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重难点 13 几何最值问题 2 种题型
（将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型）
目 录
题型01 将军饮马
题型02 蚂蚁爬行
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题型 01 将军饮马
模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中
隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点
宿营.问如何行走才能使总的路程最短.
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点
宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.
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方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.
【将军饮马之模型一 专项训练】
1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半
径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC
面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
5
A． B．3 C．4 D．5
2
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E
在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．√6 D．√3
3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，
BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．√2+1 B．√2+ C．2√2+1 D．2√2−
2 2
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4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一
个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
32
A． B．2 C．2√13−6 D．2√13−4
5
5．（2020·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考一模）如图，AC,BD在AB的同侧，
AC=2,BD=8,AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120∘，则CD的最大值是 ．
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到
B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离
为线段AB’的长.
【将军饮马之模型二 专项训练】
1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路
(AC1)，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设
使得管道长度较短？
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为
d ，且d =PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为d ，
1 1 2
且d =PA+PB(km)（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．
2
(1)在方案一中，d =______km（用含a的式子表示）；
1
(2)在方案二中，组长小宇为了计算d 的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d =
2 2
_______km（用含a的式子表示）．
(3)①当a=4时，比较大小：d _______d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
1 2
②当a=7时，比较大小：d ______d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
1 2
(4)请你参考方框中的方法指导，就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案还是方案二？
方法指导
当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵m2−n2=(m+n)(m−n)，m+n>0，
∴(m2−n2 )与(m−n)的符号相同．
当m2−n2>0时，m−n>0，即m>n；
当m2−n2=0时，m−n=0，即m=n；
当m2−n2<0时，m−n<0，即my >0，求自变量x的取值范围；
1 2
(2)动点P(n,0)在x轴上运动．当n为何值时，|PA−PC|的值最大？并求最大值．
3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数y=ax2−2ax+c的图象与x轴交于A、B(3,0)两点，与y
轴相交于点C(0,−3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是对称轴上一动点，当|PB−PC|有最大值时，求点P的坐标．
4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函
m
数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝ 的图象的两个交点．
x
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
m
（2）根据图象写出，当kx＋b< 时，x的取值范围；
x
（3）若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．
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5．（2016·广东揭阳·统考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0)，交y轴于点C，点P是该
抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点
D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动过程中线段PD长度的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M使|MA−MC|最大?若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请
说明理由．
6．（2021上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的
三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(3,1),C(−2,−2)．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△≝¿(A,B,C的对称点分别是D,E,F)，并直接写出
D,E,F的坐标；
（2）求△ABC的面积．
（3）在x轴上找一点P，使｜PA－PB｜最大．(在图中标出点P，保留作图痕迹)．
模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值.
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方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0.
模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
【将军饮马之模型九 专项训练】
1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC=5BD＝5，且△ADC
的面积为10，则△ABC的周长的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分
别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小
值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ）
A．78 B．39 C．42 D．30
3．（2022·安徽六安·校考模拟预测）某数学探究小组探究一个动点问题，如图，在△ABC中，P为边AC
AD 1
上一个动点，点D在边AB上，已知 = ，∠C=90°，∠A=30°，
BD 5
请完成下列探究：
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PA
（1）当PD=AD时， 的值为 ；
AC
（2）连接PB，若AB=12，则△PBD周长的最小值为 ．
4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC边上的高AD为4，则△ABC周
长的最小值为 ．
模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的
桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？
方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，
垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN
模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值.
方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L
于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN
模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短.
