在直线的交点为 ，
，求 的度数．
（2）如图， 和 分别平分 和 ，当点 在直线 上时，且B、P、D三点共线，
，则 _________．
（3）在（2）的基础上，当点 在直线 外时，如下图： ， ，求 的度数．
【详解】（1）如图 边上的高所在直线和 边上的高所在直线的交点为
∴ ，又∵ ，∴ ，∵在四边形 中，内角和为
∴ ．
（2）∵ 和 分别平分 和 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ∴ ＝20°．（3）法一：如图：连接AC
∵ ， ，∴ ，
∴ ，又∵ 和 分别平分 和 ，∴ ，∴
， ∴ ．
2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化
规律．
【详解】（1）∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，∵AI平分
∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠IBA＝ ∠ABO＝25°，∠IAB＝ ∠OAB＝20°，∴∠AIB＝180°﹣
(∠IBA+∠IAB)＝135°．
（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝
∠MBA＝65°，∠BAI＝ ∠BAO＝20°，∵∠CBA＝∠D+∠BAD，∴∠D＝45°，故答案为：45．②不变，理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝ ∠MBA﹣ ∠BAO＝ (∠MBA﹣∠BAO)＝ ∠AOB＝ ×90°＝
45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
3．（江苏）直线 与直线 垂直相交于点O，点A在直线 上运动，点B在直线 上运动．
（1）如图1，已知 分别是 和 角的平分线，点 在运动的过程中， 的大小是
否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小．
（2）如图2，已知 不平行 分别是 和 的角平分线，又 分别是
和 的角平分线，点 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请
说明理由；若不发生变化，试求出 的度数．
（3）如图3，延长 至G，已知 的角平分线与 的角平分线及反向延长线相交于
，在 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则 的度数为____（直接写答案）
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE= ∠OAB，∠ABE=
∠ABO，∴∠BAE+∠ABE= （∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD= ∠BAP，∠ABC= ∠ABM，∴∠BAD+∠ABC= （∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO= （∠BOQ-∠BAO）= ∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C
为y轴右侧一动点．
（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．
（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在
A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．
探究：
（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程
中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？
证明你的结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，又∵（a﹣2）2≥0，|a+b+1|≥0，
∴ 解得 ．
（2）如图①中，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，MA平分∠BAO，MB平分∠ABO，∴∠MAB+∠MBA＝ ∠BAO+ ∠ABO＝×90°＝45°，∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°．∵AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将
∠ABC三等分，∴∠CAB+∠CBA＝3（∠MAB+∠MBA）＝135°，∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝
45°．
探究：（1）如图②中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB＝∠M+∠MAO+∠MBO，∠AOB＝∠C+∠CAO+∠CBO，∴90°＝x+y+∠M①，90°＝
2x+2y+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
（2）如图③中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB+∠OBM＝∠M+∠MAO，∠AOB+∠OBC＝∠C+∠CAO，∴90°+y＝x+∠M①，
90°+2y＝2x+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
题型二：与8字模型有关的压轴题
5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于
M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝
∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①，∠B+∠4＝∠P+∠2②，
①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠P＝∠D+∠B．
6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝
∠ABC，∠EDP＝ ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
【详解】解：（1）∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
（2）①设∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y，则有x＋∠A＝y＋∠P，x＋∠P＝y＋∠C，
∴∠P−∠A＝∠C−∠P，∴∠P＝ （∠A＋∠C）＝ （28°＋36°）＝32°；
②设∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y，则有x＋∠A＝y＋∠P，x＋∠P＝y＋∠C，
∴∠P−∠A＝∠C−∠P，∴∠P＝ （∠A＋∠C）；
（3）延长AB交PD于点M，
∵∠CBQ＝ ∠ABC，∠EDP＝ ∠ADE，∴设∠CBQ=x，∠EDP=y，则∠ABC=4x，∠ADE=4y，
由（1）可知：∠A+4x=∠C+180°-4y ①，∵∠AMP=∠A+∠ADP=∠A+3y，∠AMD=∠P+∠MBP=∠P+3x，
∴∠A+3y+∠P+3x=180°②，∴联立①②得：∠A+3∠C+4∠P=180°．
7．（江苏）已知：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD．
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为
；
(2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，则∠P的度数= °；(3)如图3，∠BAD和∠BCD的三等分线AP和CP相交于点P， ， ，试探究
∠B、∠D、∠P三者之间存在的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间
的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠DOC=180°，而∠AOB=∠DOC，
∴∠A+∠B=∠D+∠C；
故答案为：∠A+∠B=∠D+∠C
（2）∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠B=∠3+∠P，
∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B-∠P=∠P-∠D，即∠P= （∠D+∠B）．∵∠B=36°，∠D=44°，∴∠P=40°；
故答案为：40°
（3）2∠B+∠D=3∠P，理由如下：∵ ， ∴∠BAD=3∠2，∠BCD=3∠4，
∴∠1=2∠2，∠3=2∠4，由（1）中结论得：∠1+∠B=∠3+∠P①，∠4+∠D=∠2+∠P②，
①+② 2，得：∠B+2∠D=3∠P．
（4）2∠×P=∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP=∠PCB，∠FAG=∠GAD，
