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专题 10 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
砂石地 V1
V1
驿道
A V2 C
∠A的对边
sinA=
斜边
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
ABCD AB AC 10 AC BD
例1．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点
1
，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则MP PB的最小值是______．
O M AC AM 3 P BD 2
7
3
【答案】2
1
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP PB的长度最小为MH，再算出
2
MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
1
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP PB的长度最小
2
ABCD AB AC 10
∵菱形 中， ∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
1
PB
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=2
1 1
MP PB MP PB=MPPH MH
∴此时 2 得到最小值， 2
7 7
3 3
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=2 故答案为：2【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，
则 的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，
∴当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，求出此时的 长度便可．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∴ ，∴ ，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
此时 ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为： ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是
作辅助线构造 的最小值．
例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作 于 ，可得出 ，从而得 的最小值，将 变形为
，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作 于 ，
∵四边形 是正方形， ， ， 的最小值为0，
∵ ，∴ 的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．例5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、
y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 ，可证 是等
边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ AC，则 ，即当点 ，点C，点H三
点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 ，∴AO＝3， ，∴ ，
作点B关于OA的对称点 ，连接 ， ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ ，∵CH⊥AB，∴ ，∴ ，
∴当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， ， 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点C的位置是解题的关键．
例6．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于
的对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，
以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；② 和 走完全程所需时间为 ．
【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求 即可；
②先确定点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
， ， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；
②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得， ，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即： ， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短. ，
在 中，设 ， ，
，解得： ， ， 和 走完全程所需时间为 ．课后专项训练
1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在 中， ，若D是
边上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，在
中， 当A，D，F在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
【详解】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，如图所示：
在 中， ，∴ ，∵ ＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会
用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
3．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与
端点A重合），则 AP+PD的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，
∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝ AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为
DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝ AP;
∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝ AD＝ ×6＝3;∴DF＝3 ;
∵ AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴ AP+PD的最小值为3 .故答案为：3 .
【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的
判定.3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC ，E为线段AB上一动点，连接
CE，则 AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易
证ET AE，推出 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB ，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2 ，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 ，∴CH＝AC•sin6°＝2 3，
∵ AE+EC＝CE+ET≥CH，∴ AE+EC≥3，∴ AE+EC的最小值为3，故答案为3．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图， ▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝
30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值= AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE= PD，
∵2PB+ PD=2（PB+ PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值= AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30 角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点
共线的形式是解题的关键. °
5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形 中， ，E为边
上的一动点，那么 的最小值等于______．【答案】3
【分析】如图，过 作 交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质，推出
，从而得到 ，进而得到 ，根据 ，可知，
当 三点共线时，线段的和最小，利用 所对的直角边是斜边的一半即可得解．
【详解】解：如图，过 作 交 的延长线于点 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴当 三点共线时，线段的和最小，
∵ ， ，∴ ，
即： 的最小值等于3；故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含 的直角三角形．通过添加辅助线，构造含 的直角三角
形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．
6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且
∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．【答案】
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根
据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，
∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，
∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为8，∴DE= ，
∴2DE=8 ．∴MA+MB+MD的最小值是8 ．故答案为：8 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三
角形的判定与性质．