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【将军饮马之模型十与模型十一 专项训练】
1．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的
动点，且∠ABC=∠MNB=60°，则BM+MN+ND的最小值是 ．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， ▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，
BE⊥CD；垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AG+GH+CH
的最小值为 ．
3（2022上·广东广州·八年级统考期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动
点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形
PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
4．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分
别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
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(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
5（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）在 ▱ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD上，
连接BE．
(1)如图1，AC交BE于点G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，请求出四边形
EGCD的面积；
(2)如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连接BF，过点F作FH⊥BE于点H，连接AH，求证：
HF+√2AH=BH；
(3)如图3，线段PQ在线段BE上运动，点R在BC上，连接CQ，PR．若BE平分
∠ABC，∠DAC=30°，AB=√3，AC=BE=2PQ=3，BC=4BR．求线段CQ+PQ+PR的和的最
小值．
题型 02 蚂蚁爬行
蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短
路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：
解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用 两点之间线
段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
分类讨论 示意图 展开图 最短距离 小结
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AB=
前+上
√a2+（b+c）2=√a2+b2+c2+2bc
最小值取决于
AB=
ab，bc，ac
左+上
√b2+（a+c）2=√a2+b2+c2+2ac
的大小
AB=
前+右
√c2+（a+b）2=√a2+b2+c2+2ab
【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】
1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表
面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A．√3 B．2 C．√5 D．3
2．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF
的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（ ）
A．5cm B．√29cm C．(2√2+3)cm D．(2+√13)cm
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体
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的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
4．（2014·全国·九年级统考专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为
5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5√21 B．25 C．10√5+5 D．35
5．（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点
1
P在EF 上，且EP= EF，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是
1 1 1 3 1 1
．
6．（2021·山东枣庄·校考一模）如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶
的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为 cm．
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7．（2012·湖南衡阳·统考一模）如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P
点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
8．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划
在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点A'安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长
为1m，则灯带的长度至少为 m．
9．（2023上·贵州贵阳·八年级校联考期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长AB=80cm，宽
BH=60cm，高AD=60cm，水深AE=30cm，在鱼缸内水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线上，
且FG=40cm．一只小虫想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁G处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为
cm．
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10．（2019·浙江台州·校考二模）如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图．
（1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置；
②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）；
（2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离；
（3） 在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并
写出其中的一种方案．
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：
解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行
了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形
分类讨论 示意图 展开图 最短距离
爬行半圈 最短距离=√（Πr）2+h2
爬行一圈 最短距离=√（2Πr）2+h2
【蚂蚁爬行之模型二 专项训练】
55．（2021·湖南株洲·统考模拟预测）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想
要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
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A．3√1+π2 B．6√1+π2 C．9 D．6√2
56．（2021·山东·统考三模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面
的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A．√36+16π2 B．√36+4π2
C．√36+π2 D．10
57．（2022上·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高
BC上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短
路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
示意图 展开图 作法 最短距离
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点A’为点A关于圆柱上沿的
对称点，若点A’与点B的垂
直距离为h，则问题转化为将
AB=√（Πr）2+h2
军饮马问题求解
【蚂蚁爬行之模型三 专项训练】
58．（2023·陕西西安·校考二模）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为
10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm
的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．
模型四：蚂蚁爬楼梯问题
问题 示意图 展开图 最短距离
如图，三级台阶的每一级的
长 ， 宽 ， 高 分 别 为 20
AB=√[(3+2)×3] 2+202
dm，3 dm，2 dm，A和B
是这个台阶两相对的端点，
=25
A点有一只蚂蚁想到 B点去
吃可口的食物，求最短路程
【蚂蚁爬行之模型四 专项训练】
1．（2022下·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？
2．（2023·吉林·模拟预测）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这
个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点
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B的最短路程为（ ）
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
3．（2012下·浙江台州·八年级统考期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3
dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着
台阶面爬到B点最短路程是 dm．
模型五：蚂蚁爬圆锥问题
问题 示意图 展开图 最短距离
如图，现有一个圆锥，圆锥的 先利用扇形弧长
底面直径为 4cm，母线长为 公式求圆心角，
6cm，一只蚂蚁在点 A 位置， 再根据勾股定理
食物在母线 BC 的中点点 D 求AD长
处，蚂蚁沿着圆锥表面由点 A
向点D处爬行觅食，路线如图
所示，求最短距离
【蚂蚁爬行之模型五 专项训练】
1．（2022·浙江金华·校联考一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从
点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．π B．√5π C．2√5 D．2π
2．（2023·广东湛江·统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，一只蚂蚁从点A出
发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 cm．
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3．（2020·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只
蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为 ．
4（2023上·湖北武汉·九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，
母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的
最短路程为 ．
5．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底
边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
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(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66）
6．（2020·广东·统考一模）已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=20√15cm,现在有一只蚂蚁从底边上一
点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
7．（2022·广东潮州·校考一模）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，A´C的长为4πcm．在图
②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设
圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
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②设A´D的长为a，点B在母线OC上，OB=b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬
行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
30