∵∠PAB=∠FAG，∴∠GAD=∠PAB，∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，∴∠P+（180°-∠GAD）=∠D+（180°-∠ECP），∴2∠P=∠B+∠D．
6．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．
如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下
列问题：
(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间
存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．【解答】解：（1）解：结论：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如图中，
∠A+∠C+∠AOC =∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．
故答案为：∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P= （∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P= （100°+96°）=98°；
（3）解：结论：∠P= （β+2α）．理由：∵∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，∴∠BAP= ∠BAC，
∠BDP= ∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P= ∠BDC- ∠BAC，∠P-∠B= ∠BDC- ∠BAC，∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P= （∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β， ∴∠P= （β+2α）；
（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有 ；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分 的外角 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、
的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分 的外角 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、 的
关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分 ，CP平分 的外角 ，猜想 与 、 的关系，直接写出结论，
无需说明理由．
【解答】解：（1）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得
2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P= （∠ABC+∠ADC）= （36°+16°）=26°．
（2） ，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴ ．
② ，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=
（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣
∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴ ；
③ ，理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴ ．题型三：与燕尾模型有关的压轴题
9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝？
1 2 3 4 5
分析：图中AADA 是“A”型图，于是∠ADA＝∠A+∠A+∠A，所以∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝ ；
1 3 4 2 5 1 3 4 1 2 3 4 5
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A 的度数．
1 2 3 4 5 6 7
【详解】解：（1）如图（4），
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A+∠A，∵∠ADA＝∠1+∠A，∴∠ADA＝∠A+∠A+∠A，
1 4 2 5 3 2 5 1 4 3
∵∠ADA+∠A+∠A＝180°，∴∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°，故答案为：180°；
2 5 2 5 1 2 3 4 5
（2）如图（5），
由（1）得，∠1＝∠A+∠A+∠A，∠2＝∠A+∠A+∠A，∵∠1+∠2+∠A＝180°，
1 4 5 2 3 6 7
∴∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°．
1 2 3 4 5 6 710．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是
凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，
就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在 ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又
∵在 ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=1△80°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法△二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是 ACD 和 BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？
任务：
(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若
∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
【详解】解：（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）
（2）证明：连接 CD 并延长至 F，
∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，
∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；
（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，
∠AGB=110°，
∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，
∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠
C），
解得：∠C=70°．
11．（江苏）模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四
边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭
头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2， ，则 __________ ；
②如图3， __________ ；
（2）拓展应用：
①如图4， 、 的2等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ，，则 __________ ；
②如图5， 、 分别为 、 的10等分线 ．它们的交点从上到下依次为
、 、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ；
③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则
__________ ；
④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量关系为
__________．
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BOC=∠BOC-∠OBO -∠OCO =∠BOC- （∠ABO+∠ACO）=∠BOC- （∠BOC-∠A）
1 1 1
=∠BOC- （120°-50°）=120°-35°=85°；
②∠BOC=∠BOC- （∠BOC-∠A）=120°- （120°-50°）=120°-21°=99°；
7
