文档内容
专题 10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是
圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
例2．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P是以边 为直径的
上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为
．例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中， ，O是BC边的中点，点E是正
方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线
段OF长的最小值．
D
A
E F
B O C
例4．（2020·凉山州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是
BC上一动点，若将 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 ．
例5．（2022·湖北·武汉模拟预测）如图，在矩形ABCD中，动点E、F分别从C、D两点同时出发在边
BC、CD上移动（其中一点到达终点时另一点也随之停止），其中点F的运动速度是E的两倍，连接AF
和DE交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，CD＝2，线段CP的最小值是
____________．
例6．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边 内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作 ，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
课后专项训练
ABCD CF,DF
1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，已知正方形 的边长为6，点F是正方形内一点，连接 ，
ADF=DCF AD EB,EF EBEF
且 ，点E是 边上一动点，连接 ，则 长度的最小值为________．
2．（2022·湖北·武汉九年级阶段练习）如图， 是 的直径， ，C为 的三等分点（更靠近A
点），点P是 上一个动点，取弦 的中点D，则线段 的最大值为__________．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A
按顺时针方向旋转α度（0 α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长
度的最小值为 ．4.（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形 中， 与 交于点O， ，
， ．点P从B点出发沿着 方向运动，到达点O停止运动．连接 ，点B关于直线
的对称点为Q．当点Q落在 上时，则 = ，在运动过程中，点Q到直线 的距离的
最大值为 ．
5．（2022·江苏无锡·校考二模）已知在矩形 中， ， ，O为矩形的中心；在
中， ， ， ．将 绕点A按顺时针方向旋转一周，则 边上的高为 ．
连接 ，取 中点M，连接 ，写出 的取值范围 ．
6．（2023·安徽黄山·校考一模）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，将
沿直线 折叠得到 ，作直线 交线段 于点 ．当 有最小值时， 的长是 ．7．（2023·福建福州·学校考模拟预测）如图，已知正方形 的边长为3，动点P满足 ，将点P
绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接 ，则 的最大值是 ．
8．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，正方形 的边长为6，正方形 的边长为 ，将正方形
绕点C旋转， 和 相交于点K，则 的最大值是 ．连结 ，当点C正好是 的内心时，
的长是 ．
9．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图， ，线段 的两个端点分别在射线 、 上滑动，
且 ，以 为直角边在点 的异侧作 ，且 ， ，问滑动过程中 的最
大值为 ．10．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正
方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段
CF长的最小值为 ．
11．（2022秋·江苏·九年级统考期中）如图，正方形 中， ， 是 的中点．以点 为圆心，
长为半径画圆，点 是 上一动点，点 是边 上一动点，连接 ，若点 是 的中点，连接
、 ，则 的最小值为 ．
12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，射线 满足 ，
点 为射线 上的一个动点，过 作 轴于 ，过 作 射线 交 延长线于点 ，连接
并延长交 于点 ，过 作 射线 交 轴于点 ．
（1）若 ，则C坐标为 ；（2） 的最大值为 ．13．（2022·广东江门·校考一模） 中， ， ，点 为 的对称轴上一动点，
过点 作 与 相切， 与 相交于点 ，那么 的最大值为 ．
14．（2022秋·山东淄博·九年级淄博市博山区第六中学校考期末）已知 的直径 为4cm，点 是
上的动点，点 是 的中点， 延长线交 于点 ，则 的最大值为 cm．
15．（2021·广东梅州·统考一模）如图，已知 ，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若
且 ，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
16．（2023·重庆·统考中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连
接 ．
(1)如图1，若 ， ，求线段 的长．(2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点
是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ． 若 ，求证： ．(3)在
取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将 沿
所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时 的
值．
17．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 的最小值．【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 ，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 ，得 所以 ．
又因为 ，所以 最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，
求 的最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD=
3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作 ，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯
一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．
(1)请你帮助解决小丽同学提出的问题：
①该弧所在圆的半径长为______；② 面积的最大值为______；
(2)【类比探究】小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为 ，请你证明 ；
(3)【问题拓展】结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，
过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两
个，求m的取值范围．
