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专题31 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥
或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四
边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9
..................................................................................................................................................15
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m
B
B m
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，E是边 上的一动点，F为 的中点，则 的最小值为 ．
例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 为直线
上一动点，则 的最小值为 ．
例3．（2024·广东·二模）如图，菱形 的一条对角线 ， ，P是对角线 上的
一个动点，E，F分别为边 ， 的中点，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．若阴影部分周长的最小值为 ，则扇形的半径 的长为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
A
A
B m
m B
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直
线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中， 为 边中点，而点 在 边上， 为对角线
所在直线上一动点，已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是
的中点，点 在 边上，且 为对角线 上一点，则 的最大值为 ．模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）
A
m
A m
m A n
n
A
B
B
B n n m
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（2）：一定点+两动点
条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
A
m
A n
A'
P' P m m A'
A A
P P
B Q
n
Q' Q B m
n Q P
Q n
B B' B' A"
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（ 1-2）， 作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E在 边上且 ，点P，Q分别
是边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、N分别在边 上，且 ，
点P、Q分别在边 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在 中， ．若点
P是边 上一点．则 的最小值为 ．（2）如图②，在 中， ， ，点
E是 的中点．若点P是边 上一点，求 的最小值．（3）公园内有一条四边形 型环湖
路，如图③．若 米， 米， ．为满足市民健身需求，现
要修一条由 ， 连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边 ， 上．为了节省成本，
要使所修的这条步行景观道最短，即 的值最小，求此时 的长．（路面宽度忽略不
计）1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形 中，点M，N分别为 ， 上的动点，且 ，
， 交于点 E，点 F 为 的中点，点P为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形 中， ， ，点E是 边的点， ，点F
是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则 的最
小值为（ ）
A．6 B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上，
，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ）A．3 B．5 C． D．
4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ， ，
点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等
边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为对
角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点 是矩形 的对称中心，点 ， 分别在边 ， 上，且
经过点 ， ， ， ，点 是边 上一动点．则 周长的最小值为 ．
8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形 中， ， ，
，连接 、 交于点 ，点 为 上一动点，连接 ，点 为 的中点，连接 、 ，
则 的最小值为 ．
9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点 为正方形 的对称中心，点 为 边上的动点，连接 ，
作 交 于点 ，连接 ， 为 的中点， 为边 上一点，且 ，连接 ，
，则 的最小值为 ．10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图， 中， ， ， ，I为 的内心，
若M、N分别是斜边 和直角边 上的动点，连接 ，则 的最小值为 ．
11．（2024·海南·三模）如图，矩形 中， ， ， 、 分别是直线 、 上的两个动
点， ， 沿 翻折形成 ，连接 、 ，则 ， 的最小值是
.
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在 中，连接 ， ， 的垂直平分线交
于E，交 于F，P是线段 上一动点，点Q为 的中点．若 ， 的面积是24，则
的最小值为 ．
13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段 与 相交于点E，保持 ，已知 ， ，
则 的最小值是 ．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
15．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点A是半圆上的三等分点，B是
弧 的中点，P点为直线 上的一个动点，当 时， 的最小值为 .
16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E为 的中点，
点F在 上，且 ，点G为直线 上一动点， 的最大值是 ___________．17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形 中， ， ， ，
， ，点 为直线 左侧平面上一点， 的面积为 ，则 的最大值为______ ．
18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形 中， ， ，
，点E为 的中点，点F为BC上一点，连接EF， ，则 的长为________；
【问题探究】（2）如图2，菱形 的边长为8，且 ，E是 的中点，F为对角线 上一
动点，连接 ，求 周长的最小值；
【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形
所示，经测量， 米， 米， ，并沿着对角线 修建一条隔墙（厚度不计）将该
空地分成 和 两个区域，其中 区域为幼苗培育区， 区域为作物观察区， 的
中点P处有一扇门，现计划在 上取点E、F（点E在点F左侧），并沿 修建一面结果记录墙（厚度
不计），根据规划要求， 米，且 与 的长度之和最小，请问 的值是否存在最小值？
若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．19．（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请
问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点 ，
连接 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到 ，饮马之后，
再由 沿直线走到 ，所走的路程就是最短的．
(1)观察发现如图2，在等腰梯形 中， ，点 、 是底边 与 的中
点，连接 ，在线段 上找一点 ，使 最短．
作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故
的最小值为_______．
(2)实践运用如图3，已知 的直径 ，点A在圆上，且 的度数为 ，点 是弧 的中点，
点 在直径 上运动，求 的最小值．
(3)拓展迁移如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 两
点，与 轴交于另一点 ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线 上找到一
点 ，使 周长最小，请求出此时点 的坐标与 周长最小值．
20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
， 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点 的坐标；
(2)在y轴上存在点 ，使得 的值最小，求 的最小值．21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于
另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 的最小值；
22．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1， ，在 内部有一点P，M、N分别是 、 上的动点，分别作点P关于边
、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、N，则此时 的周长最小，且顺次连接O， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边 、 的对称点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 即 周长的的最小值为
∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形．
学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P关于边 、 的对称点 ， ，顺次连
接O， ， ，则 的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D是 的中点，若 ，请用含
有h的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P到顶点B的
距离为10， ，点M、N分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、N，使 在周长最
小的情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求
出 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
