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专题 2-1 将军饮马等 8 类常见最值问题
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
题型二 双动点最值问题（两次对称）
题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
题型四 垂线段最短
题型五 相对运动平移型将军饮马
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
题型七 化斜为直，斜大于直
题型八 构造二次函数模型求最值
一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
A A
P
l l
B B
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B' PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原
理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
⇒
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A
A
B
B
l
P
l
P B'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
A A
B B
l l
P P
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：作B关于直线l的对称点B' PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
⇒
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
A A
B'
l l
P P
B B
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线 ， 上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段
P'P''的长
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l
2
P''
l
2
N
P
N
P l
1
M
l
1
M P'
【问题6】P，Q为定点，在直线 ， 上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线 ， 的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线
段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
Q'
l
2
N
Q
l
2
N
P
Q
P l
1
M
l
1
M P'
【问题7】A，B分别为 ， 上的定点，M，N分别为 ， 上的动点，求 最小值
问题解决：分别作 ， 关于 ， 的对称点 ， ，则 ， ， 即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'
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B'
l
1
M
l
1 A
M
A
l
2
N B
l
2
N B A'
三、动线段问题（造桥选址）
【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值
问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
A A
M M
m m
n n
N N
B'
B B
【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求 的最小值
问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当 共线有最小值
原理：通过平移构造平行四边 ，
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A
B' B
A
B
l
M N
l
M N B''
四、垂线段最短
【问题10】在直线 ， 上分别求点A，B，使PB＋AB最小
问题解决：作 关于 的对称点 ，作 于A，交 于B， 即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
l l
2 2
P'
B
B
P P
l l
1 1
A A
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
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A
l
M N
M' A A'
A
l
M N
l
M N A''
问题解决：相对运动或构造平行四边形
策略一：相对运动思想
过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题
策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.
六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹
【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨
迹？
Q
2
A
A
B C
B P C
Q
Q
1
问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线
段的时候，可以任取两个时刻的 Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接
即得Q点轨迹线段．
原理：由手拉手可知 ，故 ,故Q点轨迹为直线
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七、化斜为直，斜大于直
【问题13】已知： 是 斜边上的高
（1）求 的最大值；（2）若 ，求 的最大值
A A
B D C B M D C
问题解决：取BC中点M，（1）则 ；（2）
八、构造二次函数求最值
这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相
似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或
者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个
超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．
【问题14】正方形 的边长为6，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，连接
，过点 作 交 边于点 ，设 的长为 ，则线段 长度的最大值为 .
问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到 ，进而根据相
似比得到 ，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案
【详解】易知 ， ， ， ，∴ ， ，
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∴ ，
， 在 时有最大值，最大值为
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
1．（2023·西安·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，点M在边 上， ，
P为正方形内（含边上）一点，且 ，G为边 上一动点，连接 ，则
的最小值为 ．
2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部
3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm的点A处．求蚂蚁
吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，
△
），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值
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为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距离 ，已知
， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，则
的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S ＝ S ．则点P到B，C两点距离
△PBC 矩形ABCD
之和PB+PC的最小值为 。
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6．（2023·泰州·三模）如图，在矩形 中， ， ，点 在直线 上，从点
出发向右运动，速度为每秒 ，点 在直线 上，从点 出发向右运动，速度为每秒
， 相交于点 ，则 的最小值为 ．
7．已知 满足 ，则S的最小值为 ．
8．探究式子 的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取
，作 于 ． 于 ，且 ， ，点 在 上，设 ，
则 ，于是， ， ，因此，可求得 的最小值为
，已知 ，则 的最大值是 ．
9．如图，A、B两点在直线 外的同侧，A到 的距离 ，B到 的距离
，点P在直线 上运动，则 的最大值等于 ．
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10．已知：如图，在矩形 中， ．动点 为矩形 内一点，且满足
，则 周长的最小值为 ．
2022·绥化·中考真题
11．在平面直角坐标系中，已知一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，且
与反比例函数 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若C为线段 上的一个动点，当 最小时，求 的面积．
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题型二 双动点最值问题（两次对称）
12．如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、
MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。
13．（2023·淄博·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是
边 ， 上的动点，当 的周长最小时， °．
14．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形
AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。
15．（2023·西安·二模）如图，在四边形 中， ， ， ，
， 、 分别是边 、 上的动点，连接 ， ， ，则 周长的最小值
为 ．
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16．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，点E、F分别是边 上的
点，连接 ，若 ， ， ，则 周长的最小值是
．
题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
鞍山·中考真题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，在x轴上取两点C，D（点C在点D左
侧），且始终保持 ，线段 在x轴上平移，当 的值最小时，点C的坐标为
．
聊城·中考真题
18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，
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B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当
四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ： 向上平移 个单位长度