7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按下
列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当
C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的
性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
由题意知： 平分 ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边 中， ， ，若点P在线段
上运动时， 的最小值为 ．
【答案】12
【分析】根据题意易得 ，则有 ，过点P作
于点E，进而可得 ，当 取最小时，即 为最小，则有当点B、P、E
三点共线且 时最短，进而可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，过点P作 于点E，如图所示：
∴ ，∴ ，∴当 取最小时，即 为最小，
∴当点B、P、E三点共线时且 时最小，如图所示：
∵ 为等边三角形，∴ ，∴ 最小值为 ；故答案为：12．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含 角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最
短，熟练掌握等边三角形的性质及含 角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， . ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】作 ，连接 ，过B点作 的延长线与G点．根据相似三角形的性质可
得 ，因此 ，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线
时， ，此时 的值最小，为BF．再证四边形 是矩形，由矩形的性质可知
， ，在 中根据勾股定理可求出 的长，即可知 的最小值．
【详解】如图，作 ，连接 ，过B点作 的延长线与G点，
，且 ， ，
， ．
，∴当B、E、F三点共线时， ，此时 的值最小，为 ．
， ．又 ， ，∴四边形 是矩形，
， ， ，
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相
似三角形是解题的关键．
10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，
PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD PB，∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，即PC+PD的最小值为 ，∴ PC+PB的最小值为 4，故答案为：4．11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若 ，P
是对角线BD上的一个动点，则 的最小值是______．
【答案】
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得
， ，然后根据勾股定理可得 ，则
，进而求出 ，要使 的值最小，则
需要满足 为最小，即 为最小，
当B、P、M在同一直线上时， 为最小，过点A作AM⊥AP，且使 ，连接BM，进而
求解即可．
【详解】 两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，
即 ， 四边形ABCD是平行四边形，
， ， 四边形ABCD是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，
， ，， ， ，
， ，
，过点A作AM⊥AP，且使 ，连接BM，如图，
，要使 的值最小，则需要满足 为最小，即 为最小，
当B、P、M在同一直线上时， 为最小，如图，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不
归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形 是正方形纸片， ．对折正方形纸片
，使 与 重合，折痕为 ；展平后再过点 折叠正方形纸片，使点 落在 上的点 处，
折痕为 ；再次展平，延长 交 于点Q．有如下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ 为线段 上一动点，则 的最小值是 ．其中正确结论的
序号是 ．【答案】①③④⑤
【分析】①首先根据 垂直平分 ，可得 ；然后根据折叠的性质，可得 ，据此判断
出 为等边三角形，即可判断出 ．②首先根据 ， ，求出
；然后在 中，根据 ，求出 的大小即可．③证明
所以 ．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作 ，
在同一条直线上且 时 的值最小．
【详解】解：如图，连接 ，
垂直平分 ， ，根据折叠的性质，可得： ，
， 为等边三角形， ，即结论①正确；
， ， ，
，即结论②不正确．
∵折叠，∴ ，∴
∵ ∴ ∴
∴ ，即结论③正确．设 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，在 中由 ，
∴ ，解得： ，即 ，即结论④正确．
过点H作 ， 是等边三角形， ，∴ ，
在同一条直线上且 时 的值最小，
此时 ， 的最小值是 ，即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合
方法的应用，要熟练掌握．
13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上，
连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据等腰三角形的性质可得
，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（2）连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．根据题意可得 的最小值等于
的长，再由当 时， 的长最小，可得 的最小值等于 的长，再根据等腰三角形的
性质可得 ，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（3）过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，根据直角三角形的性质可得在
，从而得到 ，继而得到 的最小值等于 ，
再由当 时， 的长最小，即 的长最小，可得 的最小值等于 ，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ ．在 中， ．
∵ ，∴ ．∴点 到 的距离为 ．
（2）如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ 的最小值等于 的长，
∵当 时， 的长最小，此时点Q与点H重合，
∴ 的最小值等于 的长，∵ ，∴ ．
在 中， ．
∵ ，∴ ．
即 的最小值为 ；故答案为：
（3）如图，过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值等于 ，
∵当 时， 的长最小，即 的长最小，此时点H与点G重合，
∴ 的最小值等于 ，∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，即 的最小值等于 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形 的边 、 上的中点分别为点E、
F，且 ， ．(1)若 的延长线交于点 ， ，求 的面积．(2)在（1）的
条件下，点 是直线 上一点，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 求解；（2）过点P作 于点K，连接 ， ，
先证 垂直平分 ，推出 ，再证 ，可得 ，由此可解．
【详解】（1）解：如图，过点F作 于点N，作 交 的延长线于点H，过点C作
于点M，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，同理可得 ，， ， ，
；
（2）解：如图，过点P作 于点K，连接 ， ，
由（2）知 中， ， ， ，
， ，
， ，
是直角三角形， ， ，
又 F是边 上的中点， 垂直平分 ， ．
在 中， ， ， ，
由（2）知 ， 的最小值是 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，垂直平分线的性质，直角三角形的判定，勾股定理等，涉
及知识点比较多，有一定难度，解题关键是综合应用上述知识点，第3问中需要证明 是直角三角形．
15．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）
题是这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ，垂足为M．那么 与 相等
吗？（1）直接判断： ___________ （填“ ”或“ ”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：（2）如图2，在正方形 中，点 分别在边 和 上，且 ，垂足
为M．那么 与 相等吗？证明你的结论；
问题拓展：（3）如图3，在（2）的条件下，当 在正方形 的对角线 上时，连接 ，将
沿着 翻折，点 落在点 处．①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，如图4，点 在 上，且 ，直接写出 的最小值为__________．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）①是正方形，理由见解析；②
【分析】（1）证明 即可得出结论；
（2）过点A作 ，证明 ，由此可得 ；
（3）①连接 ．先证 ,容易证明 ,则 ,故可证四边形 为正方形．
②作 交 的延长线于点 ，作 交 于点 ．
先证 则
由 ，得 为等腰直角三角形，得到
于是 ．可证 则 ；
再作点 关于 的对称点 ，则 ．
作 交 的延长线于点 ，易证
再由 得到 的最小值因此, 的最小值为 ．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ，故答案为： ；
（2） ，理由如下：如图，过点A作 ，交 于点H，交 于点N，
， ， ，
四边形 是正方形， ， ， ，
， ， 四边形 是平行四边形， ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ， ， ；
（3）①连接 ．由（2）的结论可知： ． 四边形 是正方形在 和 中， （ ）
由折叠可知： ．
四边形 为菱形，
又 四边形 为正方形．
②作 交 的延长线于点 ，作 交 于点 ．
∴
由 是正方形 的对角线知， ，∴ 为等腰直角三角形，
．
；
作点 关于 的对称点 ，则 ．
作 交 的延长线于点 ，易证
的最小值 即 的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等
腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，涉及知识点多，第三问难度很大，解题的关键是
正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想．