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°- （∠BOC-∠C）=180°- （120°-44°）=142°；
④∠BOD= ∠BOC=∠B+∠D+ ∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角
形”．探究：
（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
应用：
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，则 ；
②如图3， 、 的2等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ，
，求 的度数；
拓展：
（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的交点从
上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度．
【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E
∵ 又∵
∴
（2）①由（1）可知 ，∵ ， ，∴
；
②由（1）可知 ，∵ ， ，
∴ ， 平分 ，CF平分 ，，
（3）由（1）可知 ，∵ ， ，
∴ ，∵ ， 分别是 、 的2020等分线（
），∴ ，
∴ 。
题型四：与动角有关的压轴题
13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直
线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与
∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写
出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
【详解】（1）∵EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，∴∠MEF＝ ∠CEF，∠EFG＝ ∠AFE，
∵∠EGF＝∠MEF﹣∠EFG，∴∠EGF＝ ∠CEF﹣ ∠AFE＝ （∠CEF﹣∠AFE）＝ ∠COF，
而∠AOC＝α＝60°，∴∠COF＝180°﹣60°＝120°，∴∠EGF＝60°；
（2）∵∠CEF﹣∠AFE＝∠COF＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α+∠AFE，∵∠MEF＝m∠CEF，
∴∠MEF＝m（180°﹣α+∠AFE），∵∠EGF＝∠MEF﹣∠NFE，
∴∠EGF＝m（180°﹣α+∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，∴3m﹣1＝0，即m＝ ，∴∠EGF＝ （180°﹣α）＝60°﹣ α；
（3）∵∠BOC＝∠CEF+∠AFE＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α﹣∠AFE，∴∠MEF＝m∠CEF＝m（180°﹣
α﹣∠AFE），而∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，
∴∠EGF＝180°﹣∠MEF﹣∠NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝180°﹣m（180°﹣α）
+（3m﹣1）∠AFE，∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，∴3m﹣1＝0，即m＝ ，
∴∠EGF＝180°﹣ （180°﹣α）＝120°+ α．14．如图1，含 角的直角三角板 与含 角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为
的中点，将直角三角板 绕点D按逆时针方向旋转 ，在旋转过程中：
（1）如图2，当 ________ 时， ；当 ______ 时， ；
（2）如图③，当直角三角板 的边 、 分别交 、 的延长线于点M、N时；
① 与 度数的和是否变化？若不变，求出 与 度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得 ，求出 、 的度数，并直接写出此时 的度数；
③若使得 ，求 的度数范围．
【详解】解：（1） ， 当 时， ，而 ，
，解得 ；当 时， ，此时 ，
，解得 ；
（2）① 与 度数的和不变．连接 ，如图3，在 中， ，
，在 中， ，
即 ， ；
②根据题意得 ，解得 ； ，即 ，
；
③ ， ， ， ， ，
即 ， ， ，解得 ， 的度数范围为 ．15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O
重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E
不与A、B重合），连接DE．
(1)如图①，当CA=CB=4时，
①请直接写出DE的取值范围：
②判断△DOE的形状并说明理由；
③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明
变化的范围；
(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．
解：①∵CA=CB=4，∴ ，当OD⊥AC时，DE有最小值，∵∠A=45°， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵O是AB边上的中点，
∴ ，∴OD＝AD=2，∴ ，∴OD=CD=2，∵ ，
∴此时∠OEC=∠OEB=90°，∵∠B=45°，∴∠BOE=90°-45°=45°，∴OE=BE，∵OB= ，
∴OE=BE=2，∴CE=CB-BE=2，∴ ，∵D、E不与A、B重合，
∴DE的取值范围是 ；
②△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，
∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，∵在△AOD与△COE中 ，
∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；
③在旋转过程中，四边形ODCE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴ ，
∵AC＝BC＝4，∴ ，∴AO＝OC＝ AB= ，∴
，
（2）解：延长DO至F，使OF＝OD，连接BF，EF，
∵O为AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOD＝∠BOF，∴△AOD≌△BOF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝
∠OBF，
∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，∴BE2＋BF2＝EF2，∵OE⊥OD，OD＝OF，∴DE＝EF，
∴BE2＋BF2＝DE2，∴BE2＋AD2＝DE2．
16.（辽宁大连）已知： ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交
于点E．过点A作AF∥CE△，AF与BC所在的直线交于点F．（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；
（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．
①如图2，当点M在 ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；
②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数
量关系． △
【详解】（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠BAC= 90° ， ∠ACE+∠BAC= 90° ，
∴∠ABD=∠ACE，又∵AF∥CE，∴∠ACE=∠CAF，∴∠ABD=∠CAF.
(2)①∠ABD+∠CAF=40°，理由为：∵∠BMC是△MDC的外角，∴∠BMC=∠MDC+∠MCD，
∵∠MDC是△ABD的外角，∴∠MDC=∠BAC+∠ABD，∵AF∥CE，∴∠MCD=∠CAF，
∴∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，∴120°=80°+∠ABD+∠CAF，
∴∠ABD+∠CAF=40°.
②补全图形见下图，∠CAF-∠ABD= 40°
∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=∠BAC+∠ACE，∵∠BEC是△BME的外角，
∴∠BEC=∠BME+∠ABD，∴∠BAC+∠ACE=∠BME+∠ABD，∵AF∥CE，∴∠ACE=∠CAF，
∴∠BAC+∠CAF=∠BMC+∠ABD，∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，∴80°+∠CAF=120°+∠ABD，
∴∠CAF-∠ABD= 40°