得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ， ， ，
则折线 的长 的最小值为 ．
广西来宾中考真题
20．如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，向左或向右平移抛物
线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解析式为
．
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题型四 垂线段最短
21．（2023下·湛江·二模）如图，在 中， ， ， ， ，
平分 交 于点 ，点 、 分别是 、 边上的动点，则 的最小值为
．
22．如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线
OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．
N
P
E
M
O F A
2022·贵州毕节·中考真题
23．如图，在 中， ，点P为 边上任意一点，连接 ，以
， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为 ．
2022 铜仁
24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点
M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋
NP的最小值为_________．
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D C
N
P
E
M
A B
25．（2023·鸡西·三模）如图，在矩形 中， 于点 ， ， ， 、
分别是 、 上的动点，则 的最小值为 ．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D，E分别是AC，BC的中点，连
接DE，将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则AH的最
大值为_________．
A A
D D
C E B C B
E
H
图1 图2
题型五 相对运动平移型将军饮马
27．如图，在矩形 中， ，把边 沿对角线 平移，点 分别对应点
， 的最小值为 ．
28．如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑
动时，PA+PB的最小值是 。
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29．如图，菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接
AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。
广东省深圳市宝安区一模
3
30．如图，在菱形ABCD中，AB＝ ，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重
合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值
是________．
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直
线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。
2023·齐齐哈尔·中考真题
31．如图，抛物线 上的点A，C坐标分别为 ， ，抛物线与x轴负半轴交
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于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 ．
32．将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 ，点C的对应点为点 ，
在抛物线平移过程中，当 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，
的最小值为______．
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
33．（2023·徐州·模拟预测）等边 边长为6， 是 中点， 在 上运动，连接 ，在
下方作等边 ，则 周长的最小值为 ．
34．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段 绕点P逆时针旋转 得到线段 ，就称点B
是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点 ，点P是y轴上一点，点B是点A关于
点P的“放垂点”，连接 、 ，则 的最小值是（ ）
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A．4 B． C．8 D．
35．在 中，斜边 ， ，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD
绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ．
陕西榆林·二模
36．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时
针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
2022·淮安·中考真题
37．二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，直线 经过 、 两点，
点 关于 轴的对称点为点 ，点 为线段 上的一个动点，连接 ，点 为线段 上一
点，且 ，连接 ，当 的值最小时，直接写出 的长．
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题型七 化斜为直，斜大于直
台州·中考真题
38．如图，直线 ， 分别为直线 上的动点，连接 ，线段
交直线 于点 ．设直线 与 之间的距离为 m，直线 与 之间的距离为 n，若
， ，且 ，则m＋n的最大值为_____．
A
l
1
D
l
2
B
l
3
C
39．如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A
落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．
A
D
E
B F C
40．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行
四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC
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上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 .
42．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行
四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ．
连云港·中考真题
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上
一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是 ．
P
D
C
T
A
B
44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作
DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路
径长为_________．
C
D
A E B
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题型八 构造二次函数模型求最值
2023·辽宁大连一模
45．如图，点 ， ，P为x轴上一动点，将线段 绕点P顺时针旋转 90°得到 ，连
接 ．则 的最小值是
46．如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝，BC＝BD＝
1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM
长度的最大值为_____________．
C
P
A B
M
Q
D
47．（2023·江苏淮安·一模）如图， 中， ， ， 为 中点． 、
是边 、 上的动点， 从 出发向 运动，同时 以相同的速度从 出发向 运动，
运动到 停止．当 为 时， 的面积最大．
无锡中考真题
48．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接
CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．
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E
F
A
D
B C
49．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一
边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
50．（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且
∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP =x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点
的坐标为 ．
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51．（2023·辽宁营口·二模）如图①，在钝角三角形 中， ，D为边 上一动点（C
点除外），以点D为直角顶点，以 为一条直角边作等腰直角三角形 ，连接 ．设
， ，若y关于x的函数图象如图②所示，则 的面积为 ．
52．已知△ABC的面积为2，∠A＝30°，点M、N分别是边AB、AC上的点，且MN将△ABC分成
面积相等的两部分，则线段MN长的最小值为___________．
A
M
N
B C
53．如图，在锐角△ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于
F，连接BD、EF，当△DEF的面积最大时，下列说法正确的是（ ）
A．BD是AC边上的高 B．BD是AC边上的中线
C．BD是∠ABC的角平分线 D．EF∥AC
A
E
D
B F C
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54．如图，△ABC中，BC＝4，BC边上的高为3，矩形DEFG内接于△ABC，点D、G分别在边
AB、AC上，边EF在边BC上，则EG长的最小值为___________．
A
D G
B E F C
55．如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，点E、F分别是对角线AC和边BC延长线上
的动点，且AE∶CF＝2∶3，连接EF交CD于点G，则线段CG长的最大值为___________．
A D
E
G
B C F
56．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝AC，过点P的直线
分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．
A F D
E P
B C
57．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在BC边上，点F在DC边上，∠EAF＝30°，过
点F作FG∥BC，交AE于点G，则线段GF长的最小值为___________．
A D
G F
B E C
58．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E是AB边上的一个动点，点M是CE的中点，将
线段EM绕点E逆时针旋转60°得到线段EF，连接DE、DF，则△DEF的面积的最小值为
___________．
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F
A D
E
M
B C
2022 广州市中考真题
59．如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最
小值；如果不是，请说明理由．
27
