文档文本内容
专题03 费马点模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、问题引入........................................................................................................................2
2、如何作出费马点............................................................................................................2
3、模型证明........................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................5
巩固练习...................................................................................................................................11
压轴真题强化...........................................................................................................................15
皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，
除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提
出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，
我就不写了吧。然后，直到1995 年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了
330 年。
费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。
解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和
最小”的模型，进而求出最小值。
专题目录
模型解读
1、问题引入
问题：如图，在△ABC 内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC 的值最小.
解答：若点P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC 的值最小，P 点称为三角形的费
马点.
2、如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC 为边作等边△ABD 与等边△ACE，
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，
第三步：此时CD、BE 的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC 为边，作等边△BCF，连接AF，AF 必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.
常见类型讲解
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC 中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，
对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小
于120º.
3、模型证明
证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么
就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB 与△ACD 中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM 与△DAM 中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；
在PD 上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG 为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º，
∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD 为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC 中任取一个异于点P 的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ 绕着点A
顺时针方向旋转60º 得到
，则△ABQ 与
重合，且
在线段DQ 上或DQ 外，易证
是等边三角形.
由题意可得
，即CD 为最短的线段.
（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如
果ABC
是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足
120
APB
BPC
CPA
．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若
7,
2 3
AB
AC
BC
，P 为ABC
的费马点，则PA
PB
PC
_________；若
2 3,
2,
4
AB
BC
AC
，P 为ABC
的费马点，则PA
PB
PC
_________．
【答案】 5
【详解】①如图,过
作
，垂足为
,
过
分别作
, 则
, P 为
的费马点
真题演练
5
②如图：
.
将
绕点
逆时针旋转60
由旋转可得：
是等边三角形，
P 为
的费马点
即
四点共线时候，
=
故答案为：①5，②
（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，D 为△ABC 内部的一动点
（不在边上），将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置，使点A 到达点E 的位
置，连接AD，AE，AF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE 的最小值为 ；
②当CD+DF+FE 取得最小值时，求证：AD//BF．
（3）如图2，M，N，P 分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，
求出其度数，请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）①
；②见解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA 与△BFE 中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E 共线时CD+DF+FE 最小，
∴CD+DF+FE 最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=
，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=
，
故答案为：
；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF 为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E 共线时CD+DF+FE 最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN 的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
∵M，N，P 分别是DF，AF，AE 的中点，
∴MN∥AD 且PN∥EF，
∵AB=BE 且∠ABE=60°，
∴△ABE 为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=
AD=
FE=PN，
∴∠MPN=
(180°-∠PNM)=30°．
（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在
同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家
和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被
称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”
中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填
写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，
如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由
，可知
为 ①
三角形，故
，又
，故
，
由 ②
可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，
此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有
③
；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，则该三角形的“费马点”为 ④
点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的“费马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．
现欲建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成
本分别为a 元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为
___________元．（结果用含a 的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③
；④A．
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵
，
∴
为等边三角形；
∴
，
，
又
，故
，
由两点之间线段最短可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，
最小值为
，此时的P 点为该三角形的“费马点”，
∴
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴三个顶点中，顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③
；④
．
（2）将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由（1）可知当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，最小值为
，
∵
，
∴
，
又∵
∴
，
由旋转性质可知：
，
∴
，
∴
最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当
最小时，总的铺设成本最低，
将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由旋转性质可知：
，
，
，
，
∴
，
∴
，
当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，即
取最小值为
，
过点
作
，垂足为
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
总的铺设成本
（元）
故答案为：
背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题
是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度
