专题11特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题 11 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ A A Q Q B P C B P N M C 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变， 若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的 坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合 适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形 中，点 是 上一动点，点 是 的中点， 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ．则 ______，若正方形 的边长为2，则 点 在射线 上运动时， 的最小值是______． 【答案】 / 度 【分析】如图1所示，延长 交 的延长线于点 ，由“ ”可证 ，可得 ， 由直角三角形的性质可得 ，由三角形内角和定理可求 ，可得 ，即可求出 ；如图2所示，连接 ，过点 作 于 ，由 ，知点 在直线 上运动，即得当 时， 有最小值为 的长度，而 ， 即 有最小值为 ． 【详解】解：如图1所示，延长 交 的延长线于点 ，点 是 的中点， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 又 ， ， 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2所示，连接 ，过点 作 于 ， ， 点 在直线 上运动， 当 时， 有最小值，最小值为 的长度， ， ， ，即 有最小值为 ，故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边 上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 例2．（2023·四川内江·校考一模）如图，矩形 中，已知 ，点F是 上一 动点，点P是 的中点，连接 ，则 的最小值为________．【答案】 【分析】据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段 ，再根据垂线段最短可得当 时， 取 得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 ，故 的最小值为 的长，由勾股定理求解 即可． 【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在 处， ， 当点F与点E重合时，点P在 处， ，∴ 且 ． 当点F在 上除点C、E处的位置时，有 ． 由中位线定理可知： 且 ．∴点P的运动轨迹是线段 ， ∴当 时， 取得最小值．∵矩形 中， ，E为 的中点， ∴ 为等腰直角三角形， ．∴ ． ∴ ．∴ ．∴ ，即 ，∴ 的最小值为 的长． 在等腰直角 中， ，∴ ∴ 的最小值是 ．故答案是： ． 【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 例3．（2023·绵阳市·八年级期中）如图，菱形ABCD中，AB12，ABC 60，点E在AB边上，且 BE2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF，连接AF ，则线段 AF 长的最小值为__ ．4 3 【答案】 【分析】在BC上取一点G，使得BGBE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T ，过点A作AH GF 于H．证明BGF 120，推出点F 在射线GF 上运动，根据垂线段最短可知，当点F 与H重合时，AF 的值最小，求出AH 即可． 【详解】解：在BC上取一点G，使得BGBE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T ，过点A作 AH GF于H．B60，BEBG，ΔBEG是等边三角形，EBEG，BEGBGE60，  PEPF，EPF 60，ΔEPF是等边三角形，PEF 60，EF EP， BEGPEF，BEPGEF，  BEGE  BEPGEF 在 和 中， ， ， ΔBEP GEF   PEPF ΔBEPΔGEFSAS EGF B60，BGF 120，点F 在射线GF 上运动， 根据垂线段最短可知，当点F 与H重合时，AF 的值最小，  AB12，BE2AE，BE8，AE4，BEGEGF 60，∴GT//AB∵BG//AT 四边形ABGT 是平行四边形，AT BGBE8，ATH B60， 1 TH  AH ∴ 在 中， TAH 30 2 RtATH AT2TH2  AH2 1 ∴ 82( AH)2  AH2 ， 的最小值为 ，故答案为： ． 2 AH 4 3 ∴ AF 4 3 4 3 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可 得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3， AE＝1，∴BE＝ ，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝ ，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．例5．（2023·江苏宿迁·校考期中）如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为_____． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点 为主动点， 为从动点，所以以点 为旋转中心构造全等关系，得到点 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 最小值． 【详解】由题意可知，点 是主动点，点 是从动点，点 在线段上运动，点 也一定在直线轨迹上运动 将 绕点 旋转 ，使 与 重合，得到 ， 从而可知 为等边三角形，点 在垂直于 的直线 上， 作 ，则 即为 的最小值，作 ，可知四边形 为矩形， 则 .故答案为 ． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点 的运动轨 迹，是本题的关键． 例6．（2023春·江苏·八年级校考期中） ， ， ，E为 上一动点，连接 ， 以 为邻边作 ， 的最小值为_________．【答案】 【分析】根据垂线段最短，得当 时， 有最小值，即 有最小值，过点B作 交 于点F，证明四边形 是矩形，在 中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ∴当 时， 有最小值，即 有最小值，过点B作 交 于点F，∴ ， ∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∴四边形 是平行四边形， ∵ ，即 ，∴四边形 是矩形，∴ ， 在 中， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形和勾股定理，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题． 例7．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点 H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF 的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．【详解】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2 ∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC ∴∠MAC=∠MCA=30°∴∠ACD=90°∴AC=2 在Rt△ACN中，AC=2 ,∠ACN=∠DAC=30° ∴AN= AC= AE=EH，GF=FH∴EF= AG ∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长 AG的最大值为2 ，最小值为 ∴EF的最大值为 ，最小值为 ∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．故答案为 ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度 角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键． 例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图在菱形 中， 为对角线 与 的交点，点 为边 上的任一点（不与 、 重合），过点 分别作 ， ， 、 为垂足，则可以判断 四边形 的形状为___________．