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专题 35 最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
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模型1.费马点模型...........................................................................................................................................1
模型2.加权费马点模型.................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................20
模型1.费马点模型
结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。
图1 图2 图3
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 中， ，点 为
内部一点，则点 到 三个顶点之和的最小值是 ．
例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 边上
一动点，将 沿着 翻折，使得点 落在点 处，矩形内有一动点 连接 则
的最小值为 ．
例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知 所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在
1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图
2，把 绕A点逆时针旋转 得到 （点P，C的对应点分别为点 ， ），连接 ，则
， ．
∵______，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P是 的“费马点”．
任 务 ： （ 1 ） 横 线 处 填 写 的 条 件 是 ______ ； （ 2 ） 当 点 P 是 的 “ 费 马 点 ” 时 ，
______；
（3）如图 3，△ABC 中， ， ，E，F 为 BC 上的点，且 ，判断
之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ， ，
AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 的
最小值是______．
例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三
个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求
的点被人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当
时，则 取得最小值．(1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数，为
了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，
将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下
问题．(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证：
过 的费马点．(3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马
点，连接 、 、 ，求 的值．(4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，
连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值．例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上， 公里，
公里，现在要设立两个车站E，F，则 的最小值为______公里．
模型2.加权费马点模型
结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）
证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
x z
y( AP+BP+ CP)
y y
如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP= ，如图，B、P、P、A 四点共线时，取得最小值。
2 2
例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形 和矩形 中， ， ， ,
．矩形 绕着点A旋转，连接 ， ， ， ．(1)求证： ；(2)当 的长度最大时，①求 的长度；②在 内是否存在一点P，使得
的值最小?若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·重庆·二模）已知 中 ，点 和点 是平面内两点，连接 ， 和 ，
．
(1)如图1，若 ， ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 和 ，点 为
中点，点 为 中点，连接 和 ，若 ，求证： ；(3)若 ，
，当 取得最小值，且 取得最大值时，直接写出 的面积．
例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边 中，点D是边 上一点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，则 ， ，连接 交 于点F，交 于点H．
(1)如图1，当点D为 中点时，且 ，求 的面积；(2)如图2，猜想线段 、 、 之间
的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若 ，在 内部有一个动点P，连接 、 、 ，
直接写出 的最小值．
1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形 内一点，且 ， ，N为
边 上一点，连接 、 、 ，则 的最小值为______．
2．（2023·广东深圳·二模）如图， 是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点， ， （点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为 时，正方形的边
长为______．
3.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在 ABC内存在一点P，使它到三角形顶
点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值△为费马距离．经研究发现：在锐角
ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角 ABC的费马点，且PA＝3，
△PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ． △
4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形 中， ，点E是 的中点，点F是 边上一
动点．将 沿着 翻折，使得点B落在点 处，若点P是矩形内一动点，连接 ，则
的最小值为 ．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中，P为平面内的一点，连接 ，若
，则 的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．6．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形 的边 上的动点，
于点F，G在 上，且 ，P是平面内一动点，H是 上的动点，则
的最小值为 ．
7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如 可看做是图一中 的长， 可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在 中有一点 使得 的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将 绕 点向外旋转 得到 ，并连接 易得 是等边三角形、 ，则 ，
则 ，所以 的值最小为 ．
请结合以上两材料求出 的最小值8．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边 与等边
共一个顶点时，无论怎么摆放可通过 恒有 ．于是提出了如下问题．
【问题证明】（1）如图2，M是等腰 内一点，N是等边 内一点，且满足 ．
求证： 是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰 内一点，当点M到三角形3个顶点的距离
之和，即 最小时，我们把M点称为等腰 的“紫荆点”．若M是等腰 的紫
荆点，求 ．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令 ， 分别是等腰 ，等边 内一点，且满足 ∴
∵ 是等边三角形 ∴ ，
由 ① 可知：∴ 的最小值 的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰 的紫荆点
∴ ③ ； ④ ∴
【拓展提升】（3）甲同学发现等腰 “紫荆点”的作法：如图5，已知 ，在AB的左侧作等
边 ．连接 ，与 的角平分线 交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？
请说明理由．9．（2024·陕西西安·二模）问题提出
(1)如图1，在等边 内部有一点P， ， ， ，则 ______．
问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图， ， ， ，
， ， ．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观
赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且 ， ．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观
光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数
式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在 中， ， ，P为 内
一点，求 的最小值．为了求 的最小值，小明是这样做的：将 绕点A顺时
针旋转60°得到 ，则 ，连接 ．此时小明发现 ，且 ，则 为等
边三角形，于是 ．试着根据小明的思路，求出 的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地 ，其中 米， 米，点E在 边上且
米，F为 边上任意一点，点A关于 的对称点为 ．牧场主欲在四边形 的四条边上装
上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形 内一点P处打一口井，
并修建地下管道 ， ， ．请问：是否存在一点P，使 的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时 的长；如果不存在，请说明理由．
11．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：
（1）把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1的图案，则 的度数为________；
图1 图2 图3
迁移应用：（2）如图2，在正方形 中，E是 边上一点（不与点C、D重合），连接 ，将
绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G，求证： ；
拓展延伸：（3）如图3，在菱形 中， ，E是 边上一点（不与点C、D重合），连接 ，
将 绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G．
①线段 与 的数量关系是________②连接 ，点P为 内一点，连接 ．若 ，
则 的最小值为________．
12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在 中， ， ，
于点D．点G是射线AD上一点，过G作 分别交AB、AC于点E、F：(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证： ；
(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并
说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出 的最小值．
参考公式：
13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王
的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的
私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一
条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了
费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为 ABC的费
马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 BPC绕点B顺时针
旋转60°得到 BDE，连接PD，可得 BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，
在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在 ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE
最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．14.（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在 内部有一点 ， 是正三角形，连接
、 、 ，将线段 绕 顺时针反向旋转 至 ，①求证： ；②调整P点的位
置，使 最小，求此时 和 的大小.（2）如图在直角三角形 中， ，
，在其内部任取一点 ，求 的最小值.
15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同
一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学
家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡
营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故
，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，
则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为 的“费马点”，求 的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲
建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a
元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结
果用含a的式子表示）
16．（2024·广东·一模）如图， 和 均为等腰直角三角形，
．现将 绕点C旋转．
（1）如图1，若 三点共线， ，求点B到直线 的距离；（2）如图2，连接 ，点F
为线段 的中点，连接 ，求证： ；（3）如图3，若点G在线段 上，且 ，在 内部有一点O，请直接写出 的最小值．
