专题08圆中的最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（苏科版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2025版

专题 08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ....................................................................................................................................................1 模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1 ..................................................................................................................................................13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且 k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为 阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 P A B O如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即 ）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即 ），∵ ，∴ ， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴ ，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中 P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D是平面上一点，且 ， 连接 ，则下列说法正确的是（ ） A． 长度的最大值是9 B． 的最小值是 C． D． 面积的最大值是40例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的 一个动点，则 的最大值为_______． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心 作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则 PA+PC的最小值为 ． 例4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图， 的半径为 ， ， ， ， 点 为圆上任意一点，连接 ，则 最小值为 ． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形 边长为 4， 是 的中点， 在 上，的最大值是 ， 的最小值是 . 例6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形 边长为4，点 分别在边 上，且满足 交于 点， 分别是 的中点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． A2,0 B0,2 C5,2 D4,4 例7．（2024·江苏·九年级阶段练习如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ， APB135 2PD4PC 点P在第一象限，且 ，则 的最小值为 ． 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点 且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P 是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4， ∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ，以 为圆 心，4为半径作圆 ，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则 最小值为（ ）． A．13 B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 上的动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．3 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，D为弧 的中点，M是弦 上任意一点（不与端点A、C重合），连接 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D．4 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰 中， ， ， 是 上 一点，以 为圆心的半圆与 、 均相切， 为半圆上一动点，连 、 ，如图，则 的最 小值是 ． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， ， ， ， 为 上的一段弧， 且 ，分别在 、线段 和 上选取点 ， ， ，则 的最小值为 ．6．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点， ，连接 交于点P，则 的最小值为 ． 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ΔABC中， ， ， ，以点 为圆心，6为半径的圆上有一个动点 ．连接 、 、 ，则 的最小值是 ． 8．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的 圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 . 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，6为半径的圆上有一动点 ，连接 、 、 ，则 的最小值是 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ， ， ，D、E分 别是边BC、AC上的两个动点，且 ，P是DE的中点，连接PA，PB，则 的最小值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，D、E分 别是边 、 上的两个动点，且 ，P是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在 中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为 半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则 最小值为 ．13．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 内一动点，且满足 ，则 的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在 中， ， ， ， 的半径为 ， 为圆上一动点，连接 ，求 的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接 ，在 上取一点 ，使 ，则 ．又 ，所以 ．所以 ．所以 ，所以 ．请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ， 是 上一点， 求 的最小值． 15．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上， 交x轴于A，B两点，连接 并延长交 于 C，过点C的直线 交x轴于D，交y轴于点E，且 的半径为 ， ． (1)写出点B，P，C的坐标；(2)求证： 是 的切线； (3) 上有一动点M，求 的最小值． 16．（2024·江苏无锡·一模）如图，等边 中， ，点 在 上，从A向 运动，运动速度 为1cm/s；点 在 上，从 向 运动，运动速度是 ，两点同时出发，设运动时间为 ，当一点到达 终点时，另一点停止运动．连接 、 ，交点为 ． (1)若 ，求 的度数； (2)在（1）的条件下，取 中点 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为______； (3)若 ，求 为何值时， 的值最小，并求出最小值是多少？