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专题 02 三角形的全等六大重难模型
实战训练
一．一线三等角模型
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点
B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）
2．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示 M为边OB上一点，且点M的坐标为
（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐
标为（ ）A．（b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣b，a） D．（﹣a，﹣b）
3．问题提出
在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上（不同时在点A），
连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，探究AF与BC的位置关
系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出AF与BC的位置关系；
（2）再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图3，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AB的中点，点E在边AC上，连接
DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，点G是点C关于直线AB的对称点，若点
AE
G，D，F在一条直线上，求 的值．
EC
4．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是
格点．
（1）小明发现图2中∠ABC是直角，请在图1补全他的思路；
（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．
先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．从
而可得三边数量关系为 ，根据 ，可以证明∠ABC是直角．5．如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点
F．
求证：△ABE≌△CAF．
6．【问题提出】
（1）已知：如图 1，AD⊥DE 于点 D，BE⊥DE 于点 E，点 C 在线段 DE 上，AC＝BC 且
AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．
【问题解决】
（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝
5cm，CD＝6cm，求CE的长．
二．手拉手模型--旋转
7．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且
AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB
＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ．（把你
认为正确结论的序号都填上）8．如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝ ，则∠BCE＝
． α
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线
段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，则线段CP的最小值 ．
10．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC＝∠BDC＝ ．
（1）【特例体验】 α
如图1，AB＝BC， ＝60°，则∠ADB的度数为 ；
（2）【类比探究】α
如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
（3）【拓展迁移】
CD
如图3， ＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出 的值（用k
AB
α
的代数式表示）．三．倍长中线模型
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的
中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则
∠E＝ ．
12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 ．
13．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上
的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，
可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断
中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点
F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
四．平行+中点模型
14．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石
凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是
否相等？说出你推断的理由．
15．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM＝PN，
MF∥AN，
（1）求证：△PMF≌△PNC；
（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．
16．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD+BC＝DC．五．角平分线+垂直模型
17．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ ．
（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点
F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 °．
19．如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上
取点Q使得BQ＝BP．
（1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理
由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条
线段之间的数量关系为： ．
六．半角模型
20．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
1
且∠EAF= ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
2
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
1
且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之
2
间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线
1
上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写
2
出它们之间的数量关系，并证明．
21．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．
E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是
什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．先证明
△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得
线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给
2
出证明；若不成立，请说明理由．