若菱形的边长为 ， ，则 的最小值为___________． （用含 的式子表示） 【答案】 矩形 / 【分析】根据菱形的性质即可得到 ，根据 ， 即可得到 ， 根据矩形的判定方法即可判断出四边形 是矩形；根据菱形 的边长为 ， 即可求出 ， ， 的长度，根据四边形 是矩形即可得到，即可判断出当 时， 取得最小值， 也取得最小值，根 据三角形的面积计算方法，即可求出 的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形 是菱形，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴四边形 是矩形； ∵菱形 的边长为 ， ，∴ ， ， ∴ 是等边三角形．∴ ，∴ ，∴ ， ∵四边形 是矩形，∴ ， ∴当 时， 取得最小值， 也取得最小值，此时 ， ∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为：矩形， ． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 课后专项训练 1．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D 是斜边 上的一个动点，过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，点O为 的 中点，则线段 的最小值为（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C【分析】由勾股定理求出 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，再利用三角形面积求出 ，可得 ，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ， ，且 ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 当 时， 的值最小， 此时， ， ， 的最小值为 ，故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对 角线相等． 2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ） A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接 ，作 于点 H．由三角形中位线的性质得 ，由垂线段最短可知当 最小，即点E与点H重合时 的值最 小，然后利用勾股定理求出 的长即可． 【详解】解：连接 ，作 于点H．∵点 ， 分别是 ， 边上的动点，∴ 是 的中位线，∴ ， ∴当 最小，即点E与点H重合时 的值最小．设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为4.8．故选D． 3．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形 中， ， ，M为线段 上一动点， 于点P， 于点Q，则 的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，先证四边形 是矩形，得 ，再由勾股定理得 ，当 时， 最小，则 最小，然后由面积法求出 的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接 ， 于点 ， 于点 ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 四边形 是矩形， ，由勾股定理得： ，当 时， 最小，则 最小，此时， ， 即 ， ， 的最小值为 ，故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的 判定与性质是解题的关键． 4．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 上一动点，连接 ， 点 分别是 的中点，连接 ，则 的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接 交 于点 ，连接 易证得 ，得到点G为 的中点，所以 是 中位线，可得到 ，求 最小值即为求 最小值的一半，随着点E的变化，点M在 上动，即当 时， 有最小值，然后在 中，借助三角函数计算即可． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ，连接 ，过点 作 于点N， ∵点 为 中点，∴ ， ∵四边形 是菱形，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴点G为 的中点， ∵点H为 的中点，∴ 是 中位线，∴ ， ∴求 最小值即为求 最小值的一半，随着点E的变化，点M在 上动，即当 时， 有最小值，即 最小值= ，∵ 是 的中点，∴ ， ∵ ∴ ，∴ ．故答案为： 【点睛】本题主要考查动点最值，根据条件做出辅助线，利用中位线转化所求线段，然后借助点到线距离 垂线段最短计算即可． 5．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形 中， ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点E顺时针旋转 到 的位置，连接 ，则 的最小值为 【答案】 【分析】将线段 绕点E顺时针 旋转得到线段 ，连接 ，连接 交 于点J，首先证明 ，推出点G在射线 上运动，进而得到当 时， 的值最小，，求出 的长即可得到答案． 【详解】解：如图，将线段 绕点E顺时针 旋转得到线段 ，连接 ，连接 交 于点J， ∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴点G在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关 键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 直线 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点的运动轨迹，取 中点H，连接 ，交 于点O，根据四边形 为矩形，得到四边形 为矩形， ，结合点O为 的中点，有 为点P的运动轨迹，则求得当点F与点E重合时 最小． 【详解】解：取 中点H，连接 ，交 于点O，如图， ∵四边形 为矩形，∴ ， ， ， ∵点E为 中点，点H为 中点，∴ ， ，∴四边形 为矩形， ， ∵点O为 的中点，∴ 为点P的运动轨迹， ∵ 在直线 上运动，∴当点F与点E重合时 最小为 ，故答案为： ． 7．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图， ， ，点 是射线 上的任意一点，连接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连 ，则线段 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当 时， 最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设平行四边形 的对角线 、 相交于O，如图， 当 时， 最短， ∵平行四边形 ∴ ， ，∴此时， 最短， ∵ ，∴ ∴ 故答案为： ． 8．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形 的边长为 是边 的中点，点 是 正方形内一动点，且 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， 则线段 的长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，证明 ，可得 ，由勾股定理可得 ，根据 ，即可得出 的最小值． 【详解】解：如图，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，， ， 在 与 中， ， ， ， 正方形 中， ， 是 边上的中点， ， ， ， ， ， 线段 的最小值为8，故答案为：8． 【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全 等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 9．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E 顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 【答案】 【分析】 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， 是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图， 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ，正方形 中， ，将点A绕点E顺时针旋转 得到点F， 是等腰直角三角形 , 在射线 上运动， 则 是等腰直角三角形， 与 点重合时， 取得最小值，等于 即 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得 的轨迹是解题的关键． 