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专题 34 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1
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模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且
k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为
阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
P
A B O如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即 ），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即 ），∵ ，∴ ，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴ ，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中
P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D是平面上一点，且 ，
连接 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 长度的最大值是9 B． 的最小值是
C． D． 面积的最大值是40
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则 的最大值为_______．
A D
P
B C
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则
PA＋PB的最小值为________．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半
径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆
心3为半径的圆上，则 的最小值为 ．例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边
、 上的两个动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形 中，M为 上一点，且 ，N为边
上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P与点B对应，连接 ，则
的最小值为 ．
例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点
且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P
是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，
∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点
为 上一个动点，请求出 的最小值．1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E为 边上一动点，将
沿 翻折到 的位置，点A与点F重合，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形 中 ， ，点 是矩形 内部一个
动点，且 ，连接 ，则 三分之二 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E为 边上一动点，将
沿 翻折到 的位置，点A与点F重合，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．4 D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在 中， ， ， ，以 为圆心， 为
半径作 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点P为边 的中点，点E在
边 上，连接 ，点F为 上的动点，则 的最小值为 ．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形 边长为8， 为 中点， 为 上的动点，
为 上的点，且 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点，，连接 交于点P，则 的最小值为 ．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上（不与顶点重
合），且满足 ，连接 ， 交于点 ． ， 分别是边 ， 的中点，连结接 ， ．
若正方形的边长为 ，则 的最小值为 ．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径
AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋ EF 的最小值为
．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形 的边长是4， 的半径是2，点E是 上
一动点，连接 ， ．则 的最小值= ．11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在 中， ， 的半径为2，D是
上一动点，点E在 上， ，连接 ，则 的最小值
12．（2024·四川·校考一模）如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且 ，
， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰 中， ， ， 是 上
一点，以 为圆心的半圆与 、 均相切， 为半圆上一动点，连 、 ，如图，则 的最
小值是 ．14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点，
，连接 交于点P，则 的最小值为 ．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径
的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，D、E分
别是边 、 上的两个动点，且 ，P是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在 中， ， ，
，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使
，则 ．又 ，所以 ∽ ．所以 ．
所以 ，所以 ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ，P是 上一点，
求 的最小值．
18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 ，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 ，得 所以 ．
又因为 ，所以 最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 最小
值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面
积的最大值为 ．19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、
，若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点．
(1)如图2，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则
点 是 关于点______的勾股点；若点 在格点上，且点 是 关于点 的勾股点，请在方格纸
中画出 ；(2)如图3，菱形 中， 与 交于点 ，点 是平面内一点，且点 是 关于
点 的勾股点．①求证： ；②若 ， ，则 的最大值为______（直接写出结果）；
③若 ， ，且 是以 为底的等腰三角形，求 的长．
(3)如图4，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点，
那么 的最小值为______（直接写出结果）．20．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， 交 于点 ， 为
线段 上一动点，连接 ．(1)如图1，连接 ，若 是 的角平分线且 时，求
的度数．(2)如图2，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 交线段
于点 ，连接 ，若点 为线段 的中点，求证： ．(3)如图3，在（2）的基础上，
若 ，将 绕点 顺时针旋转 角度 ，旋转后 对应 ，点
对应的点为 ，连接 ， ， ．旋转过程中，当线段 与线段 存在交点 且
时，记 ；当 取得最小值时，记为 ．请直接
写出 的值．
