文档内容
压轴题 10 圆的五种考法
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................1
类型一、四点共圆........................................................................................................1
类型二、圆中最值问题..............................................................................................14
类型三、定点定长构造辅助圆..................................................................................22
类型四、定弦定角构造辅助圆..................................................................................26
类型五、对角互补构造辅助圆......................................................................................33
压轴能力测评（10题）.............................................................................................40
类型一、四点共圆
一．填空题
1．（2022秋•大丰区期中）如图， 中， ， ， ．以 为弦的圆分别交
、 于 、 两点．点 在 边上，且满足 ．若 ，则 的面积的
最小值是 ．
二．解答题
2．（2022秋•建湖县期中）如图，在 的内接四边形 中， ， 是四边形 的一个外角．
（1）若 ，则 ；
（2）过点 作 于 ，判断 、 、 之间的数量关系并证明；
（3）若 、 ，求 的值．
3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△ 中，点 ， 为 ， 上的点， ， ， 交
于 ，△ 与△ 的外接圆相交于点 （异于 ， ， 分别为△ 和△ 的垂心．
证明：（1） 平分 ；
（2） ， ， 三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分）
4．（2022 秋•沙坪坝区校级期中）在 中，已知 ，作 ， 是 上一点，
，连接 、 ，在 上截取 ，连接 ．（1）如图1所示，若 ， ，求 的周长；
（2）如图2所示，若分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，求证： ；
（3）如图3所示， ， ，将 沿着直线 翻折得到 ，连接 ，直线 交
于点 ， 为 中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积．
5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、 ；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图 ；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图 ．
（1）在图1、2中，取 的中点 ，根据 得 ，即 ，
， ， 共圆；（2）在图3中，画 经过点 ， ， （图 ．假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ，
可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点 也不会落在 内，即 ， ， ， 共圆．
结论Ⅲ同理可证．
（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形 的高 ， 相交于点 ，射线 交 于点 ．
求证： 是 的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
（4）如图7，点 是 外部一点，过 作直线 ， ， 的垂线，垂足分别为 ， ， ，且
点 ， ， 在同一条直线上．求证：点 在 的外接圆上．
类型二、圆中最值问题
一．填空题
1．（2022秋•长沙期中）如图， 的半径为1， ， 为 的切线，切点为 ， ， ，
点 为劣弧 上一动点，过点 作 的切线，分别交 ， 于点 ， ， 的最小值是
．
二．解答题2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系 中的图形 和点 给出如下定义； 为图形
上任意一点，若 ， 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的 倍，则称点 为图形
的“ 分点”．
已知点 ， ， ， ．
（1）①在点 ， ， 中，线段 的“ 分点”是 ；
②点 ，若点 为线段 的“二分点”，求 的值；
（2）以点 为圆心， 为半径画图，若线段 上存在 的“二分点”，直接写出 的取值范围．
3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，点 在 轴的正半轴上，且 ，以点 为圆心，1为半径画 ，与 轴交于点 （点 在点 的下方），点 是
的中点，点 是 上的一个动点，从点 开始以5度 秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间
为 秒．
（1）如图1，连接 ，当 时，求 的值；
（2）如图2，点 在运动过程中，连接 ，以 为边在左侧作等边 ，
①当 秒时，求点 的坐标；
②连接 ，当 最大时，求此时 的值和这个最大值．
类型三、定点定长构造辅助圆
一．填空题
1．（2023秋•常州期中）如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一点， ，
点 为线段 的中点，连接 ， 的最大值为 ．
二．解答题2．（2022秋•秀洲区期中）如图， 中， ， ，过点 任作一条直线 ，将
线段 沿直线 翻折得线段 ，直线 交直线 于点 ．
（1）小智同学通过思考推得当点 在 上方时， 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成
以下推理过程：
，
、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上．
．
（2）若 ，求 的长．
（3）线段 最大值为 ；若取 的中点 ，则线段 的最小值为 ．
类型四、定弦定角构造辅助圆
一．填空题
1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形 的边 ， ， 为 的中点， 是矩形内部
一动点，且满足 ， 为边 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为
．
二．解答题2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可
以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．
①已知：如图1， ，若 ，求 的度数．
解：若以点 为圆心， 为半径作辅助圆， 是 的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得
到 ．
②如图2，点 为正方形 内一点，且 ，若 ，求 的最小值．
解： ， ， 点 在以 为直径的圆上，
设圆心为点 ，则 、 、 三点共线时 最小，最小值为 ．
（2）【问题解决】
①如图3，在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 是 边上一动点（点
不与 ， 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为 ．
②如图4，△ 中， ， ， ， 为 上一动点，以 为直径的 交 于
，求线段 的最小值．
（3）【问题拓展】
如图5，在平面直角坐标系中，已知两点 ， ， 轴上有一动点 ，当 最大时，直接写
出点 的坐标 ．
3．（2022秋•泗洪县期中）已知： 和 外一点 ．（1）如图甲， 和 是 的两条切线， 、 分别为切点，求证： ．
（2）尺规作图：在图乙中，过 点画 的两条切线 、 ， 、 为切点（要求：保留作图痕迹，
不写作法）．
类型五、对角互补构造辅助圆
1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在 中， ， 平分 ，且 于点
．
（1）判断 的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若 ， ， ，求 的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，作
交 于点 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由．2．（2021秋•西城区校级期中）如图， 为等边三角形，点 是线段 上一动点（点 不与 ，
重合），连接 ，过点 作直线 的垂线段，垂足为点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，求证： 为 的中点；
（3）若 的边长为1，直接写出 的最大值．
3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在 中， ， ，直线 是过点 的直
线 于点 ，连接 ．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段 ， ， 之间有什么数量关系．经过观察思考，小
明出一种思路：如图1，过点 作 ，交 于点 ，进而得出： ．
（2）探究证明
将直线 绕点 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 ， ， 之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线 绕点 旋转的过程中，当 面积取得最大值时，若 长为1，请直接写 的长．1．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在 中，直径 ， 于点 ， ．点 是弧
上动点，且与点 、 不重合， 是直径 上的动点，设 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．解答题
2．（2023秋•义乌市期中）如图1，在 中， ， ， ， 是 的中点．
经过 ， ， 的 交 于 点．
（1）求 的长．
（2）当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动点 ．记 ， ．
①求 关于 的表达式．
②连结 ，当 的面积最大时，求 的值．
（3）如图2，连结 ， ，延长 交 于点 ，连结 ．当 与 中的某一边相等时，求
四边形 的面积．