10．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上运动（含 B，C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小 值为_____． 【答案】 【分析】如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D作 于H．利用全 等三角形的性质证明 ，推出 ，推出点Q在射线 上运动，求出 ，可得结论． 【详解】解：如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D作 于H．∵四边形 是矩形，∴ ，∵ 都是等边三角形， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴点Q在射线 上运动， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时， 的值最小，最小值为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射 线 上运动． 11．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E 顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 【答案】 【分析】 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图， 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 正方形 中， ，将点A绕点E顺时针旋转 得到点F， 是等腰直角三角形 , 在射线 上运动，则 是等腰直角三角形， 与 点重合时， 取得最小值，等于 即 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得 的轨迹是解题的关键． 12．（2023·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形 中， ， ，点 在 边上，且 ，动点 在 边上，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转60°至线段 ，连接 ， 则线段 长的最小值为 . 【答案】 【分析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ，作直线 交 于 ，过点 作 于 ．证明 ，推出点 在射线 上运动，根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，求出 即可． 【详解】解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ，作直线 交 于 ，过点 作于 ． ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点 在射线 上运动， 根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质， 直角三角形性质等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 13．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段 的长为12，点 在 上（不与端点重合），以 为边向上作等边 ，过 作与 垂直的射线 ，点 是 上一动点（不与点 重合），以 、 为边作矩形 ，对角线 与 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接 ，证明 平分 ，从而确定点O在定直线上，结合等边 ，确定 ，是定角，根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，连接 ，因为等边 ，矩形 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 平分 ， 因为 是定角，所以 的角平分线是唯一确定的射线， 所以点O在定直线上，所以 ，过点B作 于点E， 因为 ，所以 ，故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角 形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键． 14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形 的边长是8，点E是 边的中点，连接 ，点 F是线段 上不与点D，E重合的一个动点，连接 ，点G是线段 的中点，则线段 的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接 ，与 相交于点H,取 中点I，连接 ，由正方形 的边长是8得到 ， ， ，由中位线定理得到 ， 则 三点共线，即点G的运动轨迹是线段 ，由 ，当点G和点H重合时，线段值 最小， 由勾股定理求出 ，即可得到 ，得到线段 的最小值．【详解】解：连接 ，与 相交于点H,取 中点I，连接 ， ∵正方形 的边长是8，∴ ， ， ， ∵点G是线段 的中点，∴ ， ∴ 三点共线，∴点G的运动轨迹是线段 ， ∵ ，∴当点G和点H重合时，线段值 最小， ∴ ，∴ ，即线段 的最小值为 ． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明 三点共线是解题 的关键． 15．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形 中， ， ，E，F两点分别 从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接 ，在移动的过程中， 的最小值 为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，连接 ，作 于 ，如图，利用菱形的性质得 ，则可判断 和 都是等边三角 形，再证明 得到 ， ，接着判定 为等边三角形，所以 ，然 后根据垂线段最短判断 的最小值即可． 【详解】解：连接 ，作 于 ，如图，四边形 为菱形， ，而 ， 和 都是等边三角形， ， ， 在 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 而当 点运动到 点时， 的值最小，其最小值为 ， 的最小值为 ，故答案为： ． 16．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形 中， 为 上一点，且 为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ， 问 是否有最小值？如果有，求出 的最小值． 【答案】 【分析】如图，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J．首先证明 ， 推出点G在射线 上运动，推出当 时， 的值最小，证明四边形 是矩形，进一步推出 ，则 ，即可得到 的最小值为 ． 【详解】解：如图，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J．∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴点G的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，垂线段 最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于较大难度题． 17．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转（ ）， ， ，连接 ， ． (1)如图 ，求证： ≌ ；(2)直线 与 相交于点 ． 如图 ， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形； 如图 ，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度的最小值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析②【分析】 根据 证明三角形全等即可； 根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； 作 交 于点 ，作 于点 ，证明 是等腰直角三角形，求出 的最小值，可 得结论． 【详解】（1）证明： 四边形 是正方形， ， ． ， ． ， ， 在 和 中， ≌ ； （2） 证明：如图 中，设 与 相交于点 ． ， ． ≌ ， ． ， ． ， ， ， 四边形 是矩形， ． 四边形 是正方形， ， ． ． 又 ， ≌ ． ． 矩形 是正方形； 解：作 交 于点 ，作 于点 ， ∵ ∴ ≌ ． ．， ， 最大时， 最小， ． ．由 可知， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判 定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．