数，为了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以
利用旋转变换，将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作
等边三角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同
学们探索以下问题．
(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．
(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马点，连接
、
、
，求
的值．
巩固练习
(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3)
；
(4)
．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵
≌
，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC 中，PC=5，
，
∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵
，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，
∴点P 在CB′上，
∴
过
的费马点．
（3）解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
最小=CB′，
∵
，
，
，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴
最小=CB′=
；
（4）解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB 延长线
于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵
，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，
最小=AB′，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=
，BF=
，
∴AF=AB+BF=2+
，
∴AB′=
，
∴
最小=AB′=
．
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）如图，在
中，P 为平面内的一点，连接
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．36
C．
D．
【答案】A
【详解】分别以
、
为边在下方构造等边三角形
、
，分别取
、
中点
，连接
，如图所示，
压轴真题强化
∵取
、
中点
，
∴
，
∵等边三角形
，
∴
，
∵等边三角形
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
三点共线时
最小，
∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故选：A．
二、填空题
2．（22-23 九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数
学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点
、
、
，求平面
上到这三个点的距离之和最短的点
的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何
解法．如图1，我们可以将
绕点
顺时针旋转60°得到
，连接
，可得
为等边三
角形，故
，由旋转可得
，因
，由两点之间线段最短
可知，
的最小值与线段
的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形
内部有一动点
，
，
，连接
，
，
，若
，求
的最小值 ．
【答案】
【详解】解：将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，作
交
的延长
线于点
，
在
中，∵
，
，
∴
，
由旋转的性质可知：
，
、
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
共线时，
的值最小，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
三、解答题
3．（23-24 九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形
是正方形，
是等边三角形，
为对角线
（不含
点）上任意一点，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
、
、
．
(1)求证：
；
(2)当
的最小值为
时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)正方形的边长为
【详解】（1）证明，
是等边三角形，
，
．
由旋转的性质可得
，
．即
，
．
（2）解：连接
，
由（1）知，
，
，
，
，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若
、
、
、
在同一条直线上时，
取得最小
值，最小值为
．
过
点作
交
的延长线于
，
．
设正方形的边长为
，则
，
．
在
中，
，
．
解得
，
（舍去负值）．
正方形的边长为
．
4．（2020·重庆·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是BC 边上一动点，
连接AD，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F 是DE 的中点，连接CF．
（1）求证：
；
（2）如图2 所示，在点D 运动的过程中，当
时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想
AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P，使
的值最小．当
的值取得最小值时，AP 的长为m，请直接用含m 的式子表示CE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
【详解】解：（1）证明如下：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴在
和
中
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，F 为DE 中点（同时
），
，
∴
，即
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）连接AF，由（1）得
，
，
，
∴
，
在
中，
，
∵F 为DE 中点，
∴
，
在四边形ADCE 中，有
，
，
∴点A，D，C，E 四点共圆，
∵F 为DE 中点，
∴F 为圆心，则
，
在
中，
∵
，
∴F 为CG 中点，即
，
∴
，
即
；
（3）如图1，在△ABC 内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到
△EBD，得到△BPD 为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当
的值取得最小值时，点P 位于线段CE 上；
如图2，将三角形ACP 绕点C 顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG 为等边三角形，所以
PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当
的值取得最小值时，点P 位于线段BF 上；
综上所述：如图3，以AB、AC 为边向外做等边三角形ABE 和等边三角形ACF，连接CE、BF，则
交点P 为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，
如图4，同理可得，
，
∴
，
设PD 为
，
∴
，
又
，
∴
，
又
∴
．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在
中，
，
，P 为
内一点，求
的最小值．为了求
的最小值，小明是这样做的：将
绕点A 顺时针旋转60°得到
，则
，连接
．此时小明发现
，且
，则
为等边三角形，于是
．试着根据小明的思路，求出
的最
小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地
，其中
米，
米，点E 在
边上
且
米，F 为
边上任意一点，点A 关于
的对称点为
．牧场主欲在四边形
的四
条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B 点、C 点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形
内一点
P 处打一口井，并修建地下管道
，
，
．请问：是否存在一点P，使
的值最
小？如果存在，请求出
的最小值及此时
的长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，
的最小值为300，
的长为
米
【详解】解：（1）如图①，连接
．
根据小明的思路可知，
，
，则
．
∵
，
，
在
中，
，
当C，P，
，E 四点共线时取得最小值，
的最小值为
．
（2）存在．∵点A，
关于
对称，
米，
点
在以点E 为圆心，50 米为半径的圆弧上．
如图②，连接
，作点A 关于
的对称点
，则点
的轨迹为弧
．
由（1）同理可得，将
绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
，
，
，
．由旋
转的性质得
，
，
，
为等边三角形，
，
∵
，
米．
当E，
，P，
，C 五点共线时，
取得最小值，最小值为
，此时点
为
与弧
的交点．
过点
作
于点H，交
于点M．
∵
，
为等边三角形，
米．
∵
，
，
，
（米），
在
中，
（米）．
易得
米，
米，
则
（米），
（米），
在
中，
（米），
（米），
的最小值为300．
设
交
于点N，过点B 作
于点Q．
，
，
，即
，
米，
米，
米，
，
，
，
，
米，
易知当
取得最小值时，
，
在
中，
（米）．
答：
的最小值为300，此时
的长为
米．
6．（2021·重庆·一模）如图，
和
均为等腰直角三角形，
．现将
绕点C 旋转．
（1）如图1，若
三点共线，
，求点B 到直线
的距离；
（2）如图2，连接
，点F 为线段
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，若点G 在线段
上，且
，在
内部有一点O，请直接写出
的最小值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
．
【详解】解：（1）∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
（SAS），
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵若
三点共线，
∴
，
如图，过B 点作BH⊥CE 交CE 延长线于点H，
∴
，
∴
，
即：点B 到直线
的距离为
；
（2）延长CF 到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB，
，
∴
（SAS）
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
（SAS），
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
（3）
的最小值为
；
过程如下：如解图3，过点G 作
，且
，过点G 作
，且
，连
接OC、
、
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，仅当C、O、
、
在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点
作
，垂足为H，过点
作
，垂足为P，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为：
，
∴
的最小值为
．
